角平分线导学案
§1.4.1。2角平分线(2)导学案
九年级先修课题：§1.4.1角平分线（2）教学目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。
重点：证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理难点：证尺规作图一、前置准备：三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？二、讲授新课：自主学习：如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：。
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=。
对应练习：1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。
2、到三角形三边距离相等的点是（）A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定三、合作交流；例：△ABC 中，AC=BC, ∠C=900,AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E 。
（1） 已知：CD=4cm,求AC 长（2） 求证：AB=AC+CD三、应用深化四、当堂训练：1、到一个角的两边距离相等的点在 。
2、△ABC 中，∠C=900, ∠A 的平分线交BC 于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D 到AB 的距离为 .3、如下左图Rt △ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于E ，AB=8cm ，则DE+DC= cm 。
4、如上右图△ABC 中，∠ABC 和∠BCA 的平分线交于O,则∠BAO 和∠CAO 的大小关系为 。
5 、Rt △ABC 中，∠C=900，BD 平分∠ABC ，CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是 。
课后训练：1、已知：如图，∠C=900，∠B=300，AD 是Rt △ABC 的角平分线。
求证：BD=2CD 。
2、已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM,AD ⊥ON,BE ⊥OM,BF ⊥ON,垂足分别为C 、D 、E 、F ，且AC=AD ，求证：BE=BF3、已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F 。
徐闻县和安中学数学教学导学案设计：11.3 角平分线的性质1
徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ 第 周 星期 第 节 本学期学案累计: 6 课时 姓名：________课题：《11.3角的平分线的性质》（1）学习目标 我的目标 我实现1、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．2、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
突破：【重点】掌握角的平分线的性质定理【难点】角平分线定理的应用。
导学过程 我的课堂 我作主☆☆导学活动1☆☆自主学习 我探索 我快乐1、复习思考什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？2．如右图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着A 、C 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗3.根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本19页后，思考为什么要用大于21MN 的长为半径画弧？4．OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结论PD PE 第一次第二次第三次◆八年级数学导学案 设计：林朝清 设计时间 2013年9月3日O A BE D C P5、命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.题设：一个点在一个角的平分线上结论：这个点到这个角的两边的距离相等结合第4题图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性解后思考：证明一个几何命题的步骤有那些？6、用数学语言来表述角的平分线的性质定理：如右上图，∵OC 是∠AOB 的平分线，点P 是∴☆☆导学活动2☆☆合作探究 我合作 我成功1、如图所示OC 是∠AOB 的平分线,P 是OC 上任意一点,问PE=PD?为什么?2、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ；求证：CF=EB徐闻县和安中学 ◆八年级数学导学案 设计：林朝清 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！ E D C B A ☆☆导学活动3☆☆学以致用 我尝试 我成功在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ， DE ⊥AB 于E ，则 ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？ ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长。
《与三角形有关的线段—三角形的高、中线与角平分线》导学案
《与三角形有关的线段—三角形的高、中线与角平分线》导学案一、学习目标1.了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.掌握任意三角形的高、中线、角平分的线画法。
通过观察认识到三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点.2.通过自己动手操作，掌握三角形的高、中线与角平分线的画法，通过与小组成员讨论画出三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点这一结论. 3.通过画图体会学习数学中的严谨精神，通过与组员合作，增强合作意识。
二、重点、难点学习重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达。
学习难点：钝角三角形的高的画法 三、获取新知忆一忆1、过A 点做线段BD 的垂线，垂足为C 。
2、线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点。
（画出线段AB 的中点C ）3、角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个 相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（画出∠AOB 的角平分线学一学1、 三角形的高 从△ABC 的顶点A 向它 所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑴，AD 是△ABC 的高，则AD ⊥_____.2、三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑵，AD 是△ABC 的中线，则BD ＝______=21.3、三角形的角平分线 ∠BAC 的平分线AD ，交∠BAC 的对边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的___________.如图⑶，AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ＝∠_______21∠ ..想一想2、三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？高与垂线呢？3、一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？画一画4、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线。
