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栏目 导引
分段函数的图象及应用
第三章 函数的概念与性质
角度一 分段函数图象的识别
(2019·济南检测)函数 y=|xx2|的图象的大致形状是(
)
【解析】 因为 y=|xx2|=x-,xx,>x0<,0,所以函数的图象为选项 A. 【答案】 A
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
角度二 分段函数图象的画法 分别作出下列分段函数的图象,并写出定义域及值域.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集; ②分段函数的值域是各段函数值域的并集. (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)=x12,,x->11或≤xx<≤-11,,则函数的定 义域为________,值域为________. 解析:由已知得定义域为[-1,1]∪(1,+∞)∪(-∞,-1)= R,又 x∈[-1,1]时,x2∈[0,1],故函数的值域为[0,1]. 答案:R [0,1]
栏目 导引
(2)函数 f(x)的图象如图所示:
第三章 函数的概念与性质
由图可知,函数 f(x)的值域为[1,3).
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2x2,0≤x≤1, 1.函数 f(x)=y=2,1<x<2, 的值域是( )
3,x≥2
A.R
B.[0,+∞)
C.[0,3]
D.{y|0≤y≤2 或 y=3}
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的 意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出 函数图象. (2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图 象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的 一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重 不漏.
3.1 函数的概念及其表示
第三课时 分段函数
.-.
第三章 函数的概念与性质
考点 分段函数
求值 分段函数
的图象
学习目标 理解分段函数的概念,会求分
段函数的函数值 能画出分段函数的图象,并会
应用解决问题
核心素养 数学运算 直观想象
第三章 函数的概念与性质
问题导学 预习教材 P68-P71,并思考以下问题: 1.什么是分段函数? 2.分段函数是一个函数还是多个函数?
第三章 函数的概念与性质
本部分内容讲解结束
栏目 导引
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
分段函数求值问题 已知函数 f(x)=xx+2+12,x,x≤--2<2x,<2,试求 f(-5),
2x-1,x≥2. f(- 3),ff-52的值. 【解】 由-5∈(-∞,-2],- 3∈(-2,2),-52∈(-∞, -2],知 f(-5)=-5+1=-4,
角度三 分段函数图象的应用 某地区的电力紧缺,电力公司为
鼓励市民节约用电,采取按月用电量分 段收费办法,若某户居民每月应交电费 y(元)关于用电量 x(度)的函数图象是一 条折线(如图所示),根据图象解下列问题: (1)求 y 关于 x 的函数关系式; (2)利用函数关系式,说明电力公司采取的收费标准; (3)若该用户某月用电 62 度,则应交费多少元?若该用户某月 交费 105 元,则该用户该月用了多少度电?
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成.( × ) (2)函数 f(x)=1-,1x,≥x0<,0 是分段函数.( √ ) (3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集.( √ )
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第三章 函数的概念与性质
下列给出的式子是分段函数的是( )
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第三章 函数的概念与性质
【解析】 (1)要使 f(x)有意义,需 x≠0, 故定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)由已知得定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|-1<x<0}= {x|-1<x<1},即(-1,1),又 0<x<1 时,0<-x2+1<1,-1<x<0 时,-1<x2-1<0,x=0 时,f(x)=0,故值域为(-1,0)∪{0}∪(0, 1)=(-1,1). 【答案】 (1)D (2)(-1,1) (-1,1)
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第三章 函数的概念与性质
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为:用户月用电量不超过 100 度时,每度电 0.65 元;超过 100 度时,超出的部分,每度 电 0.80 元. (3)当 x=62 时,y=62×0.65=40.3(元); 当 y=105 时, 因为 0.65×100=65<105,故 x>100, 所以 105=0.8x-15,x=150. 即若用户月用电 62 度时,则用户应交费 40.3 元;若用户月交 费 105 元,则该用户该月用了 150 度电.
①f(x)=x22x+,1x,<11. ≤x≤5, ③f(x)=2xx2,+x3≤,11.≤x≤5,
②f(x)=xx+ 2,1x,≥x2∈. R, ④f(x)=xx2-+13,,xx≥<05,.
