分段函数ppt课件
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(1)分段函数求函数值的方法 ①确定要求值的自变量属于哪一段区间； ②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的 形式时，应从内到外依次求值． (2)已知函数值求字母取值的步骤 ①先对字母的取值范围分类讨论； ②然后代入到不同的解析式中； ③通过解方程求出字母的值； ④检验所求的值是否在所讨论的区间内．
第三章 函数的概念与性质
本部分内容讲解结束
栏目 导引
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)＝|x|－2 x＋1(－2<x≤2)． (1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数； (2)在坐标系中画出该函数的图象，并写出函数的值域． 解：(1)①当 0≤x≤2 时，f(x)＝x－2 x＋1＝1. ②当－2<x<0 时，f(x)＝－x2－x＋1＝－x＋1. 故 f(x)＝1－，x0＋≤1x，≤－2，2<x<0.
当 x>0 时，－2x<0，不合题意．
故 x＝－2.
栏目 导引
3．函数 y＝x＋|xx|的图象是( )
第三章 函数的概念与性质
解析：选 C.对于 y＝x＋|xx|，当 x>0 时，y＝x＋1；当 x<0 时，y ＝x－1.即 y＝xx＋－11，，xx><00，，故其图象应为 C.
栏目 导引
4．已知函数 f(x)＝x22x－，4x，>20.≤x≤2， (1)求 f(2)，f(f(2))的值； (2)若 f(x0)＝8，求 x0 的值．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
1．已知函数 f(x)＝xf（－x2－，1x）<2，，x≥2，则 f(2)＝(
)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选 A.f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2．已知 f(x)＝x－＋x2－，2x，≥x－<－2，2. 若 f(x)>2，求 x 的取值范围． 解：当 x≥－2 时，f(x)＝x＋2， 由 f(x)>2，得 x＋2>2，解得 x>0，故 x>0； 当 x<－2 时，f(x)＝－x－2， 由 f(x)>2，得－x－2>2， 解得 x<－4，故 x<－4. 综上可得：x>0 或 x<－4.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
分段函数求值问题 已知函数 f(x)＝xx＋2＋12，x，x≤－－2<2x，<2，试求 f(－5)，
2x－1，x≥2. f(－ 3)，ff－52的值． 【解】 由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2，2)，－52∈(－∞， －2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
3.1 函数的概念及其表示
第三课时 分段函数
.-.
第三章 函数的概念与性质
考点 分段函数
求值 分段函数
的图象
学习目标 理解分段函数的概念，会求分
段函数的函数值 能画出分段函数的图象，并会
应用解决问题
核心素养 数学运算 直观想象
第三章 函数的概念与性质
问题导学 预习教材 P68－P71，并思考以下问题： 1．什么是分段函数？ 2．分段函数是一个函数还是多个函数？
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
所以(a－1)(a＋3)＝0， 所以 a＝1 或 a＝－3. 因为 1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)， 所以 a＝1 符合题意． ③当 a≥2 时，2a－1＝3， 所以 a＝2 符合题意． 综合①②③知，当 f(a)＝3 时，a＝1 或 a＝2.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3) ＝3－2 3. 因为 f－52＝－52＋1＝－32， －2<－32<2， 所以 ff－52＝f－32 ＝－322＋2×－32 ＝94－3＝－34.
第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(变问法)本例条件不变，若 f(a)＝3，求实数 a 的值． 解：①当 a≤－2 时，f(a)＝a＋1， 所以 a＋1＝3， 所以 a＝2>－2 不合题意，舍去． ②当－2<a<2 时，a2＋2a＝3， 即 a2＋2a－3＝0.
)
x－1，x>1，
A．0 C．1
B．13 D．2
解析：选 C.f(2)＝ 2－1＝1.
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第三章 函数的概念与性质
函数
y
＝
x2，x>0， －2，x<0
的
定
义
域
为
______________
，
值
域
为
______________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)
栏目 导引
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
【解】 (1)当 0≤x≤100 时，设函数关系为 y＝kx. 将 x＝100，y＝65 代入， 得 k＝0.65，所以 y＝0.65x. 当 x>100 时，设函数关系式为 y＝ax＋b. 将 x＝100，y＝65 和 x＝130，y＝89 代入， 得110300aa＋＋bb＝＝6859，. 解得ab＝＝0－.81，5. 所以 y＝0.8x－15. 综上可得 y＝00..685xx－，105≤ ，xx≤ >110000. ，
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第三章 函数的概念与性质
2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐 标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意 每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个 分段函数的图象． ■名师点拨 在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作 出其图象，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图象即可， 即“分段作图”．
第三章 函数的概念与性质
解：(1)因为 0≤x≤2 时，f(x)＝x2－4， 所以 f(2)＝22－4＝0， f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4. (2)当 0≤x0≤2 时，由 x20－4＝8，得 x0＝±2 3(舍去)；当 x0>2 时，由 2x0＝8，得 x0＝4.所以 x0＝4.
