高考数学一轮复习： 专题2.7 二次函数(讲)

专题2.7 二次函数
【考纲解读】
【直击考点】
题组一 常识题
1．[教材改编] 函数f (x )＝－x 2
－6x ＋8，当x ＝ ________时，函数取得最大值为________． 【解析】f (x )＝－x 2
－6x ＋8＝－(x ＋3)2
＋17，当x ＝－3时函数取得最大值17 2．[教材改编] 若函数f (x )＝4x 2
－kx －8在[－1，2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是________．
3．[教材改编] 已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，2)，则函数f (x )＝________． 【解析】设f (x )＝x α，则2＝2α
，所以α＝12，故函数f (x )＝x 12.
题组二 常错题
4．设abc ＞0，二次函数f (x
)＝ax 2
＋bx ＋c 的图像可能是________．
图2­7­1
【解析】当a >0时，由abc >0知b ，c 同号，对应的图像应为③或④，在③④两图中有c <0，故b <0，因此得－b
2a
>0，④符合，同理可判断当a ＜0时，①②都不符合题意．
5．设二次函数f (x )＝x 2
－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)的值为____________．(填“正数”“负数”或“非负数”)
【解析】∵f (x )＝x 2
－x ＋a 图像的对称轴为直线x ＝12
，且f (1)>0，则f (0)>0，而f (m )
＜0，∴m ∈(0，1)，
∴m －1＜0，∴f (m －1)>0.
6．若函数y ＝mx 2
＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________________． 【解析】m ＝0时，函数在给定区间上是增函数；m ≠0时，函数是二次函数，其图像的对称轴x ＝－12m ≤－2，由题意知m >0，所以0<m ≤14.综上，0≤m ≤14
.
7．当x ∈()0，1时，函数y ＝x p
的图像在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．
题组三 常考题
8. f (x )＝（2－x ）（x ＋4）(－4≤x ≤2)的最大值为________． 【解析】f (x )＝（2－x ）（x ＋4）＝－x 2
－2x ＋8＝ －（x ＋1）2
＋9，当x ＝－1时，f (x )有最大值3.
9． 设函数f (x )＝ 则满足f (a )＝2的a 是________．
【解析】依题意有⎩⎪⎨
⎪⎧a ≥1，
a 2
－a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，
3a －1＝2，
解得a ＝2. 【知识清单】
1 二次函数解析式的求法
二次函数有三种形式：一般式、顶点式、两根式．求二次函数的解析式，使用待定系数法，即根据题设条件，恰当选择二次函数的形式，可使运算简捷． 2 二次函数的图象与性质的应用
①二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．
②二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．
【考点深度剖析】
从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三
者的综合应用．
【重点难点突破】
考点1 二次函数解析式的求法
【1-1】已知二次函数f (x )同时满足条件：
(1)f (1＋x )＝f (1－x )；(2)f (x )的最大值为15；(3)f (x )＝0的两根立方和等于17. 求f (x )的解析式．
【答案】f (x )＝－6x 2
＋12x ＋9.
【1-2】若定义域为R 的二次函数f (x )的最小值为0，且有f (1＋x )＝f (1－x )，直线g (x )＝4(x －1)被f (x )的图像截得的线段长为417，则函数f (x )的解析式为__________． 【答案】f (x )＝(x －1)2
【解析】设f (x )＝a (x －1)2
(a ＞0)．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝a x －1
2
，
y ＝4x －1，
得ax 2
－(4＋2a )x ＋a ＋4＝0.
由韦达定理，得x 1＋x 2＝4＋2a a ，x 1·x 2＝a ＋4a
.
由弦长公式，得 417＝1＋4
2
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2a a 2－4·a ＋4a ，
∴a ＝1.
∴f (x )＝(x －1)2
.
【1-3】已知二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋a 的对称轴为x ＝74，且方程f (x )－(7x ＋a )＝0有两
个相等的实数根． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )在[1,3]上的值域；
(3)是否存在实数m (m ＞0)？使f (x )的定义域为[m,3]，值域为[1,3m ]若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) f (x )＝－2x 2
＋7x －2. (2) ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1，338.(3) m ＝118.
【思想方法】
求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．
【温馨提醒】求二次函数解析式的问题一般用待定系数法，其关键在于根据题设合理选用二次
函数的解析式的形式．
考点2 二次函数的图象与性质的应用
【2-1】设函数f (x )＝x 2
－2x －1在区间[t ，t ＋1]上有最小值g (t )． (1)求g (t )的解析式；
(2)作出g (t )的图象，并求出其最值．
【答案】(1) g (t )＝⎩⎪⎨⎪
⎧t 2
－2，t <0，－2，0≤t ≤1，t 2－2t －1，t >1.
(2) 最小值－2，没有最大值
【2-2】“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的________条件 【答案】充分必要
【解析】f(x)＝|(ax －1)x|＝|ax 2
－x|，若a ＝0，则f(x)＝|x|，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；若a<0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a <0，且x ＝0时y ＝0，此时y ＝ax
2
－x 在区间(0，＋∞)上单调递减且y<0恒成立，故f(x)＝|ax 2
－x|在区间(0，＋∞)上单调递增，故a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a>0，则二次函数y ＝ax 2－x 的对称轴x ＝12a >0，且在区间0，12a 上y<0，此时f(x)＝|ax 2
－x|在区间0，12a 上单
调递增，在区间12a ，1
a 上单调递减，故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必
要的．
【2-3】已知关于的函数的图像与轴总有交点，求的取值范围 【答案】
【解析】或 【思想方法】
二次函数的对称轴的几个结论： (i)
对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝
x 1＋x 2
2
.
(ii)
利用配方法求二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴方程为x ＝－b
2a
.
(iii) 利用方程根法求对称轴方程．若二次函数y ＝f (x )对应方程为f (x )＝0两根为x 1，
x 2，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 2
2
.
【温馨提醒】含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如对于函数y ＝ax 2
＋
bx ＋c 要认为它是二次函数，就必须认定a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0
和a ≠0两种情况．再如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等．
【易错试题常警惕】
设函数，对于满足的一切值都有，则实数的取值范围
是 ． 【答案】
221
(32)(1)4
y a a x a x =+++++1a <-2a =-2320
10a a a ⎧++≠⇒<-⎨
∆≥⎩
()2
22f x ax x =-+14x <<()0f x >1,2⎛⎫+∞
⎪⎝
⎭。