高考一轮复习第二章 第九节 函数与方程

1 1 即ln2－1＋a≥0.∴a≥1－ln2.
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！) 4．(2012· 天津联考)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同 的零点，则实数a的取值范围是 A．(－2,2) C．(－∞，－1) B．[－2,2] D．(1，＋∞) ( )
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解析：函数f(x)有3个不同的零点，即其图象与x轴有3个
不同的交点，因此只需f(x)的极大值与极小值异号即可． f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1， 故极值为f(－1)和f(1)，f(－1)＝a＋2，f(1)＝a－2， 所以应有(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)． 答案： A
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5．(2012· 福州模拟)若关于x的方程sin2x＋cos x＋m＋
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[冲关锦囊] 此类利用零点求参数范围的问题，可利用方程， 有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图像 求解，使得问题简单明了，这也体现了数形结合思 想．
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[考题范例] 2 ，x≥2， (2011· 北京高考)已知函数f(x)＝x 若关于x的方 x－13，x＜2. 程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
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1．函数的零点不是点
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就
是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数 的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时， 所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
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2．函数零点具有的性质
对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其
函数零点具有以下性质： (1)当它通过零点(不是偶次零点)时，函数值变号； (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
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1 解析：当0<x<1时，函数f(x)＝3x－ln x恒为正数，故在(0,1)内 1 无零点；而f(1)＝3>0，f(3)＝1－ln 3<0，故函数在(1,3)内有零点．
答案：D
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[冲关锦囊]
函数零点的判断方法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个
解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b] 上是连续不断的曲线，且f(a)· f(b)<0，还必须结合函数 的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少
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[精析考题] [例1] 个数为 A．3 C．1 B．2 D．0
x2＋2x－3，x≤0， (2010· 福建高考)函数f(x)＝ －2＋ln x，x＞0
的零点 ( )
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[自主解答]
当x≤0时，x2＋2x－3＝0，解得x＝1或－3，
则f(x)在(－∞，0]上有一个零点； 当x>0时，－2＋ln x＝0，解得x＝e2， 则f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，所以f(x)共有2个零点． [答案] B
1 1 1 1 f2＝e2＋4×2－3＝e2－1>0，
所以f(x)＝e
x
1 1 ＋4x－3的零点所在的区间为4，2.
[答案] C
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
2 1．(2012· 临沂一模)函数f(x)＝ x ＋a的零点为1，则实数a的 3 ＋1 值为 A．－2 1 C.2 1 B．－2 D．2 ( )
∴下一个有解区间为[2,2.5]．
答案： [2,2.5]
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[冲关锦囊]
求函数的零点在某精确度下的近似值，首先要熟练掌
握用二分法求函数零点的一般步骤．其次要注意正确计算，
不能有小的计算错误．第三确定好精确度，根据精确度终
止计算.
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[精析考题]
[例4] (2011· 辽宁高考改编)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零 点，则a的取值范围是________．
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与 x轴有交
点⇔函数y＝f(x)有 零点 ．
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3．零点存在定理： 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像不间断，并 且在它的两个端点处的函数值 异号 ，即 f(a)f(b)<0 ， 则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存
在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，如果函数图像通过
个零点；
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(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交 点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有 几个不同的零点．
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[精析考题] [例2] (2012· 济南模拟)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个
正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984
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[题后悟道] 解答本题利用了转化与化归、数形结合的思想，所
谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问
题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到 解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化 为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解 的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问
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[例2]
(2011· 新课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3 (
1 B.0，4 1 3 D.2，4
的零点所在的区间为
1 A.－4，0 1 1 C.4，2
)
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[自主解答]
1 1 1 1 ＝e ＋4× －3＝e －2<0， 因为f 4 4 4 4
题．本题是将不易直接解决的问题转化成两个熟悉的函
数图像的交点问题，从而可利用图像求之．
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1＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
解析：方程sin2x＋cos x＋m＋1＝0⇒m＝cos2x－cos x－2. 12 9 2 令y＝cos x－cos x－2得，y＝(cos x－ ) － . 2 4 9 因此，ymin＝－ ，ymax＝0. 4 因此，方程sin2x＋cos x＋m＋1＝0有实数解时，实数m的 9 取值范围是[－ ，0]． 4 9 答案：[－ ，0] 4
1 1 C．0，－2 D．2，－2 解析：∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，
1 所以零点为0和－2.
