第十二届全国“华罗庚金杯”数学邀请赛复赛试题及答案(初一组)

第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

复赛试卷（初一组）

（时间2007年4月21日10：00～11：30）

一、填空（每题10分，共80分） 1、计算：=⎪⎭

⎫

⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯

-3553134217685.17 。 2、“b 的相反数与a 的差的一半的平方”的代数表达式为 。 3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，

例如：3⊕5=5，3⊙5=3，则

4、已知 5-=-n m ，1322=+n m ，那么 44n m += 。

5、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，则这个立体的表面积最多是 。

图1（从上向下看） 图2（从正面看） 6、满足不等式|13|22|1|3+>--n n n 的整数n 的个数是 。 7、某年级原有学生280人，被分为人数相同的若干个班。新学年时，该年级人数增加到585人，仍被分为人数相同的若干个班，但是多了6个班，则这个年级原有 个班。

8、如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数，并且最大角是最小角的5倍，那么这个三角形的最大角的度数是 。

二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9、已知a ，b ，c 都是整数，当代数式 c b a 327++ 的值能被13整除时，那么代数式 c b a 2275-+的值是否一定能被13整除，为什么？ 10、如图3所示，在四边形ABCD 中，ND MN AM ==，

FC EF BE ==，四边形ABEM ，MEFN ，NFCD 的

∶∶∶∶∶∶∶∶∶装

∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订

∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线

∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶

面积分别记为1S ，2S 和3S ，求

3

12

S S S =？

（提示：连接AE 、EN 、NC 和AC ）

11、图4是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖

各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数。请写出这个9位数，简单说明理由。

12、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由） 三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）

13、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”。已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁。请回答：谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？

14、请回答：8

1

能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？8

1能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由。

第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

复赛试题参考答案（初一组）

一、填空（每题10分，共80分）

二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程） 9、解：设x ，y ，z ，t 是整数，并且假设

)(13)327(2275tc zb ya c b a x c b a +++++=-+ （1） 比较上式a ，b ，c 的系数，应当有 5137=+y x

7132=+z x （2） 22133-=+t x

取 3-=x ，可以得到 2=y ，1=z ，1-=t ，则有

c b a c b a c b a 2275)327(3)2(13-+=++--+ （3）

既然 )327(3c b a ++和)2(13c b a -+都能被13整除，c b a 2275-+就能被13整除。 【说明】 c b a 2275-+表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取10=x ，则有 5-=y ，1-=z ，4-=t ，则有

)45(13)327(1022

75c b a c b a c b a ++-++=-+ 实际上，（2）是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到 k x 133+-=，k y 72-=，这里k 是任意整数， 将 k x 133+-=代入其余方程，解得

k z 21-=，k t 31--=，这里k 是任意整数， 则可以有

])31()21()72[(13)327)(133(2275c k b k a k c b a k c b a --+-+-++++-=-+

评分参考：有类似于（3）的代数表达式，给10分。

10、解：如图3a ，连接AE 、EN 和NC ，易知

由 MEN AEM S S ∆∆=， E F N C N F S S ∆∆=， 上面两个式子相加得

2S S S CNF AEM =+∆∆ （1）

并且四边形AECN 的面积=22S 。 连接AC ，如图3b ,由三角形面积公式，易知 A E C A B E S S ∆∆=21， CNA CDN S S ∆∆=2

1 上面两个式子相加得

2

1=+∆∆C D N A B E S S 四边形AECN 的面积=2S （2） 将（1）式和（2）相加，得到

22S S S S S C D N ABE CNF AEM =+++∆∆∆∆， 既然

1S S S A B E A E M =+∆∆， 3S S S ABE CNF =+∆∆

因此 图3b 2312S S S =+，

2

1

312=+S S S 。 答：

2

1

312=+S S S

评分参考：①能利用三角形面积公式导出

结果（1），给4分；②能利用三角形面积公式导出结果（2），给4分；③正确给出答案，给2分。 11、解答：填数的方法是排除法，用（m ，n ）表示位于第m 行和第n 列的方格。

第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图

4左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格 图4a

子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图4右下角的“小九宫”格

中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图4中下部的“小