数学分析第四章函数的连续性总结

y=ƒ(x)
y
°
x
y
x
0
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x0
x
x
0
x0
x
x
4
当x 0时, y 0.
当x 0时, y 不一定趋于0.
定义 1
0
设 函 数 f ( x) 在 U ( x0 , ) 内 有 定 义 , 若
0
,那末就称函数 f ( x ) 在点 x 连续. lim f ( x ) f ( x ) 0 x x
a
0
( 0, 0, 0 x x0 时, 恒有 f ( x) a ).
和极限存在的区别
x x0
[1] f ( x)在x0有定义；
x x0
3
[2] lim f ( x)存在； [3] lim f ( x) f ( x0） .
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y 跳跃型
y 可去型
o y
x0
x y
o
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
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无穷型
例10 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0,
解 f ( 0) a ,
lim f ( x ) limcos x 1,
x cos( x ) 1, 2
对任意的 , 有y ,
当x 0时, y 0.
即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
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二、函数的间断点
y
y
o y
x0
x y
o
x0
x
o
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x0
x
o
x
12
二、函数的间断点
在区间(a,b)上每一点都连续的函数,叫做区间 (a,b)上的连续函数,或者说函数在区间(a,b)上连 续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如,
函数y sin x在区间(,)内是连续的 .
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续. 记为：
故| f ( x ) |、 f ( x ) 在x0 都连续.
2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
第一类间断点:跳跃型, 可去型. 间断点 第二类间断点:无穷型,振荡型.
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思考题
若 f ( x ) 在 x0 连续，则| f ( x ) |、 f ( x )在 x0 是 否连续？又若| f ( x ) |、 f ( x )在 x0 连续， f ( x ) 在 x0 是否连续？
x 0为函数的间断点 .
x xo
lim f ( x ) lim f ( x )
x xo
x xo x xo
o
x
跳越间断点
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. lim f ( x ) lim f ( x ) 跳越度
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可去间断点 如果 f ( x )在点 x0处的极限存在 ,
1 当 x 0时, sin 上下震荡 . x
y sin 1 x
这种情况称x=0为震荡间断点.
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14
例5
符号函数
1
y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
o -1
x
x 0
lim f ( x ) lim 1 1
定义 2 设函数 f ( x ) 在 U ( x 0 , ) 内有定义,如果
x 0
lim y 0，那末就称函数 f ( x )在点 x0 连续, x0 称为
f ( x )的连续点.
即 lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0
x 0
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称为函数的第二类间断 点.
第Ⅱ类间断点：
0
f ( x ), 如果 f ( x )在点x0处的左、右极限至 x lim x
少有一个不存在, 则称点x0为函数 f ( x )的第二类间断点 .
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不全存在
x x0
lim f ( x )
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第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
5
1 x sin , x 0, 例1 试 证 函 数f ( x ) 在x 0 x x 0, 0, 处连续 . 1 证 lim x sin 0, x0 x 又 f (0) 0, lim f ( x ) f (0),
x 0
由定义1知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
x2 1 ,x 1 f ( x) x 1 2 , x 1
x 1
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连续函数 .
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例8 讨论函数
2 x , 0 x 1, f ( x ) 1, x 1 x 1, 1 x , 在x 1处的连续性 .
y
但 lim f ( x ) A f ( x0 ), 或 f ( x )在点 x0处无定
x x0
义则称点x0为函数 f ( x )的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
若 lim f ( x ),
x x0
则x0称为
17
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x x0
x x0
则称 函数 f ( x )在点 x0 处不连续 (或间断 ), 并称点 x0 为 f ( x ) 的不连续点 (或间断点 ).
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1 例4 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x 解 在x 0处没有定义,
x 0为间断点.
例7
解
x2 1 讨 论 函 数f ( x) 在x 1处 的 连 续 性 . x 1
f (1)不，x 1是间断点 .
x 1, f ( x) x 1 lim f ( x ) 2,
x 1
只要令 f (1) 2, 则f ( x)在x 1连续.
故
x 1是 可 去 间 断 点 .
函数 f ( x )在 x0 处连续
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左、右极限存在且与函数值相等.
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ) lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x0 )
x x0 x x0
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x 2 , x 0, 例2 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
2 1
y 1 x
y2 x
1
o
x
解
f (1) 1,
f (1 0) 2,
x 1
f (1 0) 2,
lim f ( x ) 2 f (1),
x 1为函数的可去间断点.
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2 x , 0 x 1, f ( x ) 1, x 1 x 1, 1 x ,
定义 1
0
设 函 数 f ( x) 在 U ( x0 , ) 内 有 定 义 , 若
,那末就称函数 f ( x ) 在点 x 连续. lim f ( x ) f ( x ) 0 x x
0, 0, 使当 x x 0 时, 恒有 f ( x ) f ( x 0 ) .
解
f (0 0) 0,
y
f (0 0) ,
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
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间断点分类：
左、右极限都存在的间 断点,
第Ⅰ类间断点：
x x0 x x0
lim f ( x ), lim f ( x )
都存在
称为函数的第一类间断 点.
不是第一类间断点的间 断点，
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
定理 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续.
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x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
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三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
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3.单侧连续
x U ( x0 , )
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
若函数f ( x )在(a , x 0 ]内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续;
则称f ( x )在点x 0处右连续. 若函数f ( x )在[ x 0 , b)内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ),
函数的连续的等价定义
2.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x 0 , )内有定义 , x U ( x 0 , ),
x x x0 , 称为自变量在点 x0 的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
y y
y f ( x)
f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0), 解 lim
x 0 x 0
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
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4. 函数的区间连续
第四章 函数的连续性
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1
§1 函数连续的概念
引例
y
y=ƒ(x)
A
0
°
x0
y g( x )
x
x x0
A lim f ( x ) ?
y
g(x0)
0
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x x0
g(x0) lim g( x ) ?
x
2
x0
一、函数的连续性
1.连续的定义
U 0 ( x0 , )
y
2 1
令 f (1) 2,
2 x , 0 x 1, 则 f ( x) x 1, 1 x , 在x 1处连续.
o
1
x
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1 , x 0, 例9 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的连续性. x , x 0,
定义3
连续
[1] f ( x)在x0有定义；
[2] lim f ( x)存在；
x x0
间断
若函数 f ( x )满足三个条件之一:
[3] lim f ( x) f ( x0） .
x x0
(1) f ( x )在点x0处无定义;
( 2) lim f ( x )不;
f ( x 0 ). ( 3 ) lim f ( x )
2 2
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思考题解答
lim f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) 在x0 连续， x x
0
且 0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
lim f 2 ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) f 2 ( x0 ) x x0 x x0 x x0
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f ( x) C[a, b].
10
例3 证明函数 y sin x在区间( ,)内连续. 证
任取 x (,),
x x cos( x ) 2 2 x 则 y 2 sin x. 2
y sin( x x ) sin x 2 sin
x 0
而f ( 0 ) 0
x 0为函数间断点 .
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例6 解
x, 讨论函数 f ( x ) 1 x ,
f (0 0) 0, f (0 0) 1,
x 0, 在x 0处的连续性. x 0,
y
f (0 0) f (0 0),