二阶常系数齐次线性微分方程

Q( x)[C1 y1 C2 y2 ] C1 [ y1 P( x) y1 Q( x) y1]
C2 [ y2 P( x) y2 Q( x) y2] 0 证毕
定理表明, 二阶线性齐次微分方程任何 两个解 y1(x), y2(x) 的线性组合
y C1 y1(x) C2 y2 (x)
有特解
且
y2 y1

tan
x
常数,
故方程的通解为
二阶齐次线性方程通解的求法
分析 考虑到当y, y, y为同类函数时
有可能使ypyqy 恒等于零 而函数erx具
有这种性质 所以猜想erx是方程的解
将yerx代入方程ypyqy0得
(r2prq)erx0
由此可见 只要r满足代数方程r2prq0
是特征方程的重根
u 0
取u=x, 得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为
y ( C1 C2 x )er1 x
(3) 当 p2 4q 0时, 方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e(i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e(i ) x e x (cos x i sin x )
函数yerx 就是微分方程的解
r2prq0叫做微分方程ypyqy0的
特征方程. 特征方程的求根公式为
r1, 2


p
p2 4q 2

设r1, r2是特征方程的两个根. (1) 当 p2 4q 0 时, 方程有两个相异实根
则微分方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为 y C1 er1 x C2 er2 x
(C1 2C2 )ex Cex
也是它的解. 但这个解中只含有一个任意常 数C, 显然它不是所给方程的通解.
问题: 方程的两个特解 y1(x), y2(x) 满足
什么条件时, y C1 y1(x) C2 y2 (x) 才是方程
的通解？
由例7-12的分析可知, 如果方程的两个 特解y1(x), y2(x)之间不是常数倍的关系, 那 么它们线性组合得到的解
成立, 则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线
性相关, 否则称y1(x)与y2(x)线性无关.
思考:
中有一个恒为0, 则
必线性相关
定理. (二阶齐次线性方程通解的结构) 是二阶线性齐次方程的两个
线性无关的特解, 则 y C1 y1( x) C2 y2( x)
数) 是该方程的通解.
例如, 方程
(2) 当 p2 4q 0 时, 特征方程有两相等实根 则微分方程有一个特解
设另一特解为 , ( u(x) 待定).
代入原微分方程 y py qy 0得:
er1 x [( u 2r1u r12u ) p(u r1u )q u 0
u ( 2r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
第五节 二阶常系数齐次线性微分方程
这是一类有专门的求解方法微分方程
定义 形如ypyqyf(x)的方程称为二阶 常系数线性微分方程 其中p, q是常数, f(x) 称为自由项.
特别地, 当f(x)=0时, ypyqy0称为 二阶常系数线性齐次微分方程 否则称为 线性非齐次微分方程.
特征方程有两个不等的实根r11 r23 因此微分方程的通解为yC1exC2e3x
例2 求解初值问题
d2s ds dt2 2dt s 0
s t0 4 ,
ds dt
2 t0
解: 特征方程 r2 2r 1 0, 特征根为
r1 r2 1 , 因此原方程的通解为
s (C1 C2 t )e t
由初始条件得 C1 4, C2 2
于是所求初值问题的解为
例3 求微分方程 y 2 y 5 y 0的通解.
解：所给方程的特征方程为 r 2 2r 5 0
其根为 r1,2 1 2i , 故所求通解为
y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x)
(3) 根据特征方程根的不同情况, 写出微分方 程的通解.
特征根
通解
实根
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x )er1 x y e x(C1 cos x C2 sin x )
例1 求微分方程y2y3y0的通解
解: 微分方程的特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0
定理.(叠加原理) 若函数 y1( x), y2( x) 是方程
y P( x) y Q( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1( x) C2 y2( x)也是该方程 的解.
证:将 y C1 y1( x) C2 y2( x) 代入方程左边, 得
[C1 y1 C2 y2 ] P( x)[C1 y1 C2 y2 ]
y C1y1(x) C2 y2 (x) (C1,C2为任意常数)
就必定是方程的通解.
定义 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间 内的两个函数, 如果存在不为零的常数k
(或存在不全为零的常数k1, k2), 使得对于 该区间内的一切x, 有
y2(x) k y1 ( x)
(或k1y1(x) k2 y2 (x) 0)
利用解的叠加原理, 得原方程线性无关特解:
y1

1 2
(
y1

y2 )

e x cos
x
y2

1 2i
( y1

y2 )

e x
sin
x
因此原方程的通解为
y e x (C1 cos x C2 sin x)
求y+py+qy=0的通解的步骤:
(1) 写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0 (2) 求出特征方程的两个根r1, r2
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习题6-5 (p358) 全部做于书上, 1(5), 2(5)交作业.
仍是方程的解. 那么,
C1 y1(x) C2 y2 (x)是不是方程的通解呢？
例. 对于二阶常系数线性齐次微分方程
y'' 2 y' y 0,
容易验证: y1(x) ex , y2 (x) 2ex都是它的解.
由定理知
y C1y1(x) C2 y2 (x) C1ex 2C2ex