答案：C
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3．(教材习题改编)在以下区间中，存在函数f(x)＝x3＋3x
－3的零点的是
A．[－1,0] B．[1,2]
(
)
C．[0,1]
D．[2,3]
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解析：注意到f(－1)＝－7<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝1>0， f(2)＝11>0，f(3)＝33>0，结合各选项知，选C. 答案： C
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怎么考
1.函数的零点、方程根的个数的判断是历年高考的重要考
点． 2.利用函数的图形及性质判断函数的零点，及利用它们求 参数取值范围问题是重点，也是难点． 3.题型以选择题和填空题为主，常与函数的图像与性质交 汇命题.
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一、函数的 零点 1．函数零点的定义： 如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于 零 ，即 f(α)＝0 ， 则α叫做这个函数的零点． 2．函数的零点与相应方程的根、函数的图像与x轴交 点间的关系：
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[巧妙运用] 当x<2时，f ′ (x)＝3(x－1)2≥0，说明函 数在(－∞，2)上单调递增，函数的值域
是(－∞，1)，又函数在[2，＋∞)上单调
递减，函数的值域是(0,1]．方程f(x)＝k有两个不同的实 根，转化为函数y＝f(x)和y＝k有两个不同的交点，如图 所示，当0<k<1时直线y＝k与函数f(x)图像有两个交点， 即方程f(x)＝k有两个不同的实根． 答案：(0,1)
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[自主解答]
∵f(x)＝ex－2x＋a，
∴f ′ (x)＝ex－2.令f ′ (x)＝0，得x＝ln2. 当x<ln2时，f ′ (x)<0，f(x)在(－∞，ln2)上是减函数，
当x>ln2时，f ′ (x)>0，函数f(x)在(ln2，＋∞)上是增函数．
故f(x)min＝f(ln2)＝2-2ln2＋a. 若函数f(x)有零点，则f(x)min≤0. 即2-2ln2≤0，∴a≤2ln2-2. [答案] (－∞，2ln2-2]
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4 4．函数f(x)＝x－x的零点个数为________． 4 解析：由f(x)＝0，得x－x＝0， 即x2＝4，∴x＝± 2， 4 ∴函数f(x)＝x－x有2个零点．
答案：2
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5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实 数a的取值范围是________． 解析：∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点． ∴f(0)f(1)<0.即a(a＋2)<0，解得－2<a<0. 答案： (－2,0)
(2)若 f(a)f(c1)<0 ，则令b＝c1(此时零点x0∈(a，c1))； (3)若 第四步，判断x0是否满足给定的精确度；否则重复第二、 三、四步．
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1．(教材习题改编)下列图像表示的函数中能用二分法求 零点的是 ( )
答案：C
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2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ ax的零点是 A．0,2 1 B．0，2 ( )
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012· 锦州模拟)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间
[2,3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解
区间为________．
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解析：记f(x)＝x3－2x－5，
5 125 ∵f(2)＝－1<0，f(2.5)＝f2＝ 8 －10>0，
零点时穿过x轴，则称这样的零点为 变号零点，如果 没有穿过x轴，则称这样的零点为 不变号零点 .
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二、用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)f(b)<0 ；
第二步，求区间(a，b)的中点c1； 第三步，计算 f(c1) ：
(1)若 f(c1)＝0 ，则c1就是函数的零点； f(c1)f(b)<0 ，则令a＝c1(此时零点x0∈(c1，b))；
f(1.375)＝－
0.260
f(1.437 5)＝
0.162
f(1.406 25)＝－
0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为
________． 返回
[自主解答]
通过参考数据可以得到：
f(1.375)＝－0.260<0，f(1.437 5)＝0.162>0，且1.437 5－ 1.375＝0.062 5<0.1， 所以，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4. [答案] 1.4
第 二 章 函 数、 导 数 及 其 应 用
第 九 节 函 数 与 方 程
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招
提 能 力
我 来 演 练
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[备考方向要明了] 考什么 1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联 系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近 似解.
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若函数变为f(x)＝ln x－2x＋a，其他条件不变，求a的取 值范围．
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1 解：∵f(x)＝ln x－2x＋a，∴f′(x)＝x－2. 1 1 令f′(x)＝0，∴x＝2.当0<x≤2时f′(x)≥0，∴f(x)为增函数， 1 当x>2时，f′(x)<0，∴f(x)为减函数．
1 1 ∴f(x)max＝f2＝ln2－1＋a.若f(x)有零点，则f(x)max≥0，
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解析：由已知得f(1)＝0，即
2 1 ＋a＝0，解得a＝－2. 31＋1
答案： B
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1 2．(2012· 长沙模拟)设函数f(x)＝ x－ln x(x>0)，则函数f(x) 3 ( A．在区间(0,1)，(1，＋∞)内均有零点 B．在区间(0,1)，(1，＋∞)内均无零点 C．在区间(0,1)内有零点，在区间(1，＋∞)内无零点 D．在区间(0,1)内无零点，在区间(1，＋∞)内有零点 )