二次函数的综合复习-教师版

2. 顶点式：2

()y a x m k =-+（已知顶点或对称轴） 3. 两根式：12()()y a x x x x =--(已知图像与x 轴两交点坐标) 热身练习

1、 抛物线2

3y x =+向右平移2个单位后，所得抛物线的顶点坐标为 （2，3） 2、 若2

4

(3)m

m y m x +-=+是二次函数，则m ＝ 2

3、 抛物线2

2y x mx =++与x 轴的两个交点间的距离为2，则m ＝ ±32

4、 抛物线2

2y x x c =--+经过原点，则其顶点坐标为 （－1，1） 5、 抛物线2

y x bx c =++的顶点坐标为（－3，1），则b ＝ 6 ，c ＝ 10 6、 抛物线28y x bx =++的顶点在x 轴的正半轴上，则b ＝ 24-

7、 二次函数2

(5)2(1)y m x m x m =++++的图像全部在x 轴上方，则m 的取值范围为 m>

1

3

8、 已知二次函数2

(0)y ax c a =+≠，当x 取1212()x x x x ≠、时，函数值相等，则当12x x x =+时，函数

值y ＝ c 。

9、 抛物线2

(3)4y x m x =-++的顶点在坐标轴上，求m 的值。

答案：顶点坐标为（4)3(16,232+-+-m m ），①顶点在x 轴上时，04

)3(162

=+-m m ＝1或－7；②顶点在y 轴上，m+3=0，m ＝－3。

一、典型例题

1）有关二次函数图像与系数关系

1．（08卢湾）如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ D ）．

2. （2007长宁区）已知二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ B ）

A

B

C

D

y O x y O

x y

O

x

y

O

x

A.0,0,0>>>c b a

B.0,0,0><>c b a

C.0,0,0<>>c b a

D.0,0,0<<>c b a

2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性

1．（08闸北） 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2

1y x =-上，下列说法中正确的是 （ D ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y >

2．（08徐汇区）关于抛物线4)1(32

-+-=x y ，下列说法正确的是 （ C ） A ．抛物线的对称轴是直线1=x ； B ．抛物线在y 轴上的截距是4-； C ．抛物线的顶点坐标是（41--，）

； D ．抛物线的开口方向向上． 3．（08徐汇区）已知函数2

22y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ C ）

A ．3x -≥

B ．31x -≤≤

C ． 13x -≤≤

D ．1x -≤或3x ≥

4．（08虹口）对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ B ）

A ．抛物线的开口向下 ；

B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ；

C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点；

D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的．

3）二次函数的平移问题

1．（08卢湾）把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ A ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位．

2. （08普陀区）把抛物线()2

16+=x y 平移后得到抛物线2

6x y = ，平移的方法可以是 （ D ）.

A. 沿y 轴向上平移1个单位；

B. 沿y 轴向下平移1个单位；

C. 沿x 轴向左平移1个单位；

D. 沿x 轴向右平移1个单位. 4）二次函数的解析式求解

1. 已知抛物线的对称轴是直线x ＝3，且经过点（1，0）、（0，5

2

-

），求该抛物线的表达式。 22(0)15322

y ax bx c a y x x =++≠=-+-

设 解得2

5

,3,21-==-

=c b a 2. 已知二次函数的图像经过点（－1，0）、（3，0），且顶点到x 轴的距离是8，求这个二次函数的解析式。

222(1)(3)(0)(1)448,2

2(1)8,2(1)8

y a x x a y a x a a a y x y x =+-≠=---==±=--=--+设

3. 已知抛物线2

y ax bx c =++的顶点坐标是（3，－2），且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，求这个抛物线的解析式。

解：由顶点坐标可知对称轴为x=3，抛物线交x 轴于点（1，0）（5,0）

2(1)(5)(0)

15

322

y a x x a y x x =--≠=-+

设 4. 二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，根据图像解答下列问题：

（1） 写出方程2

0ax bx c ++=的两个根； （2） 写出不等式20ax bx c ++>的解集；

（3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；

（4） 若方程2

ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。

12(1)1,3(2)13(3)2(4)2

x x x x k ==<<≥<

5.如图，已知二次函数2

4y ax x c =-+的图像经过点A 和点B 。

（1） 求该二次函数的表达式；

（2） 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3） 点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m>0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求

m 的值及点Q 到x 轴的距离。