A.①②
B.①④
C.②④
D.③④
答案:B
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第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)=x+1 1,x<-1,则 f(2)等于(
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第三章 函数的概念与性质
1.已知函数 f(x)=xf(-x2-,1x)<2,,x≥2,则 f(2)=(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析:选 A.f(2)=f(2-1)=f(1)=1-2=-1.
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第三章 函数的概念与性质
2.已知 f(x)=x-+x2-,2x,≥x-<-2,2. 若 f(x)>2,求 x 的取值范围. 解:当 x≥-2 时,f(x)=x+2, 由 f(x)>2,得 x+2>2,解得 x>0,故 x>0; 当 x<-2 时,f(x)=-x-2, 由 f(x)>2,得-x-2>2, 解得 x<-4,故 x<-4. 综上可得:x>0 或 x<-4.
)
x-1,x>1,
A.0 C.1
B.13 D.2
解析:选 C.f(2)= 2-1=1.
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第三章 函数的概念与性质
函数
y
=
x2,x>0, -2,x<0
的
定
义
域
为
______________
,
值
域
为
______________.
答案:(-∞,0)∪(0,+∞) {-2}∪(0,+∞)
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第三章 函数的概念与性质
所以(a-1)(a+3)=0, 所以 a=1 或 a=-3. 因为 1∈(-2,2),-3∉(-2,2), 所以 a=1 符合题意. ③当 a≥2 时,2a-1=3, 所以 a=2 符合题意. 综合①②③知,当 f(a)=3 时,a=1 或 a=2.
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第三章 函数的概念与性质
第三章 函数的概念与性质
分段函数的定义域、值域
(1)已知函数 f(x)=|xx|,则其定义域为( )
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
-x2+1,0<x<1,
(2)函数 f(x)=0,x=0,
的定义域为________,值域为
x2-1,-1<x<0
________.
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第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)=|x|-2 x+1(-2<x≤2). (1)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数; (2)在坐标系中画出该函数的图象,并写出函数的值域. 解:(1)①当 0≤x≤2 时,f(x)=x-2 x+1=1. ②当-2<x<0 时,f(x)=-x2-x+1=-x+1. 故 f(x)=1-,x0+≤1x,≤-2,2<x<0.
第三章 函数的概念与性质
解:(1)因为 0≤x≤2 时,f(x)=x2-4, 所以 f(2)=22-4=0, f(f(2))=f(0)=02-4=-4. (2)当 0≤x0≤2 时,由 x20-4=8,得 x0=±2 3(舍去);当 x0>2 时,由 2x0=8,得 x0=4.所以 x0=4.
栏目 导引
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第三章 函数的概念与性质
【解】 (1)当 0≤x≤100 时,设函数关系为 y=kx. 将 x=100,y=65 代入, 得 k=0.65,所以 y=0.65x. 当 x>100 时,设函数关系式为 y=ax+b. 将 x=100,y=65 和 x=130,y=89 代入, 得110300aa++bb==6859,. 解得ab==0-.81,5. 所以 y=0.8x-15. 综上可得 y=00..685xx-,105≤ ,xx≤ >110000. ,
当 x>0 时,-2x<0,不合题意.
故 x=-2.
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3.函数 y=x+|xx|的图象是( )
第三章 函数的概念与性质
解析:选 C.对于 y=x+|xx|,当 x>0 时,y=x+1;当 x<0 时,y =x-1.即 y=xx+-11,,xx><00,,故其图象应为 C.
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4.已知函数 f(x)=x22x-,4x,>20.≤x≤2, (1)求 f(2),f(f(2))的值; (2)若 f(x0)=8,求 x0 的值.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
1.分段函数 如果函数 y=f(x),x∈A,根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围, 有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
■名师点拨 (1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.处理分段函数问题 时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应 关系. (2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函 数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围. (3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集,分段函数 的定义域只能写成一个集合的形式,不能分开写成几个集合的 形式. (4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值 域的并集.
解析:选 D.值域为[0,2]∪{2}∪{3}={y|0≤y≤2 或 y=3}.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2.已知函数 y=x-2+2x1,,xx>≤0,0,则使函数值为 5 的 x 的值是
()
A.-2
B.2 或-52
C.2 或-2
D.2 或-2 或-52
解析:选 A.当 x≤0 时,
x2+1=5,x=-2.