栏目 导引
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第三章 函数的概念与性质
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过 100 度时，每度电 0.65 元；超过 100 度时，超出的部分，每度 电 0.80 元． (3)当 x＝62 时，y＝62×0.65＝40.3(元)； 当 y＝105 时， 因为 0.65×100＝65<105，故 x>100， 所以 105＝0.8x－15，x＝150. 即若用户月用电 62 度时，则用户应交费 40.3 元；若用户月交 费 105 元，则该用户该月用了 150 度电．
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第三章 函数的概念与性质
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．( × ) (2)函数 f(x)＝1－，1x，≥x0<，0 是分段函数．( √ ) (3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．( √ )
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第三章 函数的概念与性质
下列给出的式子是分段函数的是( )
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第三章 函数的概念与性质
(1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集． (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
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第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，，则函数的定 义域为________，值域为________． 解析：由已知得定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝ R，又 x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]． 答案：R [0，1]
(1)y＝1x，0<x<1， x，x≥1. 3，x<－2，
(2)y＝－3x，－2≤x＜2， －3，x≥2.
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第三章 函数的概念与性质
【解】 各函数对应图象如图所示：
由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)； (2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．
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第三章 函数的概念与性质
①f(x)＝x22x＋，1x，<11. ≤x≤5， ③f(x)＝2xx2，＋x3≤，11.≤x≤5，
②f(x)＝xx＋ 2，1x，≥x2∈. R， ④f(x)＝xx2－＋13，，xx≥<05，.
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
答案：B
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第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)＝x＋1 1，x<－1，则 f(2)等于(
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第三章 函数的概念与性质
分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的 意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出 函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图 象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的 一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重 不漏．
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(2)函数 f(x)的图象如图所示：
第三章 函数的概念与性质
由图可知，函数 f(x)的值域为[1，3)．
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第三章 函数的概念与性质
2x2，0≤x≤1， 1．函数 f(x)＝y＝2，1<x<2， 的值域是( )
3，x≥2
A．R
B．[0，＋Leabharlann )C．[0，3]D．{y|0≤y≤2 或 y＝3}
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第三章 函数的概念与性质
【解析】 (1)要使 f(x)有意义，需 x≠0， 故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)由已知得定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝ {x|－1<x<1}，即(－1，1)，又 0<x<1 时，0<－x2＋1<1，－1<x<0 时，－1<x2－1<0，x＝0 时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0， 1)＝(－1，1)． 【答案】 (1)D (2)(－1，1) (－1，1)
解析：选 D.值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y|0≤y≤2 或 y＝3}．
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第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 y＝x－2＋2x1，，xx>≤0，0，则使函数值为 5 的 x 的值是
()
A．－2
B．2 或－52
C．2 或－2
D．2 或－2 或－52
解析：选 A.当 x≤0 时，
x2＋1＝5，x＝－2.
第三章 函数的概念与性质
分段函数的定义域、值域
(1)已知函数 f(x)＝|xx|，则其定义域为( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
－x2＋1，0<x<1，
(2)函数 f(x)＝0，x＝0，
的定义域为________，值域为
x2－1，－1<x<0
________．
角度三 分段函数图象的应用 某地区的电力紧缺，电力公司为
鼓励市民节约用电，采取按月用电量分 段收费办法，若某户居民每月应交电费 y(元)关于用电量 x(度)的函数图象是一 条折线(如图所示)，根据图象解下列问题： (1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； (3)若该用户某月用电 62 度，则应交费多少元？若该用户某月 交费 105 元，则该用户该月用了多少度电？
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第三章 函数的概念与性质
1．分段函数 如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围， 有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
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第三章 函数的概念与性质
■名师点拨 (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题 时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应 关系． (2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函 数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数 的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的 形式． (4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值 域的并集．
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分段函数的图象及应用
第三章 函数的概念与性质
角度一 分段函数图象的识别
(2019·济南检测)函数 y＝|xx2|的图象的大致形状是(
)
【解析】 因为 y＝|xx2|＝x－，xx，>x0<，0，所以函数的图象为选项 A. 【答案】 A
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第三章 函数的概念与性质
角度二 分段函数图象的画法 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．
第三章 函数的概念与性质
本部分内容讲解结束
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第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)＝|x|－2 x＋1(－2<x≤2)． (1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数； (2)在坐标系中画出该函数的图象，并写出函数的值域． 解：(1)①当 0≤x≤2 时，f(x)＝x－2 x＋1＝1. ②当－2<x<0 时，f(x)＝－x2－x＋1＝－x＋1. 故 f(x)＝1－，x0＋≤1x，≤－2，2<x<0.
