逻辑函数的卡诺图表示及卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
逻辑函数的卡诺图化简
逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。
前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。
1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。
（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。
二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。
图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。
几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。
2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。
对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。
（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。
因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。
即可以得到逻辑函数的卡诺图。
【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。
逻辑函数的卡诺图表示和卡诺图化简法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
11 0 0 1 1 10 0 1 1 1
例：将F(A、B、C、D) ACD AB BCD ABC AC
化为最简与非—与非式。 CD
解：
ACD
AB
00 01 11 10
00 01
1 1
1 0
0 m104,m15 1 两1次填1
AB
11 1 1 1 1
10 0 1 1 1
B CD AC
ABC
1．卡诺图化简逻辑函数旳原理 : 具有相邻性旳最小项能够合并，并消去不同旳因子，
合并旳成果为这些项旳公因子．
（1）2个相邻旳最小项结合，２项能够而合并为１项， 并消去1个不同旳变量。
（2）4个相邻旳最小项结合， ４项能够而合并为１项， 并消去2个不同旳变量。
（3）8个相邻旳最小项结合， ８项能够而合并为１项， 并消去3个不同旳变量。
解： 写成简化形式： F m0 m3 m6 m7 然后填入卡诺图：
例3 画出 Y ABC D ACD AC 旳卡诺图
解:直接填入
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 1 0
01 0 0 1 0
11 0 0 1 1
10 0 1 1 1
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 1 0
总之， 2n 个相邻旳最小项结合，2n 项能够而合并为１
项，能够消去n个不同旳变量。
化简根据
2n项相邻，并构成一种矩形组， 2n项能够而合并为 １项，消去n个因子，合并旳成果为这些项旳公因子。
利用卡诺图化简旳规则
相邻单元格旳个数必须是2n个，并构成矩 形组时才能够合并。
CD 00 01 11 10
诺图
卡诺图化简法一全文
m0
0
m1如何根据输入1变量组 m2合写出相应最2小项？
m3
3
m4
4
m5
5
m6
6
m7
7
例如 ABC 101 5 m5
m4 4 100 ABC
2. 最小项的基本性质
(1) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而
其余各种变量取值均使其值为0。 (2) 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 (3) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 (4) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
每一个与项都是最小项的与或逻辑式称为标 准与或式，又称最小项表达式。
任何形式的逻辑式都可以转化为标准与或式， 而且逻辑函数的标准与或式是唯一的。
[例] 将逻辑式 Y ABC AB C D 化为标准与或式。
解：(1) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。
Y ABC AB C D ABC AB (C D) ABC ABC ABD 普通与或式，非标准与或式
CD
AB
C D CD CD C D
同一行最 左与最右 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
方格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D 卡诺图特点： 循环相邻性 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
同一列最 上与最下 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D
(2) 找出真值表中Y=1 对应的最小项，在 卡诺图相应方格中 填1，其余不填。
BC A 00 01 11 10
0 10 1 3 12
1 14 5 7 16
已 [例] 已知 Y AD AB(C BD)，试画出Y的卡诺图。 知 解：(1) 将逻辑式转化为与或式
卡诺图化简
2017/4/18
7
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。 利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。 它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺 点。 卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑 函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一 种方法。 卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论 一下最小项及最小项表达式。
