数学教育实验设计

回顾数学教育发展的历史，可以说就是一系列的数学教育改革的历史。在一定意义上说，数学教育改革的历史也就是数学教育改革的实验成果的历史。这是因为和任何学科一样，数学教育的内容和要求都是以适应社会发展的需要为准则，在原有的基础上不断地进行必要的改革的。而改革则要根据改革者的主观认识提出改革方案，先在一定范围内进行实验，通过实验对改革方案在适应社会发展的需要性和在原有基础上的可能性等方面得到验证后，改革方案才能全面推广，付诸实施。

如何进行数学教育的改革实验？目标如何确定？按什么样的过程和方式才较为简捷和科学？实验中积累的资料应如何进行分析和判断才是科学的、从而能取得较为实际、确切的结论？它们的理论依据如何？实践原则如何？这些问题可以说也是随着社会的发展、科学技术的发展、以及学科教育理论的发展而不断发展的。作为战斗在第一线的中学教师，有丰富的教学经验，这些经验的获得，实际上也是自己自觉或不自觉地进行了大小的数学教育实验取得一定的成果，才能说是经验。问题是经验的获得，往往是在无意之中，效果也是凭感觉。这虽然说不是严格的实验，但也是具有实验的苗头，有实验的因素。因此，只要我们掌握数学教育实验的一些理论和方法，就可以把我们平时数学教育实践变为数学教育实验，所取得的效果有一定的理论支持。

一、数学教育实验的基本特征

1、理论意向

理论意向通常指理论假设，即对数学教育事实与现象之间的关系所作的推测性假定。这种假定一般建立在某种事实材料或理论分析基础上，经过研究所产生的想法，而实验的目的就是要验证推测性假定的正确性。例如克鲁切茨基所进行的中小学生数学能力实验研究，关于数学能力组成成份的初步假定是：

⑴在学习上有能力的学生不同程度都有概括数学材料和善于记忆概括性材料的能力。

⑵能力不同的学生在解题过程中“缩短”推理过程的“缩短”，运算过程的“缩短”率不同的。

⑶数学能力不同的学生从正向思维灵活地向逆向思维转换的能力是不同的。

有时，在数学教育中需要进行一些探索性的实验，例如，研究学生智力开发的途径，初始时并没有明确的理论假设，这时研究者必须明确地提出理论意图，如意图探索增加开放性题目是否能开发学生智力等。理论的意向有时也指理论的意图。应该说，任何实验都有一定理论说明意向。一个既无理论假设，又无理论意向的实验是无任何意义的。

2、可操作性与可控性

数学教育实验是以理论意向为前提，由研究者有计划地控制数学教育现象的发生、发展过程，用以揭示客观规律的研究方法。鉴于实验的特点，研究者可以自行选择方便的时间、合适的地点使实验结果发生。同时实验前研究者可以对实验对象进行分析，为实验过程的观察做好充分准备，实验过程正是数学教育实践的过程，因此数学教育实验具有可操作性。

实验方法区别于其他方法的显著特征是“可以有计划地进行控制”，其意义是容易摆脱无关因子、偶然因子对实验的干扰，确保实验结果的产生或变化是实验因子的作用。实验时只有成功而系统地进行条件控制，才能合乎逻辑地解释实验因子与实验结果的关系。对实验进行有条件的控制还可以把研究复杂问题分解或简化，更加有利于实验的实施。

3、可重复性和可验证性

实验研究的目的是探索或验证客观事物间的内在规律，这种规律的存在不以研究者的主观意志而转移。如果研究者重复操作同样实验，其它条件不变，那么实验结果在相同的条件下应该重复发生。为了进行反复观察，并验证观察的结果，同一实验重复多次其结果仍然有效。可重复性和可验证性使实验研究的结果可以推广，其他人可以实施同一实验以验证其可靠性。当一种实验仅在研究者实施时取得成功，其他人实施却没有成功，那么这种实验可靠性将受到怀疑。