(1)分段函数求函数值的方法 ①确定要求值的自变量属于哪一段区间; ②代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现 f(f(x0))的 形式时,应从内到外依次求值. (2)已知函数值求字母取值的步骤 ①先对字母的取值范围分类讨论; ②然后代入到不同的解析式中; ③通过解方程求出字母的值; ④检验所求的值是否在所讨论的区间内.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2.分段函数的图象 分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐 标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意 每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个 分段函数的图象. ■名师点拨 在画每一段函数图象时,可以先不管定义域的限制,用虚线作 出其图象,再用实线保留其在该段定义区间内的相应图象即可, 即“分段作图”.
栏目 导引
f(- 3)=(- 3)2+2(- 3) =3-2 3. 因为 f-52=-52+1=-32, -2<-32<2, 所以 ff-52=f-32 =-322+2×-32 =94-3=-34.
第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(变问法)本例条件不变,若 f(a)=3,求实数 a 的值. 解:①当 a≤-2 时,f(a)=a+1, 所以 a+1=3, 所以 a=2>-2 不合题意,舍去. ②当-2<a<2 时,a2+2a=3, 即 a2+2a-3=0.
(1)y=1x,0<x<1, x,x≥1. 3,xHale Waihona Puke Baidu-2,
(2)y=-3x,-2≤x<2, -3,x≥2.
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第三章 函数的概念与性质
【解】 各函数对应图象如图所示:
由图象知,(1)的定义域是(0,+∞),值域是[1,+∞); (2)的定义域是(-∞,+∞),值域是(-6,6].
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第三章 函数的概念与性质
分段函数的图象及应用
第三章 函数的概念与性质
角度一 分段函数图象的识别
(2019·济南检测)函数 y=|xx2|的图象的大致形状是(
)
【解析】 因为 y=|xx2|=x-,xx,>x0<,0,所以函数的图象为选项 A. 【答案】 A
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第三章 函数的概念与性质
角度二 分段函数图象的画法 分别作出下列分段函数的图象,并写出定义域及值域.
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第三章 函数的概念与性质
(1)分段函数定义域、值域的求法 ①分段函数的定义域是各段函数定义域的并集; ②分段函数的值域是各段函数值域的并集. (2)绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决.
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第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)=x12,,x->11或≤xx<≤-11,,则函数的定 义域为________,值域为________. 解析:由已知得定义域为[-1,1]∪(1,+∞)∪(-∞,-1)= R,又 x∈[-1,1]时,x2∈[0,1],故函数的值域为[0,1]. 答案:R [0,1]
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(2)函数 f(x)的图象如图所示:
第三章 函数的概念与性质
由图可知,函数 f(x)的值域为[1,3).
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第三章 函数的概念与性质
2x2,0≤x≤1, 1.函数 f(x)=y=2,1<x<2, 的值域是( )
3,x≥2
A.R
B.[0,+∞)
C.[0,3]
D.{y|0≤y≤2 或 y=3}
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第三章 函数的概念与性质
分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的 意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出 函数图象. (2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图 象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的 一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重 不漏.
3.1 函数的概念及其表示
第三课时 分段函数
.-.
第三章 函数的概念与性质
考点 分段函数
求值 分段函数
的图象
学习目标 理解分段函数的概念,会求分
段函数的函数值 能画出分段函数的图象,并会
应用解决问题
核心素养 数学运算 直观想象
第三章 函数的概念与性质
问题导学 预习教材 P68-P71,并思考以下问题: 1.什么是分段函数? 2.分段函数是一个函数还是多个函数?