的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那
一组变量取值组合当成二进制数，与其等值的十进
制数，就是该最小项的编号。
表1-14 三变量最小项的编号表
2017/4/18
12
（3）最小项表达式
任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是唯一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1-7 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： Y AB BC AB (C C ) ( A A) BC
反演律 可见，实现该函数需要用两个非门、四个两输入 端与非门、一个五输入端与非门。电路较复杂。
×1
2017/4/18
×2
×4
2
若将该函数化简并作变换：
Y A AB ABC BC BC
Y A(1 B BC ) C ( B B) AC AC
可见，实现该函数需要用两个非门和一个两输入 端与非门即可。电路很简单。
1
1
ACD=101 最后将剩 下的填20 0
2017/4/18
Y1 AB AB (C C )( D D) AB C D AB C D ABC D ABCD m (12,13,14,15)
用卡诺图化简逻辑函数
1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。
所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。
对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。
二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。
通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。
编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。
如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。
小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m 0, m １,m ２,……来编号。
1010001111001A BCAB CD B A 0001111000011110m m m m m mmmm m m m 012300112233m m m m m m m m m m m m m m m m 456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。
逻辑函数的卡诺图法化简
精品课件
26
输入变量ABC取值为001、010、100时，
逻辑函数Y有确定的值，根据题意，有任一命令（正 转、反转和停止）时为1，否则为0。
反变 函换 数为
CD BD
CD
AB
00 01 11 10
Y AB AC BD CD AB
00 1
0
1
1
01 1
0
0
1
11 0
0
0
0
10 0
0
1
1
AC
精品课件
13
4、卡诺图的性质
（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C
但是，若 F= ABCD+ABC+BC+ABC ，显然，该函数式
难于找到相邻项。
精品课件
1
2.4.2 逻辑函数的标准式——最小项表达 式
问题的提出：逻辑函数 F= ABC+ABC ，之所以易于看出它们 的乘积项是逻辑相邻项，是因为它们的每一个乘积项中都包 含了所有的变量。而F= ABCD+ABC+BC+ABC，每个乘积项没有 包含所有的变量，所以逻辑相邻关系不直观。于是引入了最 小项的概念。
15
AB CD
00 01 11 10
00 0
1
1
0
01 1 0 0 1
11 1
0
0
1 ＡＤ
10 0 1 1 0
ＢＤ
AB CD
00 01 11 10
00 1
0
0
1
01 0
1
1
0
11 0
卡诺图_精品文档
例2-6-2 4线-2线优先编码器
E a3 a2 a1a0 b1 a3 a2 b0 a3 a2 a1
例2-6-3 译码器
Y3 b1b0 m3 Y2 b1 b0 m2 Y1 b1b0 m1 Y0 b1 b0 m0
例2-6-4 多路开关
Y a1 a0d0 a1a0d1 a1 a0d2 a1a0d3
例：8421BCD码输入的四舍五入电路。 表2-4-2 四舍五入电路真值表
例：8421BCD码输入的四舍五入电路。
z(b3,b2 ,b1,b0 ) m (5,6,7,8,9) d (10,11,12,13,14,15) z(b3,b2 ,b1,b0 ) M (0,1,2,3,4) D (10,11,12,13,14,15) z(b3 , b2 , b1, b0 ) b3 b2b1 b2b0
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26
30
31
29
28
10
16
17
19
18
22
23
21
20
abc z 000 1 001 1 010 1 011 0 100 1 101 0 110 0 111 1
bc 00 01 11 10
a
0 1 0 1 1 03 1 2 1 1 4 0 5 17 0 6
例： 由真值表到卡诺图
2-4-2 表达式与卡诺图
卡诺图：唯一的，用于逻辑函数化简。
表达式： 与或式（不唯一）、或与式（不唯 一） 、最小项表达式（唯一） 、最 大项表达式（唯一）。
逻辑图：与—或和与非—与非电路、或—与 和或非—或非电路，与或非电路。
小结（续）
组合逻辑电路分析的步骤： 逻辑图→表达式→真值表→总结逻辑功能 组合逻辑电路分析的步骤： 文字描述→真值表、表达式→化简→逻辑图
卡诺图化简法
26
(7) 由最大项表达式求最简与或式
例2.6.18 已知函数 F ( A, B,C, D) M (5,7,13,15)