二、数学教育实验中的几个问题

1、实验课题的确定

实验课题的确定原则、方法基本上与研究课题确定的原则、方法相同，在此不再叙述，不过实验课题侧重于教材和教学两方面。

2、实验过程的科学化

实验课题确定后，实验过程的科学化水平是鉴定数学教育实验的重要指标。实验过程科学化主要反映在条件控制的科学化和实验结果的科学化两方面。

⑴条件控制的科学化

影响实验结果因素很多，如教材不同，教学方法不同，执教教师能力不同，学生的基础知识、能力、心理素质甚至家庭出身、性别各异等。当课题已确定，其理论指向也确定。而影响理论指向的主要因素也可以确定。如“开放性问题对开发学生智力的影响”的理论指向十分明确，影响这理论指向的主要因素是课堂教学中是否讲解开放性题目，如何讲解。而其它因素在实验中作为控制的因素。由于数学教育实验对象是人，因此设立对照班是常用的控制手段，在实验前选择两个班条件应相近（完全相同是做不到的）。特别是在学习基础、智力水平、因素方面，它表现在成绩上。在此两班一为实验班，二为对照班。不设对照班单纯地从实验班数学成绩提高就下结论“实验成功”是缺乏科学依据的。

实验班和对照班也有样本选取问题。数学教育实验不是研究样本，而是样本来自的总体。例如样本来源于重点中学其推广范围有限。因此某些实验，都会选取不同总体如重点中学、普通中学、城市中学、农村中学都同时实验，这样实验的推广价值就大。

实验班和对照班在实验过程中同样存在条件控制问题，虽然我们在实验前选取两个班条件相近，若在实验过程中，某个班加强辅导，增加作业量，强调学生精力放在数学上等做法都会让无关条件在某个班发生变化，出现失控现象。另外特别要注意的心理效应，如实验班的学生知道自己班是实验班也会直接影响实验的效果。因此必须尽量淡化学生对实验的反映，同时，实验时间应尽量缩短，使实验结果更能科学地反映教育教学的客观规律。

⑵实验结果科学化

实验结果科学化主要表现如下：

10实验所搜集的数据科学化。实验所搜集的数据必须用统计方法进行整理和检验。只有经过检验的数据有显著效果时，才能说实验取得成功。

20实验的理论意向在实验后必须明确。

30实验的可变因素在实验中作用，为什么成功，为什么失败都必须有教育学、心理学或其它学科理论解释。

三、数学教育实验设计

数学教育的目的是要检验理论假设的正确性或探索理论意图实现的可能性。为了使实验结果准确、推断合理，研究者必须设计一个周密的实验方案。所谓实验设计就是研究者针对验证

实验假设，有计划地搜集观察资料而预先制定的一个模式。实验设计应包括以下几个方面。 1、样本选取。

2、选取自变因素、因变量，以及应控制因素。

3、形成统计假设，并为检验假设搜集、分析数据制定计划。

4、实验过程的具体部署。

5、按计划分析资料。

6、对统计假设和研究假设的真伪做出归纳性推断。 实验设计是研究工作的重点。良好的实验设计不仅是实验过程的依据和处理结果的先决条件，也是使科学研究获得预期结果的一个重要保证。

§6.1 数学教育实验常见模型

数学教育实验为了便于条件处理科学化，实验结果和具有推广价值，因此对于数学教育实验都有一定的模型。根据客观实际情况，和实验理论意向选取实验模型。在此只叙述一些常用的，较为简单的模型。一些较复杂的模型（如多因素分析等）可参阅有关统计书籍。

一、实验组、控制组前测后测设计

1、可随机分组

研究者在实验前可对学生随机分组，把受试者随机分为两组，并随机选择一组为实验组，另一组为控制组，它的基本模式

实：O 1 X 1 O 2 O 1，O 3为实验前测验，O 2，O 4为实验后测试，

对：O 3 X 2 O 4 X 1，为实验操作方法处理，X 2表示原来方法处理。 此模式由于实验前可对学生随机分配当O 1- O 3差异不显著时，可以认为两班条件相近，可控制影响效果的因素。实验时只X 1，X 2不同，实验后测试O 2与O 4发生显著变化时，可认为是因素X 1X 2的作用。

显著性检验在N<30时用t 检验，N>30时用Z 检验。

实例：某老师在山区中学进行练习教学法试验成绩如下：

实验前 H 0 两班无显著差异 282.0186

.418

.150

64.1648.242.5838.592

22

2

212

1==

+-=

+-=

-

-n

S S x x Z α=0.05，查正态分布表得临界值 Z 0.05=1.96 Z0.05，接受H 0，即两班无显著差异。

实验后：同理算得Z = 2.84>Z 0.05 = 1.96，p<0.05有显著差异，可以说练习实验教学法实验成功。

2、不可随机分组

在数学教育实验中，经常碰到在实验前，学校班级已分好，研究者不能再随机分组。只能在已分好的班选取一个为实验班，另一个为对照组进行实验，基本操作如下： 实：O 1 X 1 O 2 对：O 3 X 2 O 4