第三章 函数的概念与性质
本部分内容讲解结束
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第三章 函数的概念与性质
分段函数求值问题 已知函数 f(x)=xx+2+12,x,x≤--2<2x,<2,试求 f(-5),
2x-1,x≥2. f(- 3),ff-52的值. 【解】 由-5∈(-∞,-2],- 3∈(-2,2),-52∈(-∞, -2],知 f(-5)=-5+1=-4,
角度三 分段函数图象的应用 某地区的电力紧缺,电力公司为
鼓励市民节约用电,采取按月用电量分 段收费办法,若某户居民每月应交电费 y(元)关于用电量 x(度)的函数图象是一 条折线(如图所示),根据图象解下列问题: (1)求 y 关于 x 的函数关系式; (2)利用函数关系式,说明电力公司采取的收费标准; (3)若该用户某月用电 62 度,则应交费多少元?若该用户某月 交费 105 元,则该用户该月用了多少度电?
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第三章 函数的概念与性质
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成.( × ) (2)函数 f(x)=1-,1x,≥x0<,0 是分段函数.( √ ) (3)分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集.( √ )
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第三章 函数的概念与性质
下列给出的式子是分段函数的是( )
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第三章 函数的概念与性质
【解析】 (1)要使 f(x)有意义,需 x≠0, 故定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)由已知得定义域为{x|0<x<1}∪{0}∪{x|-1<x<0}= {x|-1<x<1},即(-1,1),又 0<x<1 时,0<-x2+1<1,-1<x<0 时,-1<x2-1<0,x=0 时,f(x)=0,故值域为(-1,0)∪{0}∪(0, 1)=(-1,1). 【答案】 (1)D (2)(-1,1) (-1,1)
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第三章 函数的概念与性质
(2)由(1)知电力公司采取的收费标准为:用户月用电量不超过 100 度时,每度电 0.65 元;超过 100 度时,超出的部分,每度 电 0.80 元. (3)当 x=62 时,y=62×0.65=40.3(元); 当 y=105 时, 因为 0.65×100=65<105,故 x>100, 所以 105=0.8x-15,x=150. 即若用户月用电 62 度时,则用户应交费 40.3 元;若用户月交 费 105 元,则该用户该月用了 150 度电.
①f(x)=x22x+,1x,<11. ≤x≤5, ③f(x)=2xx2,+x3≤,11.≤x≤5,
②f(x)=xx+ 2,1x,≥x2∈. R, ④f(x)=xx2-+13,,xx≥<05,.
A.①②
B.①④
C.②④
D.③④
答案:B
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第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)=x+1 1,x<-1,则 f(2)等于(
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第三章 函数的概念与性质
1.已知函数 f(x)=xf(-x2-,1x)<2,,x≥2,则 f(2)=(
)
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析:选 A.f(2)=f(2-1)=f(1)=1-2=-1.
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第三章 函数的概念与性质
2.已知 f(x)=x-+x2-,2x,≥x-<-2,2. 若 f(x)>2,求 x 的取值范围. 解:当 x≥-2 时,f(x)=x+2, 由 f(x)>2,得 x+2>2,解得 x>0,故 x>0; 当 x<-2 时,f(x)=-x-2, 由 f(x)>2,得-x-2>2, 解得 x<-4,故 x<-4. 综上可得:x>0 或 x<-4.
)
x-1,x>1,
A.0 C.1
B.13 D.2
解析:选 C.f(2)= 2-1=1.
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第三章 函数的概念与性质
函数
y
=
x2,x>0, -2,x<0
的
定
义
域
为
______________
,
值
域
为
______________.
答案:(-∞,0)∪(0,+∞) {-2}∪(0,+∞)
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第三章 函数的概念与性质
所以(a-1)(a+3)=0, 所以 a=1 或 a=-3. 因为 1∈(-2,2),-3∉(-2,2), 所以 a=1 符合题意. ③当 a≥2 时,2a-1=3, 所以 a=2 符合题意. 综合①②③知,当 f(a)=3 时,a=1 或 a=2.
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第三章 函数的概念与性质
第三章 函数的概念与性质
分段函数的定义域、值域
(1)已知函数 f(x)=|xx|,则其定义域为( )
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
-x2+1,0<x<1,
(2)函数 f(x)=0,x=0,
的定义域为________,值域为
x2-1,-1<x<0
________.
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第三章 函数的概念与性质
已知函数 f(x)=|x|-2 x+1(-2<x≤2). (1)利用绝对值及分段函数知识,将函数解析式写成分段函数; (2)在坐标系中画出该函数的图象,并写出函数的值域. 解:(1)①当 0≤x≤2 时,f(x)=x-2 x+1=1. ②当-2<x<0 时,f(x)=-x2-x+1=-x+1. 故 f(x)=1-,x0+≤1x,≤-2,2<x<0.
