19.1.1 变量与函数(教案)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）上述关系中的常量和变量各是什么？
（2）一个15岁的学生正常情况下每分钟心跳的最高次数是多少？
3.(1)齿轮每分钟转120转,如果用n表示总转数,t(分)表示时间,那么n关于t的函数关系式是_____________.
(2)火车离开A站10km后,以55km/h的平均速度前进了t(h)小时,那么火车离开A站的距离s(km)与时间t(h)之间的函数关系式是_____________________.
(2)自变量以分式形式出现,取值范围是使分母不为0的数.
(3)自变量以偶次方根形式出现,取值范围为使被开方数为非负数的实数;自变量以立方根形式出现,取值为全体实数.
(4)自变量以零次幂形式出现,取值范围为使底数不为0的数.
(5)自变量取值范围还应考虑实际意义.
三、典例精析，掌握新知
例1根据下列题意写出适当的关系式,并指出其中的变量和常量.
（2）等腰三角形的顶角y与底角x存在关系y=180°-2x；
（3）长方体的体积V(cm3)与长a（cm），宽b(cm)，高h(cm)之间的关系式为V=abh.
2.人心跳速度通常和人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数.经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).
(1)多边形的内角和W与边数n的关系.
(2)甲、乙两地相距ykm,一自行车以10km/h的速度从甲地驶向乙地,试用行驶时间t(h)表示自行车离乙地的距离s(km).
【分析】弄清题意,找准其中的等量关系,并注意字母表示的量不一定是变量,如(2)中的y.
解:根据题意列表为:
例2求下列函数中自变量的取值范围.
二、思考探究，获取新知
问题1在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，填入下表：
如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l（cm）?
问题2用10cm长的绳子围成长方形.试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样变化.记录不同的长方形的长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示).设长方形的长为xcm,面积为Scm2,怎样用含x的式子表示S?
(2)当x=6时,y=2.4×6+0.2=14.6.
(3)当y=19.4时,2.4x+0.2=19.4,解得x=8.即售价为19.4元时售出苹果的质量为8kg.
五、师生互动，课堂小结
由学生谈本节课的收获及仍存在的疑问等.教师根据学生的发言,予以点评总结.
1.布置作业：从教材“习题19.1”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
4.某水果店卖苹果,其售出质量x(kg)与售价y(元)之间的关系如表:
(1)试写出售价y(元)与售出质量x(kg)之间的函数关系式；
(2)计算当x=6时，y的值；
(3)求售价为19.4元时，售出苹果的质量.
【教学说明】用字母表示的量不一定是变量，如π、g等表示的是常量，要从变与不变的实质出发来分辨变量和常量.
【答案】1.（1）时间t可以取不同值，随t的变化，h值也改变，因此时间t、距离h是变量， 、g的值始终不变，是常量.（2）底角x可以取不同值，y随x的改变而改变，因此x、y是变量，而180°与2是常量.（3）长a，宽b，高h都可以取不同的值，V的对应值也是变化的，故a、b、h、V都是变量.
2.（1）变量是b、a，常量是0.8、220.（2）把a=15代入b=0.8(220-a)，得b=0.8×(220-15)=164.
【教学重点】
理解常量、变量和函数的概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式.
【教学难点】
确定函数关系式及自变量的取值范围.
一、情境导入,初步认识
【教学说明】选取学生熟悉的生活情境,让学生感受其中的变化,从这些感受中逐渐领悟知识.
情境1汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶里程为skm,行驶时间为th.填写下列表格,再试着用含t的式子表示s.
(1)y=x2-2x-1;(2) ;(3) ;
(4) ;(5) ;(6)y=(x-1)0.
【教学说明】观察含自变量的式子,进行归类,再依各自特征求范围.
【答案】(1)一切实数;(2)x≠4;(3)x≥2;(4)x>-3;(5)1≤x≤3;(6)x≠1.
【归纳总结】含自变量的式子有时包含多种特征(如有分母,有被开方数等),这时要综合考虑各种要求,准确界定范围.
3.(1)n=120t;(2)s=10+55t.
4.(1)根据信息:售出质量每增加1千克,售价则增加2.4元,售价中另一部分0.2元不变,可求出y与x之间的函数关系式.(2)把x=6代入函数关系式可求出y值;(3)实际上是求当y=19.4时,它所对应的x的值.