此时对实验效果检测有两种情况。其一，当前测对O 1- O 3无显著差异时，可以认为实验前两班情况基本相同。再对O 2- O 4进行显著性检验。与上例处理方法相同。其二，当O 1- O 3有显著性有差异时，此时实验前两班情况不同，不是在平等条件下进行实验。无论实验结果如何，结论都缺乏科学性，难以使人信服。此时可以比较增益大小。用标准分进行比较，以下实例说明：

例：某老师进行某教学法改革实验所得资料如下：

对实验前用Z 检验可知p<0.01，两班差异十分显著。

09.330

.21

.748

30.114707.116.677.742

22

2

2

1212

1==

+-=

+-=

n s n s x x Z ， α= 0.01，Z α= 2.58，Z>Z α，P<0.01，两班差异十分显著，此时不宜用对实验后平均数差异检验。改用标准分对增益比较。 实验前

① 算出整体平均数：1.7148

4748

6.6747

7.74212211=+?+?=++=

-

--

n n x n x n x

② 算出整体标准差： 2

12222221211n n x x s n x x s n S +??

????????? ??-++??????????? ??-+=

----

71.1148

471.716.6730.11481.747.7407.11472

222=+??

????????? ??-+??????????? ??-+=

③ 算出平均标准分：31.074.111

.717.741=-=-=

-

-s x x Z 实 30.074

.111

.716.672-=-=-=

-

-

s x x Z 对

同理算出实验后 2.81=-

x ，S=12.34，46.0='实

z ，45.0-='对z ④ 算出实验班、对照班平均标准增益：

15.031.046.0=-=-'=实实

实z z d ()()15.030.045.0-=---=-'=对对

对z z d ⑤ 判断：

若0>实d 且对实d d >，则实验有效果。若0≤实d 或对实d d ≤，则实验无效果。 若0<实d 且对实d d <则实验失败。

本例中，015.0 =实d 且对实d d ，所以实验有效果。 ⑥ 算出增幅：()()()1

.7174.1115.015.0?--=

?-=

-

X

s

d d

P 实验前总平均分实验前总标准差对实

%95.40495.01

.7174

.113.0=?=

说明用新的教学方法使学生成绩提高比旧教学方法增加幅度为4.95%。

二、实验组、控制组后测模型

数学教育实验，有时是突然接到任务，或没有任何资料情况下进行实验。因此不可能在实验前进行测试，既无实验前学生成绩。在这种情况下进行实验，可采取相关样本后测实验模型。相关样本经常采用等值配对方法，显著性检验也用相关样本的统计量。大样本用Z 检验，小样本用t 检验。下面用实例说明。 例1 某校进行教材比较试验，选用甲、乙两种不同教材，在某级随机抽取80名学生，按成绩、努力程度、性别等条件相近配成40对，在每对中任选一人组成一个班使用甲教材，剩

问该校应采用哪套教材？ H 0：μ1=μ2 889.040

8

.146.958.028.146.97

.804.8222

2

2

122

21

21=???-+-=

-+-=

-

-n

s rs s s x x Z

α=0.05， Z 0.05=1.96， Z0.05， 所经甲、乙两教材对学生成绩无显著影响。

例2 有位老师宣称，他的教学方法对改变差生十分有效，为验证，按基本条件相近原则把20位差生组成10个对子，并随机地把每个对子中抽出一个放到这位老师执教班，剩下放到

其他班。一学期后，测试成绩如下：

相关小样本，用t 检验 H 0：设μ1=μ2 53.279.33

2.31

1079.32.31

=?=-=

-=

-

n s d t

d ，

2.33210

1

101=?==

∑-

d d ， 36.142.324610

1122

22=-?=

-=-

∑d d n S d

，79.336.14==d S d f =n-1=10-1=9，α=0.05，α=0.01，()262.2905.0=t ，()25.3901.0=t ，

t 0.05

所以有显著效果，但没有十分显著效果，这位老师的教法对改变差生是有显著效果，应给予肯定。

三、时间序列设计模型

时间序列设计是指对一个受试组或个体作一系列周期性测量，并在测量的时间序列中引进实验变量（x ），然后观测引进实验数量后的一系列测量结果，并引入实验变量插入前一系列测量结果相比较研究变量插入前后测量结果的变化趋势，从而推断实验处理是否产生效果。它的基本模型如下：

O 1 O 2 O 3 O 4 × O 5 O 6 O 7 O 8 这种情况在教学上也经常碰到。例如某老师在半学期想作教学方法改革，或对教材中教学顺序安排作改动，就可以采用此模式。下面以例子说明。

