立足数学核心素养 分析中考压轴题

立足数学核心素养分析中考压轴题作者：***

来源：《中学数学杂志(初中版)》2022年第01期

【摘要】本文用核心素养的三个水平分析压轴题，建议数学试题命制中可融入核心素养制作多维细目表，用核心素养三个水平来调控试题的难度，也可评定结构不良试题的得分.启发教师在教学中应培养学生数学正迁移能力，精准把握学情，来逐层落实数学核心素养.

【关键词】核心素养;三个水平;正迁移;逐层

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出发展学生的六个数学核心素养，切实提升思维品质和关键能力.中考数学最后一题，又称为压轴题，有区分选拔功能.笔者立足这六个数学核心素养来分析2018—2020这三年的陕西省数学中考最后一题（第25题），揭示命题特点，给出命题建议和教学建议.

1 相关概念知识

喻平教授[1]分析了布鲁姆评价模型、PISA数学素养评价框架、SOLO分类评价理论，提出将数学核心素养划分为三个水平，从低到高依次是知识理解、知识迁移和知识创新.同时，参考李先东老师和吴增生老师[2]对初中数学核心素养的三个水平的划分标准，对各试题进行素养观察.数学抽象A、逻辑推理R、数学建模M、数学运算C、直观想象I、数据分析D，

A1，A2，A3分别对应数学抽象的三个水平，其他素养类似.

2 对近三年陕西省数学中考第25题评析

2.1 2018年第25题试题呈现及分析

问题提出

（1）如图1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值為;（2分）

问题探究

（2）如图2，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM 的最大值;（3分）

问题解决

（3）如图3，AB，AC，BC是某新区的三条规划路，其中，AB=6km，AC=3km，

∠BAC=60°，BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB，AC 路边分别建物资分站点E，F.也就是，分别在BC、线段AB和AC上选取点P，E，F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE，EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE，EF，FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值.（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）（7分）

核心素养水平分析：

（1）如图4，能画出外接圆，则达到直观想象素养水平1的要求;三步演绎推理出结果，标定为逻辑推理素养水平1.分值标定为I1-1，R1-1.

（2）如图5，能发现当射线MO与⊙O相交时，PM最大，则达到直观想象素养水平2的要求;能严谨地论证为什么此时MN最大，则达到逻辑推理素养水平2的要求.分值标定为I2-2，R2-1.

（3）如图6，若能在陌生情境中跨学科联想到物理中的“光行最短”原理，将边AB和AC 看作平面镜，点光源P发出的光线经过两次反射回到点P，进而在BC上找一点P，构造将军饮马模型，且发现当连接AO时AP最小，如图7，此时线段MN最小，则达到直观想象素养水平3和数学建模素养水平3的要求，其中也考查了数学抽象素养水平3;能严谨地证明为什么线段MN是PE+EF+PF的最小值，和证明为什么当连接AO时AP最小，则达到逻辑推理素养水平3的要求;能在较复杂的情境中选择合适的运算方法，并体会代数推理，则达到数学运算素养水平3的要求.分值标定为I3-2，A3-1，R3-1，M3-1，C3-2.

2.2 2019年第25题试题呈现及分析

问题提出

（1）如图8，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形;（2分）

问题探究

（2）如图9，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离;（5分）

问题解决

（3）如图10，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE.根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积;若不可以，请说明理由.（塔A的占地面积忽略不计）（5分）

核心素养水平分析：

（1）能在熟悉的情境中画出平行四边形，则达到直观想象素养水平1的要求.分值标定I1-2.

（2）如图11，能构造出以边BC为直径的圆，则达到直观想象素养水平2的要求;如果能用准确的数学语言演绎推理出所有满足条件的点P，且论证在OB>AB的条件下，⊙O一定与AD相交于点P，则达到逻辑推理素养水平2的要求.分值标定为I2-3，R2-2.

（3）能由平行四边形的性质推理出∠BE′D=60°，且严谨地论证EF≤E′A，标定为逻辑推理素养水平2;构造出⊙O，如图12，发现当E′为中点时，面积最大，标定为直观想象素养水平3;计算得到结果，则达到数学运算素养水平2的要求.分值标定为R2-1，C2-2，I3-2.

2.3 2020年第25题试题呈现及分析

问题提出

（1）如图13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是;（3分）

问题探究

（2）如图14，AB是半圆O的直径，AB=8.P是AB上一点，且PB=2PA，连接AP，BP.∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长;（4分）

问题解决

（4）如图15，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知⊙O的直径AB=70m，点C 在⊙O上，且CA=CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D.连接AD，BD.过点P 分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y （m2）.