求最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 1 1 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 1 1 1
F(A,B,C,D) = B + D
图 2.6.18
16
(4) 合并的规律 ① 圈2格，可消去1个变量；
BC A 00 01 11 10
0 1 1 00 1 0 0 00
BC
A
00 01 11 10
0 1 0 01
1 0 0 00
F=AB
F=AC
17
② 圈4格，可消去2个变量；
ห้องสมุดไป่ตู้
BC
A
00 01 11 10
0 1 1 00
1 1 1 00
BC A 00 01 11 10
例2.6.16 化简函数
F( A, B,C, D) m(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)
为最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 0 0 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 1 1
图 2.6.15
F(A,B,C,D) = A B D + BD+AB+BC
BC A 00 01 11 10 ⊕0 0 1 1 0
1 0 0 00
BC A 00 01 11 10 ﹦ 0 0 0 10
1 0 1 00
11
(4) 反演 BC
A 00 01 11 10
0 0 1 00 1 0 1 00
18. 卡诺图化简法
二变量卡诺图
三变量的卡诺图
• 4变量的卡诺图
五变量的卡诺图
用卡诺图表示逻辑函数
1. 将函数表示为最小项之和的形式 mi 。
2. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1 ，其余地方添0。
用卡诺图表示逻辑函数
Y (A, B,C, D) ABCD ABD AB
ABCD (C C)ABD AB[(CD) CD CD CD]
2.8 多输出逻辑函数的化简
例: Y1(A, B,C, D) (1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14,15)
Y2 (A, B,C, D) (1,3, 4,5, 6, 7,12,14) Y3( A, B,C, D) (3, 7,10,11)
卡诺图化简
Y1( A, B,C, D) B AC ACD Y2 ( A, B,C, D) AD BD
m(1, 4据：具有相邻性的最小项可合并，消去 不同因子。
在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形 中直观地反映出来。
合并最小项的原则：
两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子
四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去 两对因子
在输入变量某些取值下，函数值为1或 为0不影响逻辑电路的功能，在这些取 值下为1的最小项称为任意项
逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写
入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称 为无关项。
2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。
加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少， 每项因子最少······
CD
AB 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1
用卡诺图化简逻辑函数
1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。
所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。
对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。
二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。
通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。
编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。
如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。
小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m0, m１,m２,……来编号。
01 0100011110 01ABCABCDBA0001111000011110m m m mm m m mm mm m01230112233mmmmmmmmmmmmmmmm456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。
逻辑函数的卡诺图化简法
逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。
但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。
运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。
但首先需要了解最小项的概念。
一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
卡诺图化简与数据选择器
卡诺图化简法
一、逻辑函数的卡诺图表示法
实质：将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示 出来
以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将 它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小 项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就 得到表示n变量全部最小项的卡诺图。
