压轴题-直角三角形

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1、（2010江苏省徐州市中考网上阅卷作答训练）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝4，OC ＝2．点P 从点O 出发，沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段CP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转90°得点D ，点D 随点P 的运动而运动，连接DP 、DA ．

（1）请用含t 的代数式表示出点D 的坐标；

（2）求t 为何值时，△DP A 的面积最大，最大为多少？ （3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△DP A 能否成为直角三角形？若能，求t 的值；若不能，请说明

理由；

（4）请直接．．写出随着点P 的运动，点D 运动路线的长． 2、（2010甘肃省天水市、庆阳市、定西市、白银市、嘉峪关市等九市联考）

如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；

（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直

接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3、（2010贵州省铜仁地区）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O （0，0），A （3，0），C （0，2），点P 是OA 边上的动点（与点O 、A 不重合）．现将△P AB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合． （1）设P （x ，0），E （0，y ），求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；

（2）如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；

（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点M ，使△PEM 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点M 的坐标．

4、（2010云南省楚雄自治州）已知：如图，⊙A 与y 轴交于C 、D 两点，圆心A 的坐标为（1，0），⊙A 的半径为5，过点C 作⊙A

的切线交x 轴于点B ．

（1）求切线BC 的解析式；

（2）若点P 是第一象限内⊙A 上的一点，过点P 作⊙A 的切线与直线BC 相交于点G ，且∠CGP ＝120°，求点G 的坐标； （3）向左移动⊙A （圆心A 始终保持在x 轴上），与直线BC 交于

E 、

F ，在移动过程中是否存在点A ，使△AEF 是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2

6、（2010四川省达州市）如图，对称轴为x ＝3的抛物线y ＝ax 2

＋2x 与x 轴相交于点B 、O ．

（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A 的坐标；

（2）连结AB ，把AB 所在的直线平移，使它经过原点O ，得到直线l ，点P 是l 上一动点．设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形面积为S ，点P 的横坐标为t ，当0＜S ≤18时，求t 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当t 取最大值时，抛物线上是否存在点Q ，使△OPQ 为直角三角形且OP 为直角边，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

7、（2010四川省内江市）如图，抛物线y ＝mx 2

－2mx －3m （m ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．

（1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A 、B 两点的坐标；

（2）经探究可知，△BCM 与△ABC 的面积比不变，试求出这个比值； （3）是否存在使△BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

8、（2010湖南省郴州市）如图（1），抛物线y ＝x 2

＋x －4与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y ＝x ＋b 与抛物线交于点B 、C ．

（1）求点A 的坐标； （2）当b ＝0时（如图（2）），△ABE 与△ACE 的面积大小关系如何？当b ＞－4时，上述关系还成立吗，为什么？

（3）是否存在这样的b ，使得△BOC 是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求b 的值；若不存在，说明理由．

图（1）

图（2）

（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；

（3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究RQ

CQ

是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，

请说明理由．

10、（2010广东省河源市、梅州市）如图，直角梯形OABC 中，OC ∥AB ，C （0，3），B （4，1），以BC 为直径的圆交x 轴于E ，D 两点（D 点在E 点右方）．

（1）求点E 、D 的坐标； （2）求过B 、C 、D 三点的抛物线的函数关系式；

（3）过B 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．

11、（2010内蒙古包头市）如图，抛物线y ＝－x 2

＋(m ＋2)x －3(m －1)交x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，直线y ＝(m ＋1)x －3经过点B ． （1）求该抛物线的解析式；

（2）P 为线段AB 上的动点，过点P 作PD ∥BC ，交AC 于点D ，连接CP ，当△CPD 的面积最大时，求点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，将直线y ＝(m ＋1)x －3沿y 轴向上平移，平移后的直线与该抛物线交于M 、N 两点．在直线平移过程中，是否存在某一位置使得△PMN 为直角三角形？若存在，请求出此时直线向上平移了几个单位；若不存在，请说明理由．

12、（2010内蒙古呼伦贝尔市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 的坐标为（0，12），顶点C 的坐标为（25，0），O 为坐标原点，点D 是边OC 上一点，AD ⊥BD ，且OD ＜DC ． （1）求点D 的坐标；

（2）动点P 从点A 出发，以每秒3个单位的速度沿折线AD →DB →BA 运动，动点Q 从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿边OC 向点C 运动，两动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设动点的运动时间为t 秒，△PQD 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式； （3）当△PQD 为直角三角形时，直接写出t 的值．

＋1)x －3