刚体运动的动力学方程分析

两种参考系
绝对运动、相对运动和牵连运动
静
分析三种运动时，必须明确：站在什么参考系上， 观察什么对象？
点的速度合成定理
点的速度合成定理
例2
• 例12-10 • 例12-12
课本
练习
练习
练习
第六节 刚体的复杂运动分析
• 刚体的平面运动
引例：汽车沿直线行驶时，车轮的运动
车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）
车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动 （牵连运动） 车轮相对车厢（动系Ax y）的转动 （相对运动）
所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关， 而绕基点转动的规律与基点选取无关．(即在同一瞬间，图
形绕任一基点转动的 ,都是相同的）基点的选取是任意的。
解：飞轮制动时有角加速度
0 0 t 5s
t
0 1 0 0 0转 / 分 1 0 4 .7 rad/s
2 0 .9 ra d /s 2
fr
外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
M f r R N R J m R 2
N R m R 2
N mR 784N
刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质点
的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘
积之和。
J m 2
m1
r1
r2 m 2
均质物体的转动惯量
对于形状简单的均质物体，转动惯量的计算公式 可从有关册子查出。表12-1
细直杆 薄圆板 矩形六面体 薄壁空心球 圆柱
四. 平行轴定理
前例中JC 表示相对质心轴的转动惯量，JA 表 示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距 L /2，有：
J
＝J＝1对2 对M1mRmM:2
:m
Rm2 g
T m2a a
g T1
T ma
R
m
a
amgR
a R
2
解方程得：
a
m m M
g
2
R
例2 一个飞轮的质量为69kg ，半径为0.25m,正在以每分1000转 的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而 最后停下来。摩擦系数为0.46。求闸瓦对轮子的压力N为多大？ （J = mR2 ）
二、刚体定轴转动的动力学方程
三、刚体定轴转动动力学方程的应用
四、动静法
质点系的达朗伯原理
五、点的复合运动
• 点的速度合成
六、刚体的复杂运动
基点法
速度投影法
速度瞬心法
0
N
0
三、转动惯量
定轴
M J
M J
1. 定义 J m i ri2 在（SI）中，J 的单位：kgm2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。
3. 转动惯量的计算
一．平面运动的定义
在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不 变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运 动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．
刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是 一种较为复杂的运动．
刚体平面运动
平动
转动
例如 车轮的运动．
车轮的平面运动可以看 成是车轮随同车厢的平动和 相对车厢的转动的合成．
定轴转动刚体的转动定律的应用
例１ 一个质量为 M 半径为R 的定滑轮（当
N
作均匀圆盘），上面绕有细绳，绳的一端固
定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体
•
而下垂。忽略轴处摩擦，求物体 运动的加速
度和此时滑轮的角加速度。(
)
M g T1
J J＝ 1 M R 2 2
a
＝
T
解：
R对＝MJ对M：：MMJ＝对TmTR11R:＝MmJJgR 2
例题
；
惯性力系的主矢等于刚体质量和质心加速度的乘积，方向和加 速度方向相反。 惯性力系的主矩等于转动惯量和角加速度的乘积，但方向和刚 体转动的角加速度相反。
练习 (m1>m2)
第五节 点的复合运动分析
有关概念
两种参考系——动参考系和静参考系 三种运动——绝对运动、相对运动和牵连运动 三种速度——绝对速度、相对速度和牵连速度
二、已知作用于刚体上的力矩，求转动规律 例12-5 例12-6
第四节 动静法
节
一、质点的达朗伯原理
二、质点系的达朗伯原理
平面任意力系的平衡条件: （1）力系中各力在X 轴和Y轴上投影的代数和为零； （2）力系中各力对平面内任一点的力矩的代数和为零
Fra Baidu bibliotek
动静法的应用：刚体的平动和绕定轴转动 1、刚体的平动
第二节 刚体简单运动的动力学方程
一、平动刚体的动力学方程
平动刚体的动力学方程 ：
刚体的质心加速度
二、刚体定轴转动的动力学方程
二、刚体定轴转动的动力学方程
刚体定轴转动的转动定律: 刚体绕定轴转动时，作用于刚体上 的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。
上式反映了刚体的转动状态变化与其所受的外力矩之间的关系， 称为刚体定轴转动动力学基本方程。
J
＝
A
J
＋
C
m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 mL2 3
推广: 若有任一轴与过质心的轴 平行且相距d ，刚体对其转动惯 量为: J J C m d 2 , 称为平行轴 定理。
dc
第三节 刚体简单运动动力学方程的应用
主要研究刚体定轴转动动力学方程的应用
一、已知刚体的转动规律，求作用于刚体上的外力 例12-4
(通常选取运动情况已知的点作为基点)
求刚体内任一点速度 的方法
基点法 速度投影法 速度瞬心法
P177例12-12
• 例12-13
• 例12-14 • 例12-15
课后作业
5 12 20 26 30 36
一、刚体的简单运动
刚体上点的速度和加速度
二、平动刚体的动力学方程 ： 刚体的质心加速度