中学数学建模教学的实践与认识

中学数学建模教学的实践与认识<

张思明

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一、“问题解决”与数学建模

当今的中学数学教育中，问题解决 (Problem Solving) 正成为一个热点。在国际中，日本已把问题解决纳入教学大纲(学习指导要领)，在美国的中学课程标准中，问题解决已作为“一切数学活动的组成部分，应当成为数学课程的核心”；美国也已把问题解决当做一种教学模式和教学的指导思想。在我国，国家教委基础教育课程教材研究中心在1993年组织过专题讲习班，并出版了用于问题解决的“问题集”。反映问题解决教与学过程的文章也多次出现在专业期刊上。

这一切来源于数学教育工作者们对基础数学教育在走向21世纪时的发展、变化的如下认识和展望：

(1)数学文化素养越来越成为每一个公民，以至于整个民族文化素养的重要内容和标志。因此数学教育要面向大众，面向每一个学生。

(2)数学教学将从传统的“传授知识”的模式更多地转变到“以激励学习为特征的，以学生为中心”的实践模式。

(3)数学教学将更着重于培养、发展学生的广泛的数学能力。它不仅包括理解运用数学概念和方法、组织正确的逻辑推理，进行准确有效的计算和估算；还应包括会检索阅读相应的数学书刊文献，会利用表、图、计算机去组织、解释、选择、分析处理信息，能从模糊的实际课题中形成相应的数学问题，会选择有效的解决问题的方法、工具和策略。

问题解决作为一个学数学、用数学的过程，恰好是实现上述目标的有效途径之一。

作为问题解决的核心——问题，有着各种各样的分类方法，但大体上可以分成两类：

(1)为了学习、探索数学知识，复习巩固所学内容而主要由教师构作的数学问题，如教科书、复习参考书中的练习题和复习题等。

(2)出现于非数学领域，但需用数学工具来解决的问题。如来自日常生活、经济、理、化、生、医等学科中的应用数学问题。

(1)类中的问题，往往是已完成数学抽象和加工的“成品”问题。

(2)类中的问题，往往还是“原坯”形的问题，怎样将它抽象、转化成一个相应数学问题，这本身还是一个问题。当然两类问题是可能有“交集”的，它们彼此的边界也是模糊的，如可列方程(组)求解的文字应用题的一部分就在这个“交集”中。

数学建模可以看成是问题解决的一部分，它的作用对象更侧重于(2)类中问题。作为问题解决的一种

模式，它更突出地表现了原始问题的分析、假设、抽象的数学加工过程；数学工具、方法和模型的选择、分析过程；模型的求解、验证、再分析、修改假设、再求解的迭代过程，它更完整地表现了学数学和用数学的关系。它给学生再现了一种“微型的科研过程”，这对学生今后的学习和工作无疑会有着很好的影响，也对学生的能力提出了更高层次的要求。

对于(1)类问题怎样进行问题解决的教与学已有很多成果，如 G.Plya 的关于解题的几本名著。数学建模也已成为工科院校的数学主干课程之一。但在中学里进行数学建模的教与学还刚刚起步，有许多问题正有待探讨，还有一些认识问题和技术上的困难，如：

·搞数学建模和当年联系实际，搞“三机一泵”，开门办学是如出一辙，有走回头路之嫌。

·高中数学课程内容多，学时少，完成教学计划尚不十分从容，还要应付会考、高考，没有时间搞数学建模。

·能适合中学生水平且能结合课本教学内容的建模问题不多，开发这样的问题也不十分容易，这让有心尝试者有巧妇难为无米之炊的感觉。

·在教学第一线的教师常常有较重教学任务负担。对他们来说，对正常教学内容比较熟悉，课外内容相对生疏；对正常的、一般的数学竞赛的内容比较熟悉，对数学建模的内容和过程相对生疏。而数学建模的问题常常是未经数学抽象和转化的“原坯”问题，在建模步骤中不仅要求有相应的数学知识，还要涉及非数学领域的知识；在求解步骤中除了数学方法外，还常常用到计算机(在计算机上进行模拟、试算、检验等)和物理方法。这不仅对学生，而且对教师都会遇到知识或方法上的困难和障碍。

下面部分实例和讨论，也许可以看成我们对上述问题的一种思考和回答。

二、“磁带问题”教与学的实录与评析

磁带是日常生活中常见的物品，但它却联系着许多有趣的数学应用问题，抓住这些问题让学生去动手、动脑，不仅能培养学生学习数学的乐趣，还能培养学生学数学、用数学，生活中的问题用数学化的方法加以思考、分析、求解的能力。磁带问题所涉及的相关知识不多，易被学生观察、了解，是中学数学建模的一个容易下手的问题。下面我们给出对同一课题在初二、高三这两个年级进行数学建模活动的主要线索。

(一)初二年级(1)班，1993年10月26日

1 由教师先提出问题

(1)一盘60分钟的普通磁带有多长?

(2)一盘60分钟的普通磁带的单层厚度是多少?

请同学们观察从家中带来的磁带样品，寻找解决问题的模型与方案。

2 组织课堂讨论

几分钟，全班分成了四派：

(1)设法直接测量带长l与单层带厚d(2)设法直接计算l与d；

(3)设法测量l，而去计算d；

(4)设法测量d，而去计算l；

教师进一步要求，提“算”的同学给出算法，提“测”的同学给出实际可行的测量方案。

在教师的启发下，“算”派的学生代表上黑板给出了如下的算法模型：

先将磁带全绕在一边(如左侧)，测出图1中的R与r(实测为

R=224mm,r=10.5mm)把磁带所在的左盘的俯视图看成是一个圆环，

把它想像成是由一条长为l(磁带长)、宽为d(磁带的单层厚)的

‘细长矩形’环绕填充而成，因此，有：

（１）

教师：这个模型建立的非常好，但一个方程怎么解两个未知数l与d?

学生：可用以公式(1)测一个量，算一个量，很好!那么测哪一个?算哪一个?

学生甲：测量d，算出l。

学生乙：测量l，算出d。

学生丙：两个都测量更简单。

教师：谁来谈谈测量l的方法?

学生乙(举手发言)：将磁带从带头开始，放入录音机走带1分钟，取出磁带做上记号，测量出1分钟走过的带长，再乘60就是总的磁带长l。

学生丁：不对，应将1分钟走过的带长乘以30才是总的带长。

教师：乙谈得不错，丁补充得也很好。60分钟的磁带的单面放音时间约为30分钟，所以应将1分钟的带长乘以30而不是60。另外，一次测量常常由于操作和测量工具的原因造成测量的误差，最好多测几次，取平均值作为测量的最终结果，这也是测量中减少误差的常用手段之一。谁再来谈谈怎么测量d?

(静场约1分钟)

学生甲(举手发言)：磁带太薄，普通尺子的刻度太大不好测量，可以多叠几层再测量。