2020—2021学年九年级下第27章《相似》单元试题及答案解析

∵EF⊥DE，∵DE⊥BC，
∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴AB∥DE，
∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=EF=9，∴CE=BC﹣EF=12﹣9=3；
（2）过D作DM⊥BC于M，
∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DM∥AB，
∵AD∥BC，∴四边形ABMD是矩形，∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12﹣9=3，
D、∠A=∠E且 不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
故选：C．
4.【答案】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，
∵BE=CE，∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+ DM2=1，解得DM= ；
（2）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原先的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．
21.（本题8分）在△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，点E在BD上，且DE=CD，过点E作AB的平行线交AD于F，且EF=AC．如图，求证：∠BAD=∠CAD；
22.（本题10分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．
即 = =10，
故选C．
3.【答案】A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由 能够依照两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似能够判定出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；
故答案为：2：3．
14.【答案】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴AB：DE=OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故答案为：1：4．
15.【答案】由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴AB:BP=CD:PD,，∴CD=1.2×12÷1.8=8（米）．
三、解答题(共8题，共72分)
17.（本题8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求 的值．
18.（本题8分）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2=GF•EF．
19.（本题8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
故选C．
6.【答案】∵ ，∴ ，
∵在△ABC中，DE∥BC，∴ ，
∵DE=4，∴BC=3DE=12．故选D．
7.【答案】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∴ ，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，∴C1D1= ．
故选C．
8.【答案】∵△ABC∽△A′B′C′， ，∴S△ABC：S△A'B'C′==（ ）2= ，故选C．
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长．
23.（本题10分）如图，已知△ABC∽△ADE，AB=30cm，AD=18cm，BC=20cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°．
（1）求∠ADE和∠AED的度数；
（2）求DE的长．
24.（本题12分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A动身，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C动身，沿线段CB也向点B方向运动，假如点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时动身，当有一点到达ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在线段的端点时，就停止运动．设运动时刻为t秒．求：
A． B． C ．D．
6.如图，在△ABC中，DE∥BC， ，DE=4，则BC的长是（ ）
A．8B．10C．11D．12
7.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（ ）
A．10B．12C． D.
8.已知△ABC∽△A′B′C′且 ，则S△ABC：S△A'B'C′为（ ）
∵点F在线段AB上，AB=7，∴AF=CE=17（舍去），即CE=5．
23.【解答】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=40°，∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣75°﹣40°=65°，
∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=65°；
（2）∵△ABC∽△ADE，∴AB:AD=BC:DE，即30：18=20：DE，解得DE=12cm．
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，∴∠ABD= ∠ABC=36°=∠A，
在△ADE和△BDE中,∠A=∠DBA,∠AED=∠BED,ED=ED，
∴△ADE≌△BDE（AAS）；
∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，∴∠DBC= ∠ABC=36°=∠A，
设AF=CE=a，则BF=7﹣a，EM=a﹣3，BE=12﹣a，
∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∴∠BFE=∠DEM，
∵∠B=∠DME，∴△FBE∽△EMD，∴BF:EM=BE:DM，
∴(7-a)：（a-3）=（12-a）：7，a=5，a=17，
A．∠A=∠E且∠D=∠FB．∠A=∠B且∠D=∠F
C．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且
4.如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（ ）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
A． B． C． 或 D． 或
5.如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
24.【解答】由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，
（1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，
由勾股定理得PQ=10cm；
（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t，
因此Rt△CPQ的面积为S= ×（20-4t）×2t=（20t-4t ）cm ；
（3）分两种情形：
故答案为：8．
16.【答案】如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故AM:AB=AN:AC=MN:BC，
则3：9=MN:12，解得：MN=4，
如图2所示：当∠ANM=∠B时，
又∵∠A=∠A，∴△ANM∽△ABC，∴AM:AC=MN:BC，即3：6=MN:12，
解得：MN=6，
故答案为：4或6．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
20.（本题8分）如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点．
（1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1．画出平移后的图形，并写出点A的对应点A1的坐标；
∵BD=4，CD=9，∴AD=6．
12.【答案】∵BC= AC，∴ ，∵AD∥BE∥CF，∴ ，∵DE=4，∴EF=2．故答案为：2．
13.【答案】因为△ABC∽△DEF，因此△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
因为S△ABC：S△DEF=2：9=（2：3）2，
因此△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．
20.【解答】（1）△A1B1C1如图所示，其中A1的坐标为：（0，1）；
（2）符合条件△A2B2C2有两个，如图所示．
【知识讲解】（1）直截了当利用平移的性质，可分别求得△A1B1C1各点的坐标，继而画出图形；
（2）利用位似的性质，可求得△A2B2C2各点的坐标，继而画出图形．
A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1
9.如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（ ）
A．4mB．6mC．8mD．12m
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，假如AC=3，AB=6，那么AD的值为（ ）
A． B． C． D．3
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，CP:CA=CQ:CB，即(20-4t)：20=2t：15，解得t=3秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，CP:CB=CQ:CA，即(20-4t)：15=2t：20，解得t= 秒．
因此t=3秒或t= 秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
三、解答题
17.【解答】∵DE∥BC，∴AD:AB=DE:BC，∵AD=3，AB=5，∴ = ．
18.【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴GF:CF=DF:BF，CF:EF=DF:BF，∴GF:CF=CF:EF，
即CF2=GF•EF．
19.【解答】（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
2020—2021学年九年级下第27章《相似》单元试题及答案解析
第27章《相似》单元测试卷
（满分120分，限时120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.若 ，则 等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
3.下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11.在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD=4，CD=9，则AD=．
12.如图，直线AD∥BE∥CF，BC= AC，DE=4，那么EF的值是．
13.已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为．
14.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为．
（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
第27章《相似》单元测试卷解析
一、选择题
1.【答案】∵2x=5y，∴ ．故选B．
2.【答案】设 =k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
9.【答案】设长臂端点升高x米，则0.5：x=1:16，∴解得：x=8．故选；C．
10.【答案】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，
又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD，则AD= ．
故选：A．
二、填空题
11.【答案】∵△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的高，∴AD2=BD•CD（射影定理），
②DM与BE是对应边时，DM= DN，∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，解得DM= ．∴DM为 或 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
故选C．
5.【答案】∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE=BF，BD=EF；
∵DE∥BC，∴ ， ，
∵EF∥AB，∴
21.【解答】延长FD到点G，过C作CG∥AB交FD的延长线于点M，
则EF∥MC，∴∠BAD=∠EFD=∠M，
在△EDF和△CMD中，∠EFD=∠M，∠EDF=∠MDC，ED=DC，
∴△EDF≌△CMD（AAS），∴MC=EF=AC，∴∠M=∠CAD，∴∠BAD=∠CAD；
22.【解答】（1）当F和B重合时，
15.如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A动身通过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是米（平面镜的厚度忽略不计）．
16.如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=．