解:(1)从表中提供的信息看,质量每增加1千克,售价增加2.4元,所以y=2.4x+0.2.
本课时内容是学生的认识，由常量到变量的一个飞跃，教学时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生感知变量存在的意义，体会变量间的相互依存关系和变化规律，掌握函数的知识.教学重在引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，提高研究与应用能力。
将学生分成若干小组,分别探究两个问题,再汇总交流.
【教学说明】在小组实践探究时,教师应参与小组活动,然后再作出总结.
上面的问题和探究都反映了不同事物的变化过程,其中有些量(时间t,里程s;出售票数x,票房收入y;……)的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称为变量.也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(km/h),票价10(元)等,即为常量.
一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
提出自变量取值范围的概念,总结求自变量取值范围的规律：
(1)自变量以整式形式出现,取值范围是全体实数.
情境2已知每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张，午场售出205张，晚场售出310张，那么三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售出x张票，票房收入y元，怎样用含x的式子表示y？
情境3要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？画面积为20cm2的圆呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?
例3小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长x(cm)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
【分析】(1)周长等于三边的长度和,由此求得函数关系式;(2)自变量x要使腰、底为正数,即x>0,y>0.同时还要满足任意两边的和大于第三边,得到不等式组求解.
19.1函数
19.1.1变量与函数
【知识与技能】
运用丰富的实例，使学生了解常量与变量的含义，理解函数的概念,能根据所给条件写出简单的函数关系式.
【过程与方法】
通过丰富的实例，分析变化过程中的常量与变量，经历从实际问题中得到函数关系式的过程,发展学生的数学应用能力.
【情感态度】
引导学生探索实际问题中的数量关系,培养学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在来自百度文库决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.
解：由题意,得2x+y=80,所以y=80-2x.由解析式本身有意义,得x为全体实数.
又由使实际问题有意义,则要考虑到边长为正数,且要满足三边关系定理,故有
.即
解得20<x<40.故y=80-2x(20<x<40).
四、运用新知，深化理解
1.分别指出下列关系式中的变量与常量：
（1）一个物体从高处自由落下，该物体下落的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式为 （其中g≈9.8m/s2）；
（2）一个15岁的学生正常情况下每分钟心跳的最高次数是多少？
3.(1)齿轮每分钟转120转,如果用n表示总转数,t(分)表示时间,那么n关于t的函数关系式是_____________.
(2)火车离开A站10km后,以55km/h的平均速度前进了t(h)小时,那么火车离开A站的距离s(km)与时间t(h)之间的函数关系式是_____________________.
(2)自变量以分式形式出现,取值范围是使分母不为0的数.
(3)自变量以偶次方根形式出现,取值范围为使被开方数为非负数的实数;自变量以立方根形式出现,取值为全体实数.
(4)自变量以零次幂形式出现,取值范围为使底数不为0的数.
(5)自变量取值范围还应考虑实际意义.
三、典例精析，掌握新知
例1根据下列题意写出适当的关系式,并指出其中的变量和常量.
（2）等腰三角形的顶角y与底角x存在关系y=180°-2x；
（3）长方体的体积V(cm3)与长a（cm），宽b(cm)，高h(cm)之间的关系式为V=abh.
2.人心跳速度通常和人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数.经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).
(1)多边形的内角和W与边数n的关系.
(2)甲、乙两地相距ykm,一自行车以10km/h的速度从甲地驶向乙地,试用行驶时间t(h)表示自行车离乙地的距离s(km).
【分析】弄清题意,找准其中的等量关系,并注意字母表示的量不一定是变量,如(2)中的y.
解:根据题意列表为:
例2求下列函数中自变量的取值范围.
二、思考探究，获取新知
问题1在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，填入下表：
如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l（cm）?
问题2用10cm长的绳子围成长方形.试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样变化.记录不同的长方形的长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示).设长方形的长为xcm,面积为Scm2,怎样用含x的式子表示S?
(2)当x=6时,y=2.4×6+0.2=14.6.
(3)当y=19.4时,2.4x+0.2=19.4,解得x=8.即售价为19.4元时售出苹果的质量为8kg.
五、师生互动，课堂小结
由学生谈本节课的收获及仍存在的疑问等.教师根据学生的发言,予以点评总结.