例：研究者研究某种思维训练对学生数学成绩的影响。研究者取一组受试（50名学生）先进行四次测验，然后进行10节课的某种思维训练，再进行四次测验，八次测验成绩如下表，每次O i 值取50人平均分（满分10分）。

处理前：

104

1

=∑i

X

，3041

2=∑i X ，1241

=∑i y ，5.364

1

2=∑i y

5.314

1

=∑i i

y X

， ∴5.2=-x ，3=-

y ，n=4

()5410301222=-=-=∑∑i i

xx

x n x l ，()()∑∑∑=-=5.11

i i i i xy y x n

y x l ，

()5.04

125.36122

2=-=-=∑∑i i

yy

y n y l ，

3.05

5.1?1===xx xy l l b ， 25.25.23.03??2=?-=-=--x b y a

回归方程 x y 3.025.2~

1+=，()158.05

25.15.05222

1=?-?=--=

xx

xy

yy xx l n l l l S ，

同理可求处理后回归方程 x y 05.065.3~

2+=，S 2=0.24，5.6=-

x ， 522=x x l ，25.022=y x l ，1275.022=y y l

下面我们来检验处理X 前后回归直线方程的显著性 ⑴ 检验S 1与S 2是否具有显著性差异。

用F 检验。把大的S i 2

（i=1,2）放在分子上

31.2158

.024.02

2

2122===S S F 查F 分布表 F 0.05(2.2)=19，F

224.02158.022

22

12

2

2211=??+?=

++=

df df s df s df S

⑵ 检验1?b 与2

?b 有无差异，用t 检验得 95.15

1

51203

.005.03.011??2

21

121=+-=

+-=

x x x x l l s

b b t ，α=0.05，查t 分布表得临界值

t 0.05(df 1+df 2)=t 0.05(4)=2.776，由于t=1.95

?b 无显著差异。 ⑶ 检验1?a

与2?a 有无显著差异，用t 检验法

16.25

5.655.24141203

.065.325.21

1??2

2

2

22121212

211-=+++-=+++-=

-

-

x x x x l X l X n n S a a

t

α=0.05，查t 分布表得临界值t 0.05(df 1+df 2)=t 0.05(4)=2.776

由于 |t|=2.16

与2?a 无显著差异。 综上所述，可以得到研究结果：某种思维训练对学生的数学成绩无显著影响。

在上述三步检验中，只要有一个检验有显著差异，则认为两条回归直线有显著性差异，也就是实验前后的数据有显著影响，否则就认为两条回归直线无显著差异。 统计分析

⑴ 不能以O 1×O 2模式代替O 1O 2O 3O 4×O 5O 6O 7O 8模式。因为实验无控制组，有些条件不能得到有效控制。例如，教学方法不同，会引起学生刺激，这个刺激中引起学生新鲜感，产生精神集中；或学生不适应新的教学方法。因此，前、后一次测试不能说明问题。应看前、后一系列的测试成绩的趋势才能说明问题。

⑵ 回归方程实际是直线方程y = kx + b ，k 为斜率，b 为截距，k ，b 的变化会引起y 的变化。实验前回归y 1 = k 1x + b 1,实验后回归y 2 = k 2x + b 2，实验前后学生成绩有无显著变化，就可以归结对两条直线方程有无显著变化，对k 1与k 2的显著性检验也可以说对进步大小的检验。当其有显著差异时，就可以认为因为x 使学生成绩进步大(小)了。当无显著差异时，也就说实验前后学生成绩进步系数差不多，应对截距b 进行检验，当b 1与b 2有显著差异时，就可以说由于x ，在不同水平上进步，当然以高水平进步者为优。为了更直观说明问题，可看下面图6－1所示。

虚线x 表示实验前后分界，图中其它虚线部分表示两条回归直线走向。

⑶ 对剩余标准差检验，可以看作单因素方差分析，从F 比可以看出，

()2121

22

df df F S S F α>=时，可以认为剩余方差中因x 而引起的，否则不能认为是x 而引起的。

当有显著性差异时，就可以看

X的高低而确定对因素x是否有效果。

数学教育实验模型还有很多，如相等时间样本设计，对抗平衡设计，相关设计等，这些设计涉及统计知识较复杂。另外，对数学教育有关的统计有更多例子，如x2检验，非参数检验等，在此都不作介绍，有兴趣的老师可参阅有关教育统计书。在此只选用数学教育实验常用模型。只作介绍检验方法，而不进行理论上论证。只希望在今后实际工作中，能使用就可以了。