五变量的卡诺图
2、化简结果为:
A D
Y 2
m(0,1,2, 5, 6, 7)
1、卡诺图 为：
2、化简结果为:
Y (A, B,C) m1,2 d3,5,7
BC A
00
0
1
01 1 1 1 0 1×1 ××
Y C AB
1、
Y AB AC BC
2、
Y m 2,5,6,7,10,12.13,14 d 0,1,3,8,9,11
逻辑相邻分为： 相近相邻——接壤 相对相邻——关于对称轴对称
注意： 相对位置的一行、一列的两头，两边，四角相邻 以对称轴为中心对折起来的重叠部分也相邻
两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子
四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对 因子
八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子
只能是2n项合并，消去n个变量，即每个圈的小方格 数为2n个
CD AB
00
01
11
10
00 0 0 1 0
01 0 1 1 0
11 0 1 1 1 10 0 0 1 1
表达式不是最小项之和的形式
应用覆盖面积法
Y A BC
BC A
00
01
11
10
00 0 0 1
11 1 1 1
卡诺图化简法
m 0 m 1 m 2 m 3 m 7
m (0,1,2,3,7)
2021/10/10
第6章
9
➢ 已知真值表，写出函数的最小项之和的形式
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最 小项相加，便是函数的最小项表达式。
ABC Y
000 0 001 1 010 1 011 1 100 0 101 1 110 0 111 0
18
再如：
AC
BD
ABCDABCDABCDABCD ACD(BB)ACD(BB) CD(AA)CD
2021/10/10
BD
19
性质3：卡诺图中八个相邻1格的最小项可以合并成一个与项， 并 消去三个变量。
综上所述，在 n 个变量卡诺图中，若有2k个1格相邻（k为
0，1，2…，n）, 它们可以圈在一起加以合并，合并时可消去
相邻的两个最小项之和可以合并成一项，并消去一个变 量。如：
m 0 m 2 A B C A B C A ( B B ) C A C
第6章
2021/10/10
12
2.卡诺图
◆ 基本知识
卡诺图是由美国工程师卡诺（Karnaugh）首先提出的一种 用来描述逻辑函数的特殊方格图。
在这个方格图中，每一个方格代表逻辑函数的一个最小项， 而且几何相邻（在几何位置上，上下或左右相邻）的小方格具 有逻辑相邻性，即两相邻小方格所代表的最小项只有一个变量 取值不同。
的最简与或表达式
解：1画出函数F 的卡诺图。对于在函数 F 的标准与或表达式中出现
的那些最小项，在其卡诺图的对应小方格中填上1，其余方格不填；
2合并最小项。把图中所有的1格都圈起来，相邻且能够合并在 一起的1 格圈在一个大圈中； 3写出最简与或表达式。对卡诺图中所画每一个圈进行合并，保 留相同的变量，去掉互反的变量。
数字逻辑基础卡诺图化简
13
练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图
A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 Y 0 0 0 1
1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1
2018/10/20
0
1 1 1
14
（2）从最小项表达式画卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填 入1，其余的小方块中填入0。 例4： 画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
2018/10/20
图1-14 例4的卡诺图
AB ABC AB来自 ( AB AB)C AB(C C)
ABC ABC ABC ABC
ABC ABC ABC
m(2,3,4)
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练习： 1： 将逻辑函数展开为最小项表达式
Y ABCD ACD AC
2： 若最小项表达式为Y(A,B,C)=Σm(0,1,2,7), 写出其对应的最小项与或表达式
15
（3）从与－或表达式画卡诺图 把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积 项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都 填上1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
例5：已知 Y AB ACD ABCD ，画卡诺图。
Y1 AB AB (C C )( D D) AB C D AB C D ABC D ABCD m (12,13,14,15)
3-3 逻辑函数的卡诺图化简法
F A, B, C BC A A BC ABC ABC m2 m6
A BC 0 1 00 0 0 01 0 0 11 0 0 10 1 1
方法二：将逻辑式表示成与或式，与项代表的最小项 在卡诺图中出现在行变量与列变量的交叉位置。在与项中 未出现的变量既以原变量形式出现，也以反变量形式出现。
2345任何n个变量的卡诺图是一块矩形区域该区域被划分为2个小方格每个小方格代表一个最小项所有最小项按一定顺序排列使几何相邻的最小项在逻辑上也相邻
3.5 逻辑函数的卡诺图化简法
3.5.1 最小项与最大项
1. 最小项与最大项的定义 最小项：n个变量的最小项是这n个变量的逻辑乘，每 个变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次。
ABC ABC ABC m7 m6 m0 m 0,6,7
或与标准型：任何一个逻辑式都可以表示成若干个最大项 积的形式。 F A, B, C m 0,6,7
m1 m2 m3 m4 m5 m1 m2 m3 m4 m5 M1M 2 M3M 4 M5 M 1,2,3,4,5
最大项：n个变量的最大项是这n个变量的逻辑和，每 个变量以原变量或反变量的形式出现且只出现一次。