当 x>0 时，－2x<0，不合题意．
故 x＝－2.
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3．函数 y＝x＋|xx|的图象是( )
第三章 函数的概念与性质
解析：选 C.对于 y＝x＋|xx|，当 x>0 时，y＝x＋1；当 x<0 时，y ＝x－1.即 y＝xx＋－11，，xx><00，，故其图象应为 C.
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4．已知函数 f(x)＝x22x－，4x，>20.≤x≤2， (1)求 f(2)，f(f(2))的值； (2)若 f(x0)＝8，求 x0 的值．
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第三章 函数的概念与性质
1．已知函数 f(x)＝xf（－x2－，1x）<2，，x≥2，则 f(2)＝(
)
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选 A.f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.
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第三章 函数的概念与性质
2．已知 f(x)＝x－＋x2－，2x，≥x－<－2，2. 若 f(x)>2，求 x 的取值范围． 解：当 x≥－2 时，f(x)＝x＋2， 由 f(x)>2，得 x＋2>2，解得 x>0，故 x>0； 当 x<－2 时，f(x)＝－x－2， 由 f(x)>2，得－x－2>2， 解得 x<－4，故 x<－4. 综上可得：x>0 或 x<－4.
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第三章 函数的概念与性质
分段函数求值问题 已知函数 f(x)＝xx＋2＋12，x，x≤－－2<2x，<2，试求 f(－5)，
2x－1，x≥2. f(－ 3)，ff－52的值． 【解】 由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2，2)，－52∈(－∞， －2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
3.1 函数的概念及其表示
第三课时 分段函数
.-.
第三章 函数的概念与性质
考点 分段函数
求值 分段函数
的图象
学习目标 理解分段函数的概念，会求分
段函数的函数值 能画出分段函数的图象，并会
应用解决问题
核心素养 数学运算 直观想象
第三章 函数的概念与性质
问题导学 预习教材 P68－P71，并思考以下问题： 1．什么是分段函数？ 2．分段函数是一个函数还是多个函数？
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第三章 函数的概念与性质
所以(a－1)(a＋3)＝0， 所以 a＝1 或 a＝－3. 因为 1∈(－2，2)，－3∉(－2，2)， 所以 a＝1 符合题意． ③当 a≥2 时，2a－1＝3， 所以 a＝2 符合题意． 综合①②③知，当 f(a)＝3 时，a＝1 或 a＝2.
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第三章 函数的概念与性质
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f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3) ＝3－2 3. 因为 f－52＝－52＋1＝－32， －2<－32<2， 所以 ff－52＝f－32 ＝－322＋2×－32 ＝94－3＝－34.
第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
(变问法)本例条件不变，若 f(a)＝3，求实数 a 的值． 解：①当 a≤－2 时，f(a)＝a＋1， 所以 a＋1＝3， 所以 a＝2>－2 不合题意，舍去． ②当－2<a<2 时，a2＋2a＝3， 即 a2＋2a－3＝0.
)
x－1，x>1，
A．0 C．1
B．13 D．2
解析：选 C.f(2)＝ 2－1＝1.
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第三章 函数的概念与性质
函数
y
＝
x2，x>0， －2，x<0
的
定
义
域
为
______________
，
值
域
为
______________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) {－2}∪(0，＋∞)
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第三章 函数的概念与性质
【解】 (1)当 0≤x≤100 时，设函数关系为 y＝kx. 将 x＝100，y＝65 代入， 得 k＝0.65，所以 y＝0.65x. 当 x>100 时，设函数关系式为 y＝ax＋b. 将 x＝100，y＝65 和 x＝130，y＝89 代入， 得110300aa＋＋bb＝＝6859，. 解得ab＝＝0－.81，5. 所以 y＝0.8x－15. 综上可得 y＝00..685xx－，105≤ ，xx≤ >110000. ，
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第三章 函数的概念与性质
2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐 标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意 每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个 分段函数的图象． ■名师点拨 在画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线作 出其图象，再用实线保留其在该段定义区间内的相应图象即可， 即“分段作图”．
第三章 函数的概念与性质
解：(1)因为 0≤x≤2 时，f(x)＝x2－4， 所以 f(2)＝22－4＝0， f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4. (2)当 0≤x0≤2 时，由 x20－4＝8，得 x0＝±2 3(舍去)；当 x0>2 时，由 2x0＝8，得 x0＝4.所以 x0＝4.
