(鲁京津琼专用)高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线练习(含解析)

（鲁京津琼专用）高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7

讲抛物线练习（含解析）

第7讲 抛物线

一、选择题

1.(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点，曲线y ＝k x

(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12

B.1

C.32

D.2

解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)， 由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1，2). 代入曲线y ＝k x

(k >0)得k ＝2，故选D. 答案 D

2.点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2

(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A.y ＝12x 2

B.y ＝12x 2或y ＝－36x 2

C.y ＝－36x 2

D.y ＝112x 2或y ＝－136

x 2

解析 分两类a >0，a <0可得y ＝112x 2，y ＝－136x 2

.

答案 D

3.(2017·张掖诊断)过抛物线y 2

＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( ) A.9

B.8

C.7

D.6

解析 抛物线y 2

＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B. 答案 B

4.已知抛物线C ：y 2

＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →＝4FQ →

，则|QF |等于( ) A.72

B.52

C.3

D.2

解析 ∵FP →＝4FQ →

， ∴|FP →|＝4|FQ →

|，∴|PQ ||PF |＝34

.

如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ，

则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝3

4

，

∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C. 答案 C

5.(2017·衡水金卷)已知抛物线y 2

＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 2

2的最小值为( )

A.12

B.24

C.16

D.32

解析 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，

由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y 2＝4x ，

得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32. 当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)，

由⎩

⎪⎨⎪⎧y 2

＝4x ，y ＝k （x －4），得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4

k

，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)

2

－2y 1y 2＝16

k

2＋32＞32，

综上可知，y 21＋y 2

2≥32. ∴y 2

1＋y 2

2的最小值为32.故选D. 答案 D 二、填空题

6.(2016·兰州诊断)抛物线y 2

＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 2

3＝1的两条渐近线所围成的三

角形的面积等于________.

解析 由图可知弦长|AB |＝23，三角形的高为3， ∴面积为S ＝1

2

×23×3＝3 3.

答案 3 3

7.(2017·四川四校三联)过抛物线y 2

＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，

B 两点，则弦长|AB |为________.

解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).易得抛物线的焦点是F (1，0)，所以直线AB 的方程是y ＝

x －1，联立⎩

⎪⎨⎪⎧y 2

＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2

－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6

＋2＝8. 答案 8

8.(2017·江西九校联考)抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2

－x 2

＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.

解析 y 2

＝2px 的准线为x ＝－p

2.由于△ABF 为等边三角形.因此不妨设A ⎝

⎛⎭⎪⎫

－p 2，p 3，

B ⎝

⎛⎭⎪⎫－p 2，－p 3，又点A ，B 在双曲线y 2－x 2

＝1上，从而p 23－p 24＝1，所以p ＝2 3.

答案 2 3 三、解答题

9.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2

＝2px (p ＞0).

(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围.

(1)解 ∵l ：x －y －2＝0，∴l 与x 轴的交点坐标为(2，0). 即抛物线的焦点为(2，0)，∴p

2＝2，∴p ＝4.

∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .

(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).

则⎩⎪⎨⎪⎧y 2

1＝2px 1，y 22

＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪

⎧x 1＝y 21

2p

，

x 2

＝y 2

2

2p ，

∴k PQ ＝

y 1－y 2y 2

12p －y 22

2p

＝2p

y 1＋y 2， 又∵P ，Q 关于l 对称.∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ， ∴y 1＋y 2

2＝－p ，又∵PQ 的中点一定在l 上， ∴

x 1＋x 22

＝

y 1＋y 2

2

＋2＝2－p .

∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p ). ②解 ∵PQ 的中点为(2－p ，－p )，