三变量最小项和最大项的表示方法
2. 最小项和最大项的性质 (1) 给定n个变量的一组取值，这n个变量的2n个最小项中只 有一个等于1，2n个最大项中只有一个等于0。
(2) 全部最小项之和恒等于1；全部最大项之积恒等于0。 (4) 若干个最小项的和等于其余最小项和的反。
m2 m6
m18
1.3.5__逻辑函数的卡诺图化简法
Y3 ABCD m7
（4）从一般形式表达式画卡诺图 先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。
2014-11-30 15
4.卡诺图化简法 由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量 取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻 最小项，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去 一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。 （1）卡诺图中最小项合并的规律 合并相邻最小项，可消去变量。 合并两个最小项，可消去一个变量； 合并四个最小项，可消去两个变量； 合并八个最小项，可消去三个变量。 合并2N个最小项，可消去N个变量。
2014-11-30 9
（2）卡诺图的画法 首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画 法。 ① 3变量的卡诺图 有23个小方块； ② 几何相邻的必须 相邻 逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 相邻 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
2014-11-30 推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，
ABBC 是三变量函数的最小项吗？ 因此N 个变量共有2N个最小项。
2014-11-30 4
最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
2014-11-30 16
m3
BC D
m11
图1-15 两个最小项合并
2014-11-30 17
图1-16 四个最小项合并
2014-11-30 18
2014-11-30
图1-17 八个最小项合并
19
（2）利用卡诺图化简逻辑函数 A．基本步骤： ① 画出逻辑函数的卡诺图； ② 合并相邻最小项（圈组）； ③ 从圈组写出最简与或表达式。 关键是能否正确圈组 。 B．正确圈组的原则 ① 必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相 邻最小项； ② 每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次， 但可以圈多次； ③ 圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能 大（消去的变量就越多）。
用卡诺图化简逻辑
② 三变量卡诺图
③ 四变量卡诺图
每格标最小项编号
每格标变量取值
④五变量卡诺图
对于n变量的卡诺图，不但上下左右是相邻项，同一行的最左边和 最右边，同一列的最上边和最下边的最小项也仅有一个变量不同， 因此也是相邻项。
用卡诺图表示逻辑关系
卡诺图中的每个方 格和真值表中的输 出值一一对应
卡诺图化简方法
【例2】化简逻辑函数 F(A,B,C,D) = ∑m(15,13,10,6,4) + ∑d(8,7,5,2,1,0) 【解】
当不考虑无关项时
当考虑无关项时
卡诺图化简方法
• 第3步：写出最简布尔表达式
– 根据卡诺圈情况，可以直接写出化简后的表达式，每一个卡诺圈 可以用一个与项表示，如果一个填1的小方格不和任何其他填1的 小方格相邻，这个小方格也要用一个与项表示，最后将所有的与 项或起来就是化简后的逻辑表达式。
【例1】用卡诺图化简4变量逻辑
ABCDY 00001 00010 00101 00111 01000 01011 01101 01111 10001 10011 10101 10110 11000 11010 11100 11110
化简结果不唯一
带有无关项卡诺图化简
– 无关项是特殊的最小项，这种最小项所对应的变量取值组合或者不 允许出现或者根本不会出现。 例如：A、B 为连动互锁开关，设开 为1，关为0，则AB 只能取值01或10，不会出现00或11。
– 无关项在逻辑函数表达式中用∑d(…)表示，在卡诺图上用“Φ”或 “×”表示，化简时，既可代表0，也可代表1。
卡诺图的构成
将n个逻辑变量的全部最小项各用一个小方格表示，并使具有逻辑相 邻性的最小项在几何位置上也相邻。由于n变量的逻辑函数有2n个最小项， 且每个最小项对应一个小方格，所以n变量的卡诺图由2n个小方格构成。
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圈过，即不能漏下取值为1的最小项。 （4）可重复圈。但在新画的包围圈中至少要含有1个
末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
A
15
3．用卡诺图化简逻辑函数的步骤：
（1）画出逻辑函数的卡诺图。 （2）合并相邻的最小项，即根据前述原则圈“１”。 （3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与 项，规则是，取值为１的变量用原变量表示，取值为 0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所 有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。
解：该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据 真值表将8个最小项L的取值0或者1填入卡诺图中对应 的8个小方格中即可。
L BC 00 A 00
10
01 11 10
0
1
0
1
1
1
A
7
逻辑函数的卡诺图表示
例1:图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡