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第三章 函数的概念与性质
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为：用户月用电量不超过 100 度时，每度电 0.65 元；超过 100 度时，超出的部分，每度 电 0.80 元． (3)当 x＝62 时，y＝62×0.65＝40.3(元)； 当 y＝105 时， 因为 0.65×100＝65<105，故 x>100， 所以 105＝0.8x－15，x＝150. 即若用户月用电 62 度时，则用户应交费 40.3 元；若用户月交 费 105 元，则该用户该月用了 150 度电．
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第三章 函数的概念与性质
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．( × ) (2)函数 f(x)＝1－，1x，≥x0<，0 是分段函数．( √ ) (3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．( √ )
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第三章 函数的概念与性质
下列给出的式子是分段函数的是( )
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第三章 函数的概念与性质
(1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集； ②分段函数的值域是各段函数值域的并集． (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决．
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第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)＝x12，，x－>11或≤xx<≤－11，，则函数的定 义域为________，值域为________． 解析：由已知得定义域为[－1，1]∪(1，＋∞)∪(－∞，－1)＝ R，又 x∈[－1，1]时，x2∈[0，1]，故函数的值域为[0，1]． 答案：R [0，1]
(1)y＝1x，0<x<1， x，x≥1. 3，x<－2，
(2)y＝－3x，－2≤x＜2， －3，x≥2.
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第三章 函数的概念与性质
【解】 各函数对应图象如图所示：
由图象知，(1)的定义域是(0，＋∞)，值域是[1，＋∞)； (2)的定义域是(－∞，＋∞)，值域是(－6，6]．
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第三章 函数的概念与性质
①f(x)＝x22x＋，1x，<11. ≤x≤5， ③f(x)＝2xx2，＋x3≤，11.≤x≤5，
②f(x)＝xx＋ 2，1x，≥x2∈. R， ④f(x)＝xx2－＋13，，xx≥<05，.
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
答案：B
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第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)＝x＋1 1，x<－1，则 f(2)等于(
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第三章 函数的概念与性质
分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的 意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出 函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图 象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的 一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重 不漏．
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(2)函数 f(x)的图象如图所示：
第三章 函数的概念与性质
由图可知，函数 f(x)的值域为[1，3)．
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第三章 函数的概念与性质
2x2，0≤x≤1， 1．函数 f(x)＝y＝2，1<x<2， 的值域是( )
3，x≥2
A．R
B．[0，＋Leabharlann )C．[0，3]D．{y|0≤y≤2 或 y＝3}
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第三章 函数的概念与性质
【解析】 (1)要使 f(x)有意义，需 x≠0， 故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)由已知得定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|－1<x<0}＝ {x|－1<x<1}，即(－1，1)，又 0<x<1 时，0<－x2＋1<1，－1<x<0 时，－1<x2－1<0，x＝0 时，f(x)＝0，故值域为(－1，0)∪{0}∪(0， 1)＝(－1，1)． 【答案】 (1)D (2)(－1，1) (－1，1)
解析：选 D.值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y|0≤y≤2 或 y＝3}．
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第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 y＝x－2＋2x1，，xx>≤0，0，则使函数值为 5 的 x 的值是
()
A．－2
B．2 或－52
C．2 或－2
D．2 或－2 或－52
解析：选 A.当 x≤0 时，
x2＋1＝5，x＝－2.
第三章 函数的概念与性质
分段函数的定义域、值域
(1)已知函数 f(x)＝|xx|，则其定义域为( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
－x2＋1，0<x<1，
(2)函数 f(x)＝0，x＝0，
的定义域为________，值域为
x2－1，－1<x<0
________．
角度三 分段函数图象的应用 某地区的电力紧缺，电力公司为
鼓励市民节约用电，采取按月用电量分 段收费办法，若某户居民每月应交电费 y(元)关于用电量 x(度)的函数图象是一 条折线(如图所示)，根据图象解下列问题： (1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准； (3)若该用户某月用电 62 度，则应交费多少元？若该用户某月 交费 105 元，则该用户该月用了多少度电？
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第三章 函数的概念与性质
1．分段函数 如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围， 有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．
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第三章 函数的概念与性质
■名师点拨 (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题 时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应 关系． (2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函 数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围． (3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数 的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的 形式． (4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值 域的并集．
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分段函数的图象及应用
第三章 函数的概念与性质
角度一 分段函数图象的识别
(2019·济南检测)函数 y＝|xx2|的图象的大致形状是(
)
【解析】 因为 y＝|xx2|＝x－，xx，>x0<，0，所以函数的图象为选项 A. 【答案】 A
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第三章 函数的概念与性质
角度二 分段函数图象的画法 分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域．