1.布置作业：从教材“习题19.1”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
4.某水果店卖苹果,其售出质量x(kg)与售价y(元)之间的关系如表:
(1)试写出售价y(元)与售出质量x(kg)之间的函数关系式；
(2)计算当x=6时，y的值；
(3)求售价为19.4元时，售出苹果的质量.
【教学说明】用字母表示的量不一定是变量，如π、g等表示的是常量，要从变与不变的实质出发来分辨变量和常量.
【答案】1.（1）时间t可以取不同值，随t的变化，h值也改变，因此时间t、距离h是变量， 、g的值始终不变，是常量.（2）底角x可以取不同值，y随x的改变而改变，因此x、y是变量，而180°与2是常量.（3）长a，宽b，高h都可以取不同的值，V的对应值也是变化的，故a、b、h、V都是变量.
2.（1）变量是b、a，常量是0.8、220.（2）把a=15代入b=0.8(220-a)，得b=0.8×(220-15)=164.
【教学重点】
理解常量、变量和函数的概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式.
【教学难点】
确定函数关系式及自变量的取值范围.
一、情境导入,初步认识
【教学说明】选取学生熟悉的生活情境,让学生感受其中的变化,从这些感受中逐渐领悟知识.
情境1汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶里程为skm,行驶时间为th.填写下列表格,再试着用含t的式子表示s.
(1)y=x2-2x-1;(2) ;(3) ;
(4) ;(5) ;(6)y=(x-1)0.
【教学说明】观察含自变量的式子,进行归类,再依各自特征求范围.
【答案】(1)一切实数;(2)x≠4;(3)x≥2;(4)x>-3;(5)1≤x≤3;(6)x≠1.
【归纳总结】含自变量的式子有时包含多种特征(如有分母,有被开方数等),这时要综合考虑各种要求,准确界定范围.
3.(1)n=120t;(2)s=10+55t.
4.(1)根据信息:售出质量每增加1千克,售价则增加2.4元,售价中另一部分0.2元不变,可求出y与x之间的函数关系式.(2)把x=6代入函数关系式可求出y值;(3)实际上是求当y=19.4时,它所对应的x的值.
解:(1)从表中提供的信息看,质量每增加1千克,售价增加2.4元,所以y=2.4x+0.2.
本课时内容是学生的认识，由常量到变量的一个飞跃，教学时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生感知变量存在的意义，体会变量间的相互依存关系和变化规律，掌握函数的知识.教学重在引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，提高研究与应用能力。
将学生分成若干小组,分别探究两个问题,再汇总交流.
【教学说明】在小组实践探究时,教师应参与小组活动,然后再作出总结.
上面的问题和探究都反映了不同事物的变化过程,其中有些量(时间t,里程s;出售票数x,票房收入y;……)的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称为变量.也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(km/h),票价10(元)等,即为常量.
一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
提出自变量取值范围的概念,总结求自变量取值范围的规律：
(1)自变量以整式形式出现,取值范围是全体实数.
情境2已知每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张，午场售出205张，晚场售出310张，那么三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售出x张票，票房收入y元，怎样用含x的式子表示y？
情境3要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？画面积为20cm2的圆呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?
例3小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长x(cm)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.
【分析】(1)周长等于三边的长度和,由此求得函数关系式;(2)自变量x要使腰、底为正数,即x>0,y>0.同时还要满足任意两边的和大于第三边,得到不等式组求解.
19.1函数
19.1.1变量与函数
【知识与技能】
运用丰富的实例，使学生了解常量与变量的含义，理解函数的概念,能根据所给条件写出简单的函数关系式.
【过程与方法】
通过丰富的实例，分析变化过程中的常量与变量，经历从实际问题中得到函数关系式的过程,发展学生的数学应用能力.
【情感态度】
引导学生探索实际问题中的数量关系,培养学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在来自百度文库决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.
解：由题意,得2x+y=80,所以y=80-2x.由解析式本身有意义,得x为全体实数.
又由使实际问题有意义,则要考虑到边长为正数,且要满足三边关系定理,故有
.即
解得20<x<40.故y=80-2x(20<x<40).
四、运用新知，深化理解
1.分别指出下列关系式中的变量与常量：
（1）一个物体从高处自由落下，该物体下落的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式为 （其中g≈9.8m/s2）；