4-第3章有限元分析的力学基础
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图3.1变形体的描述
描述位移是最直接的，因为可以直接观测，描述力和材料特性是间接的，需要我们去定义新的 变量，如图3.2所示，可以看出应包括位移、变形程度、受力状态这三个方面的变量，当然，还应
有材料参数来描述物体的材料特性。
位移
■
物体变形后的位置
应变
■
物体的变形程度
应力
物体的受力状态
材料参数物体的材料特性
因而，弹性力学中有关 变量和方程的描述将是有限元方法的重要 基础。
3.1.2
当一个变形体受到外界的作用(如外力或约束的作用)时，如何来描述它？首先， 我们可以观察到
物体在受力后产生了内部和外部位置的变化，因此，物体各点的位移应该是最直接的变量，它将受
到物体的形状、组成物体的材质以及外力的影响，变形体的完整描述如图3.1所示。
侧面在y方向上相差dy的距离。
下面给出各个侧面上的应力定义：
其中Ay表示法线方向沿y轴的平面，Px为作用在Ay面上合力沿着x方向的分量，若用指标符号
来表示yx,可写成21。若改变（3.1）式中的下标，可以得到各个侧面上沿各个方向的应力。
应力符号有两个下标，第一个下标表示受力面的法线方向，第二个下标表示力的方向，如图3.3
t（注意t为厚度），如图3.4所示，每一个侧面上的任意力（单位面积上的）都可以分解为沿x方向和沿
y方向的力，对于垂直于侧面上的力（即沿着所在平面的法线方向）叫做正应力（normal stress）,而位于
侧面内的力（即沿着所在平面的切线方向）叫做剪应力（shear stress）。对于图3.4所示的几何体，be边 与厚度t组成的侧面我们记作be_t,它与ad_t侧面在x方向上相差dx的距离，而ed_t侧面与ab_t
(4)线弹性(linear elasticity)假定，即物体 变形与外力 作用的关系是线性的，外力去除后，物体可 恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。
(5)小变形(small)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高
阶小量（二阶以上）。
以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大 多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理， 以抓住问题的实质。
•材料的物理方程（变形体的内部、边界）
边界源自文库件为
•位移方面（变形体的边界）
•外力方面（变形体的边界）
3.3.1
1•微小体元上的平面应力分量
平面问题实际上是 空间问题的一种 特殊情况，即物体在 厚度方向（Z）上较薄，因此，认为在沿厚 度方向上各种应力很小（或为零）,可以忽略。设在变形体上的任意一点a （x,y）取一个微小体元dxdy_
第
由固体材料组成的具有一定形状的物体在一定约束边界下(外力、温度、位移约束等)将产生 变形(deformation)，该物体中任意一个位置的材料都处于复杂的受力状态之中，本章将定义用于刻画
任意形状弹性变形体的力学变量和表达这些变量之间的关系。具体地，将在五个简化条件下，定义 有关位移、变形、力的三大类变量，推导这些变量之间的三大类方程，给出典型的两类边界条件， 本章的主要内容就是弹性力学中的基础部分。
3.1
3.1.1
在外力的作用下，若物体内任意两点之间发生相对移动，这样的物体叫做变形体(deformed
body)，它与材料的物理性质密切相关。如果从几何形状的复杂程度来考虑，变形体又可分为简单形
状变形体和任意形状变形体。简单变形体如 杆、梁、柱等，材料力学 和结构力学 研究的主要对象就 是简单变形体，而弹性力学则处理任意形状变形体。有限元方法所处理的对象为任意形状变形体，
图3.2变形体的描述及所需要的变量
总之，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
•位移(displacement)(描述物体变形后的位置)
•应变(strain)(描述物体的变形程度)
•应力(stress)(描述物体的受力状态)
对于任意形状的变形体，我们希望建立的方程具有普遍性和通用性，因此，采用微小体元
3.3
平面问题（2-dimensional problem），简称2D问题。
对于一个待分析的对象，包括复杂的几何形状、给定的材料类型、指定的边界条件（受力和约束
状况）。如前所述，描述这样的对象需要三大类变量、三大类方程和边界条件。
三大类方程为
•力的平衡方程（变形体的内部）
•几何变形方程（变形体的内部）
(representative volume) dxdydz的分析方法来定义位移、应变、应力这三类变量。
3.1.3
受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，基于位移、应变、应力这三大类变量，
可以建立以下三大类方程：
•受力状况的描述：平衡方程(equilibrium equatio n)
所示。对于图3.4所示的微小体元dxdy_t,其各个受力面上的所有 应力都标注在该图中。图中的bx和
图3.4空间坐标系中的平面问题（z方向无任何力，其等厚度为t）
在推导平衡方程之前，做好以下准备。
准备1应力的增量计算
在推导平衡方程时，需要计算 不同位置截面上的应力，不同截面的几何位置将有一个dx或dy
的差别，以xx为例，由高等数学中的
Taylor级数展开，
有
xx(x dx, y)
xx(x,y)
本假定。
(1)物体内的物质 连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对 象。
(2)物体内的物质 均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此,
各个位置材料的描述是相同的。
(3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内 同一位置的物质在各个方向 上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。
•变形程度的描述：几何方程(strai n-displaceme nt relatio nship)
•材料的描述：物理方程(应力应变关系或本构方程)(stress-strain relationship or constitutive
equati on)
3.2