诺图
BC
ABC F
0 00 0 0 01 0 010 1 011 1 1 00 1 1 01 0 1 10 0
项，可以消去n个不同的变量。
A
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化简依据
2n项相邻，并组成一个矩形组， 2n项可以而合并为 １项，消去n个因子，合并的结果为这些项的公因子。
A
13
利用卡诺图化简的规则
相邻单元格的个数必须是2n个，并组成矩 形组时才可以合并。
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 0 0
CD AB 00 01 11 10
m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6
K 图
1 m4 m5 m7 m6
K 11 图 A 10
m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 4
卡诺图结构 “1” 原变量； “0” 反变量； “mi”
（1）二变量卡诺图(b)
最小项
（2）三变量卡诺图 (b)
B
m0
m1
m3
m2
ABC ABC ABC ABC
合并的结果为这些项的公因子．
（1）2个相邻的最小项结合，２项可以而合并为１项， 并消去1个不同的变量。
（2）4个相邻的最小项结合， ４项可以而合并为１项， 并消去2个不同的变量。
（3）8个相邻的最小项结合， ８项可以而合并为１项，
并消去3个不同的变量。
总之， 2 n 个相邻的最小项结合，2 n 项可以而合并为１
A
m8
m9
m11 m10
ABCD ABCD ABCD ABCD
CD
AB 00 01
11
10
00 0
1
3
2
01 4
5
7
6
11 12 13 15 14
10 8
9
11 10
D
(a)
(b)
仔细观察可以发现，卡诺图实际上是按格雷码排列，
具有很强的相邻性：
A
6
4、用卡诺图表示逻辑函数
（1）从真值表到卡诺图 例1 某逻辑函数的真值表如下，用卡诺图表示该逻辑函数。
• 卡诺图（K图） 即对应一个最小项，又称真值图
二
A B mi
变
0 0 m0
量
0 1 m1
K
1 0 m2
图
1 1 m3
BB A AB AB A AB AB
B A0 1 0 m0 m1
1 m2 m3
CD
三 变
BC A 00
01
11
10
量 0 m0 m1 m3 m2
四AB 变 00 量 01
00 01 11 10
解:直接填入
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 1 0
01 0 0 1 0
11 0 0 1 1
10 0 1 1 1
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 1 0
01 0 0 1 0
11 0 0 1 1 10 0 1 1 1
A
10
逻辑函数的卡诺图表示
例：将F(A、B、C、D) A C D AB C D A BA CC
逻辑函数卡诺图化简法
周冬微
A
1
§ 1.６.3逻辑函数卡诺图化简法
一、逻辑函数的卡诺图表示
1．相邻最小项的概念
如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余 变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻
项。 例如，最小项ABC和 ABC 就是相邻最小项。
若两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以 合并为一项，同时消去互为反变量的那个变量。如
00 0 0 0 0
01 0 0 1 0
01 0 1 0 0
AD11 0 1 1 0 10 1 1 1 0
11 1 1 0 0 10 1 0 0 0
A
14
2．用卡诺图合并最小项的原则（圈“１”的原则）
（1）圈能大则大；（并项多，消变量多）但每个圈内 只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。
A 00 01 11 10 00 0 1 1
11 0 0 0
1 11 0
A
8
（2）从逻辑表达式到卡诺图 如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。 例2 用卡诺图表示逻辑函数: FABCA B CAC BABC
解： 写成简化形式： Fm 0m 3m 6m 7 然后填入卡诺图：
A
9
例3 画出 YA B C D A C D A的C 卡诺图
A
m4
m5
m7
m6
ABC ABC ABC ABC
BC 00 01 11 10
A
00
1
3
2
14
5
7
6
C (a)
A
(b)
5
（3）四变量卡诺图(b) C
m0
m1
m3
m2
ABCD ABCD ABCD ABCD
m4 m5 m7 m6
ABCD ABCD ABCD ABCD
B m12 m13 m 15 m14
ABCD ABCD ABCD ABCD
Ｂ
Ｂ
A B C A B C A B C A BC A B C A B C AB C ABC
Ａ A B C A B C A BC A B C Ａ A B C A B C ABC AB C
Ｃ
Ｃ
Ｃ
原变量和反变量各占图形的一半
这样排列，才能使逻辑上相邻的最小项几何上也 相邻地表现出来。
A
3
2、图形法化简函数图中的一小格对应真值表中的一行，
ABC ABCA(C BB)AC
2 . 用卡诺图表示最小项
n变量有 2 n 个最小项，用一个小方格代表一个最
小项， n变量的全部最小项就与 2 n 个小方格对应。
A
2
小方格的排列
美国工程师卡诺（Karnaugh）将逻辑上相邻的 最小项几何上也相邻地排列起来 卡诺图（Kmap）。
如三变量Ａ、Ｂ、Ｃ有８个最小项，对应８个小方格
Hale Waihona Puke 化为最简与非—与非式。 CD
解：
ACD
AB
00 01 11 10
00 01
1 1
1 0
0 m104,m15 1 两1次填1
AB
11 1 1 1 1
10 0 1 1 1
B CD AC
ABC
A
11
二、逻辑函数的卡诺图化简法
1．卡诺图化简逻辑函数的原理 : 具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子，