第26讲数的整除性

第26讲数的整除性

我们知道，如果整数a除以不为零的整数b，所得的商为整数，而余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a。如果a能被b整除，则b是a的约数，a 是b的倍数。

前面我们学习了一些数的整除特征，下面是有关数的整除性质：

(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数就能被丙数整除。例如，30能被6整除．6能被3整除，则30能被3整除。

(2)如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。例如，60能被5整除，40能被5整除，它们的和60+40=100及差60－40=20都能被5整除。

(3)如果一个数能被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。例如，3和4是两两互质的数，24能分别被3和4整除，所以，24能被3和4的乘积整除。

(4)几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除．那么乘积也能被这个数整除。例如：26能被13整除，26×29×38的积也能被13整除。

灵活运用以上整除性质，可以解决许多有关整除方面的问题。

总结与提示

数的整除性质是数论的基本问题之一，在数学的多个领域都有着广泛的应用，这部分内容理论性强．内容抽象，题型丰富，方法多样，呈现出较强的解题技巧性。解题时，要在认真理解题意的基础上，运用有关数的整除概念，理解题目思路，通过推理计算，找到问题的答案。

思考与练习

1．有一个四位数3AA1，它能被9整除。A所代表的数字是多少?

2．在2008后面填上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被3，4，5整除，这个七位数最大是多少?

3．173□是一个四位数，王老师说：“我在这个数的□内中分别填入3个数字，所得到的3个四位数依次能被7，11，6整除。”王老师填入的3个数字的和是多少?

4．已知87654321□□这个十位数能被36整除，那么这个数个位上的数最小是多少?

5．用0，1，3，5，7这五个数字中的四个，可以组成许多能被11整除的四位数．其中最小的一个四位数是多少?

6．小敏在一张纸上写了一个五位数3A6B5，其中第2个数码和第4个数码看不清了，只知道这个五位数既是3的倍数，又是25的倍数。请你写出满足上述条件的五位数中最大的和最小的。

7．如果41位数555…55□999…99能被7整除，那么，中间的方框内的数字应是多少?

8．在97538□□的方框内填上什么数字，就能使这个数：(1)能被15整除?(2)能被45整除?(3)能被21整除?

9．有六个数：987654、987653、987652、987651、987650、987649，从中挑出两个数，使这两个数的乘积能被6整除，有多少种不同的挑法?并把每种挑法都写出来。

10．商店有三种油漆，每种漆的牌子和颜色都不同，红色的每桶1.5千克，黄色的每桶2千克，白色的每桶2.5千克。为了方便顾客，商店把这三种油漆装成每桶0.5千克油漆的小桶。结果“球光牌”装了280桶，“红海牌”装了255桶，“前进牌”装了292桶。请问：每种牌子的油漆各是什么颜色?