为突出所处理问题的实质，并使问题有得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基
描述位移是最直接的，因为可以直接观测，描述力和材料特性是间接的，需要我们去定义新的 变量，如图3.2所示，可以看出应包括位移、变形程度、受力状态这三个方面的变量，当然，还应
有材料参数来描述物体的材料特性。
位移
■
物体变形后的位置
应变
■
物体的变形程度
应力
物体的受力状态
材料参数物体的材料特性
因而，弹性力学中有关 变量和方程的描述将是有限元方法的重要 基础。
3.1.2
当一个变形体受到外界的作用(如外力或约束的作用)时，如何来描述它？首先， 我们可以观察到
物体在受力后产生了内部和外部位置的变化，因此，物体各点的位移应该是最直接的变量，它将受
到物体的形状、组成物体的材质以及外力的影响，变形体的完整描述如图3.1所示。
侧面在y方向上相差dy的距离。
下面给出各个侧面上的应力定义：
其中Ay表示法线方向沿y轴的平面，Px为作用在Ay面上合力沿着x方向的分量，若用指标符号
来表示yx,可写成21。若改变（3.1）式中的下标，可以得到各个侧面上沿各个方向的应力。
应力符号有两个下标，第一个下标表示受力面的法线方向，第二个下标表示力的方向，如图3.3
t（注意t为厚度），如图3.4所示，每一个侧面上的任意力（单位面积上的）都可以分解为沿x方向和沿
y方向的力，对于垂直于侧面上的力（即沿着所在平面的法线方向）叫做正应力（normal stress）,而位于
侧面内的力（即沿着所在平面的切线方向）叫做剪应力（shear stress）。对于图3.4所示的几何体，be边 与厚度t组成的侧面我们记作be_t,它与ad_t侧面在x方向上相差dx的距离，而ed_t侧面与ab_t
(4)线弹性(linear elasticity)假定，即物体 变形与外力 作用的关系是线性的，外力去除后，物体可 恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。
(5)小变形(small)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高
阶小量（二阶以上）。
以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大 多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理， 以抓住问题的实质。
•材料的物理方程（变形体的内部、边界）
边界源自文库件为
•位移方面（变形体的边界）
•外力方面（变形体的边界）
3.3.1
1•微小体元上的平面应力分量
平面问题实际上是 空间问题的一种 特殊情况，即物体在 厚度方向（Z）上较薄，因此，认为在沿厚 度方向上各种应力很小（或为零）,可以忽略。设在变形体上的任意一点a （x,y）取一个微小体元dxdy_
第
由固体材料组成的具有一定形状的物体在一定约束边界下(外力、温度、位移约束等)将产生 变形(deformation)，该物体中任意一个位置的材料都处于复杂的受力状态之中，本章将定义用于刻画
任意形状弹性变形体的力学变量和表达这些变量之间的关系。具体地，将在五个简化条件下，定义 有关位移、变形、力的三大类变量，推导这些变量之间的三大类方程，给出典型的两类边界条件， 本章的主要内容就是弹性力学中的基础部分。
3.1
3.1.1
在外力的作用下，若物体内任意两点之间发生相对移动，这样的物体叫做变形体(deformed
body)，它与材料的物理性质密切相关。如果从几何形状的复杂程度来考虑，变形体又可分为简单形
状变形体和任意形状变形体。简单变形体如 杆、梁、柱等，材料力学 和结构力学 研究的主要对象就 是简单变形体，而弹性力学则处理任意形状变形体。有限元方法所处理的对象为任意形状变形体，
图3.2变形体的描述及所需要的变量
总之，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
•位移(displacement)(描述物体变形后的位置)
•应变(strain)(描述物体的变形程度)
•应力(stress)(描述物体的受力状态)
对于任意形状的变形体，我们希望建立的方程具有普遍性和通用性，因此，采用微小体元
3.3
平面问题（2-dimensional problem），简称2D问题。
对于一个待分析的对象，包括复杂的几何形状、给定的材料类型、指定的边界条件（受力和约束
状况）。如前所述，描述这样的对象需要三大类变量、三大类方程和边界条件。
三大类方程为
•力的平衡方程（变形体的内部）
•几何变形方程（变形体的内部）
(representative volume) dxdydz的分析方法来定义位移、应变、应力这三类变量。
3.1.3
受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，基于位移、应变、应力这三大类变量，
可以建立以下三大类方程：
•受力状况的描述：平衡方程(equilibrium equatio n)
所示。对于图3.4所示的微小体元dxdy_t,其各个受力面上的所有 应力都标注在该图中。图中的bx和
图3.4空间坐标系中的平面问题（z方向无任何力，其等厚度为t）
在推导平衡方程之前，做好以下准备。
准备1应力的增量计算
在推导平衡方程时，需要计算 不同位置截面上的应力，不同截面的几何位置将有一个dx或dy
的差别，以xx为例，由高等数学中的
Taylor级数展开，
有
xx(x dx, y)
xx(x,y)
本假定。
(1)物体内的物质 连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对 象。
(2)物体内的物质 均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此,
各个位置材料的描述是相同的。
(3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内 同一位置的物质在各个方向 上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。
•变形程度的描述：几何方程(strai n-displaceme nt relatio nship)
•材料的描述：物理方程(应力应变关系或本构方程)(stress-strain relationship or constitutive
equati on)
3.2
为突出所处理问题的实质，并使问题有得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基