第三章 函数的概念与性质
解:(1)因为 0≤x≤2 时,f(x)=x2-4, 所以 f(2)=22-4=0, f(f(2))=f(0)=02-4=-4. (2)当 0≤x0≤2 时,由 x20-4=8,得 x0=±2 3(舍去);当 x0>2 时,由 2x0=8,得 x0=4.所以 x0=4.
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第三章 函数的概念与性质
【解】 (1)当 0≤x≤100 时,设函数关系为 y=kx. 将 x=100,y=65 代入, 得 k=0.65,所以 y=0.65x. 当 x>100 时,设函数关系式为 y=ax+b. 将 x=100,y=65 和 x=130,y=89 代入, 得110300aa++bb==6859,. 解得ab==0-.81,5. 所以 y=0.8x-15. 综上可得 y=00..685xx-,105≤ ,xx≤ >110000. ,
当 x>0 时,-2x<0,不合题意.
故 x=-2.
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3.函数 y=x+|xx|的图象是( )
第三章 函数的概念与性质
解析:选 C.对于 y=x+|xx|,当 x>0 时,y=x+1;当 x<0 时,y =x-1.即 y=xx+-11,,xx><00,,故其图象应为 C.
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4.已知函数 f(x)=x22x-,4x,>20.≤x≤2, (1)求 f(2),f(f(2))的值; (2)若 f(x0)=8,求 x0 的值.
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第三章 函数的概念与性质
1.分段函数 如果函数 y=f(x),x∈A,根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围, 有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.
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第三章 函数的概念与性质
■名师点拨 (1)分段函数是一个函数,而不是几个函数.处理分段函数问题 时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应 关系. (2)分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函 数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围. (3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集,分段函数 的定义域只能写成一个集合的形式,不能分开写成几个集合的 形式. (4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值 域的并集.
解析:选 D.值域为[0,2]∪{2}∪{3}={y|0≤y≤2 或 y=3}.
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第三章 函数的概念与性质
2.已知函数 y=x-2+2x1,,xx>≤0,0,则使函数值为 5 的 x 的值是
()
A.-2
B.2 或-52
C.2 或-2
D.2 或-2 或-52
解析:选 A.当 x≤0 时,
x2+1=5,x=-2.
(1)分段函数求函数值的方法 ①确定要求值的自变量属于哪一段区间; ②代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现 f(f(x0))的 形式时,应从内到外依次求值. (2)已知函数值求字母取值的步骤 ①先对字母的取值范围分类讨论; ②然后代入到不同的解析式中; ③通过解方程求出字母的值; ④检验所求的值是否在所讨论的区间内.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
2.分段函数的图象 分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐 标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意 每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个 分段函数的图象. ■名师点拨 在画每一段函数图象时,可以先不管定义域的限制,用虚线作 出其图象,再用实线保留其在该段定义区间内的相应图象即可, 即“分段作图”.
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f(- 3)=(- 3)2+2(- 3) =3-2 3. 因为 f-52=-52+1=-32, -2<-32<2, 所以 ff-52=f-32 =-322+2×-32 =94-3=-34.
第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
(变问法)本例条件不变,若 f(a)=3,求实数 a 的值. 解:①当 a≤-2 时,f(a)=a+1, 所以 a+1=3, 所以 a=2>-2 不合题意,舍去. ②当-2<a<2 时,a2+2a=3, 即 a2+2a-3=0.
(1)y=1x,0<x<1, x,x≥1. 3,xHale Waihona Puke Baidu-2,
(2)y=-3x,-2≤x<2, -3,x≥2.
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【解】 各函数对应图象如图所示:
由图象知,(1)的定义域是(0,+∞),值域是[1,+∞); (2)的定义域是(-∞,+∞),值域是(-6,6].
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