中考数学相似(大题培优 易错 难题)及答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+ 与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线

y= 相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．

（1）直接写出点C坐标及OC、BC长；

（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值；

（3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．

【答案】（1）解：对于直线y=﹣ x+ ，令x=0，得到y= ，

∴A（0，），

令y=0，则x=10，

∴B（10，0），

由，解得，

∴C（，）．

∴OC= =8，

BC= =10

（2）解：①当时，△OPQ∽△OCB，

∴，

∴t= ．

②当时，△OPQ∽△OBC，

∴，

∴t=1，

综上所述，t的值为或1s时，△OPQ与△OBC相似（3）解：如图作PH⊥OC于H．

∵OC=8，BC=6，OB=10，

∴OC2+BC2=OB2，

∴∠OCB=90°，

∴当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．

∵∠PHO=∠BCO=90°，

∴PH∥BC，

∴，

∴，

∴PH=3t，OH=4t，

∴tan∠PCH=tan∠CBQ，

∴，

∴t= 或0（舍弃），

∴t= s时，PC⊥BQ．

【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出A,B点的坐标，解联立直线AB,与直线OC的解析式组成的方程组，求出C点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接算出OC,OB的长；

（2）根据速度乘以时间表示出OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，①当OP∶OC=OQ∶OB时，△OPQ∽△OCB，根据比例式列出方程，求解得出t的值；②当OP∶OB=OQ∶OC时，△OPQ∽△OBC，根据比例式列出方程，求解得出t的值，综上所述即可得出t的值；（3）如图作PH⊥OC于H．根据勾股定理的逆定理判断出∠OCB=90°，从而得出当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．根据同位角相等二直线平行得出PH∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出OP∶OB=PH∶BC=OH∶OC,根据比例式得出PH=3t，OH=4t，根据等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义，由tan∠PCH=tan∠CBQ，列出方程，求解得出t的值，经检验即可得出答案。

2．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长；

（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D 是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；

（3）如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F.

求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；

②△AMN的面积是△AEF面积的两倍．

【答案】（1）解：（1）①当MN为最大线段时，

∵点M，N是线段AB的勾股分割点，

∴BM= = = ，

②当BN为最大线段时，

∵点M，N是线段AB的勾股分割点，

∴BN= = =5，

综上，BN= 或5；

（2）解：作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；

③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；

点D即为所求；如图2所示．

（3）解：①如图3中，将△ADF绕点A顺时针性质90°得到△ABH，连接HE．

∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAH，

∴∠EAH=∠EAF=45°，

∵EA=EA，AH=AF，

∴△EAH≌△EAF，

∴EF=HE，

∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，

∴∠HBE=90°，

在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，

∵BH=DF，EF=HE，

∵EF2=BE2+DF2，

∴E、F是线段BD的勾股分割点．

②证明：如图4中，连接FM，EN．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，

∵∠MAN=45°，

∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，

∴△AFE∽△DFN，

∴∠AEF=∠DNF，，

∴，∵∠AFD=∠EFN，

∴△AFD∽△EFN，

∴∠DAF=∠FEN，

∵∠DAF+∠DNF=90°，

∴∠AEF+∠FEN=90°，

∴∠AEN=90°

∴△AEN是等腰直角三角形，

同理△AFM是等腰直角三角形；

∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，

∴AM= AF，AN= AE，

∵S△AMN= AM•AN•sin45°，

S△AEF= AE•AF•sin45°，

∴ =2，

∴S△AMN=2S△AEF．

【解析】【分析】（1）此题分两种情况：①当MN为最大线段时，②当BN为最大线段时，根据线段的勾股分割点的定义，利用勾股定理分别得出BM的长；

（2）利用尺规作图，将线段AC,CD,DB转化到同一个直角三角形中，①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；这样的作图可以保证直角的出现，及AC 是一条直角边，③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；这样的作图意图利用垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即BD=DF，从而实现将三条线段转化到同一