（组内分工，1-2名负责一个图形）完成后，课辅组织组内成员观察。
角平分线的性质导学案
12.3 角的平分线的性质导学案学习目标：1、会用尺规作已知角的平分线，知道作法的合理性；2、探索并证明角的平分线的性质定理；3、能用角的平分线的性质解决简单问题。
学习重点：探索并证明角的平分线的性质定理。
学习难点：角平分线性质定理的应用。
学习过程：一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路。
问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？P二、自学指导让学生先阅读课本48-49页内容，思考下面的问题：1、平分角的仪器怎么使用？2、用尺规如何平分已知角？3、角平分线的性质是4、角平分线的性质怎么证明？5、证明几何命题的一般步骤是：（1）；（2）；（3）。
三、自主探究合作展示探究（一）：角平分仪平分角的道理：1、为什么角平分仪能平分一个角？（小组讨论回答）。
探究（二）如何作尺规作出一个角的平分线呢？1、分析角平分仪原理，你能利用圆规和直尺作角的平分线吗？（小组讨论）2、师生共同用尺规作角的平分线。
已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径作弧．两弧在2∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC。
射线OC 即为所求．3、让学生回答为什么射线OC 是∠AOB 的平分线。
4、在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？探究（三）、探究角平分线的性质：如图4，OA 是∠BAC 的平分线，点O 是射线AM 上的任意一点. 操作测量：取点O 的三个不同的位置，分别过点O 作OE ⊥AB ，OD ⊥AC,点D 、E 为垂足，测量OD 、OE 的长.将三次数据填入下表：根据测量结果，猜想线段OD 与OE 的大小关系，猜想角平分线的性质结论是： 。
让学生用学过的知识证明此结论：教师引导学生分析这个文字命题的条件和结论，并找出结论中的隐含条件，最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，图4ODOE 第一次 第二次第三次BOAM并独立完成证明过程。
角的平分线的判定(导学案)-八年级数学上册同步备课系列
12.3.2角的平分线的判定导学案一、学习目标：1.理解角平分线的判定定理.2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.重点：角的平分线的判定定理的证明及应用.难点：角的平分线的判定.二、学习过程：课前自测角平分线的性质定理：文字语言：__________________________________________________.几何符号：________________________________________________________________________合作探究思考：我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？（先独立思考，然后在组内交流分享，通过观察动画演示，确定猜想）猜想：__________________________________________________.把猜想转化成具体数学问题，认真填写一下已知和求证：已知:__________________________________________________________.求证:________________________________________________.※角的平分线的判定：文字语言：________________________________________________.几何语言：____________________________________________________________________思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？【针对练习】如图，在直线MN 上求作一点P ，使点P 到射线OA 和OB 的距离相等.典例解析例1.如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P .求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等.例2.如图，在△AB C 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为()A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°例3.如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线,它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F .求证:BP 为∠MBN 的平分线.【针对练习】如图，△ABC 的∠ABC 的外角的平分线BD 与∠ACB 的外角的平分线CE 相交于点P .求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 所在直线的距离相等.例4.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证:(1)AM 平分∠DAB ;(2)AD =AB +CD.达标检测1.如图，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，PD =6cm ，当PE =____cm 时，点P 在∠AOB 的平分线上.2.如图,已知P A ⊥ON 于A,PB ⊥OM 于B,且PA =PB,∠MON =50°,∠OPC =30°，则∠PCA=______.3.如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.4.如图所示，已知△ABC 的周长是10，OC 、OB 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD 上BC 于D ，且OD =1，则△ABC 的面积是_______.5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m 、40m 、50m ，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.7.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=D C．求证:AD是∠BAC的平分线.。
八年级数学上册 三角形角平分线性质二导学案 新人教版
八年级数学上册三角形角平分线性质二导学案新人教版（二）自研课（时段：晚自习时间：10 分钟） A1、旧知链接：作出∠AOB的平分线OC，并保留作图痕迹。
2、新知自研：自研教材P20-P21的内容。
展示课（时段：正课时间：60 分钟） O B学习主题：1、认知角平分线性质的推导过程;2、初步掌握证明一个几何命题的一般步骤和方法。
二、【定向导学互动展示当堂反馈】导学流程自研自探环节合作探究环节展示提升环节质疑评价环节总结归纳环节自学指导（内容、学法、时间）互动策略（内容、形式、时间）展示方案（内容、方式、时间）随堂笔记（成果记录、知识生成、同类演练）定理生成与定理推导（44分钟）小时候我们折过纸飞机、千纸鹤、小纸船……那么你们是否思考过在折纸过程中那一道道折痕中所蕴含着数学知识呢？下面一起来折一折，想一想吧。
【实验操作】1、折一折：自研教材P20页的“探究”部分，动手完成下列操作：（1）将准备好的∠AOB边边重合对折，得到∠AOB的（2）再折出一个直角三角形，使第一条折痕为斜边，然后展开，画出这两条折痕，即为∠AOB平分线上的点、到两边的（3）再将折痕画出并命名，并剪下贴在下图中量一量，你得到的∠AOB平分线上的一点到两边的距离关系有什么关系?并把你的发现呈现在随堂笔记部分、1、两人小对子：结合自研成果对子间进行交流，并就任务完成情况和书写工整度两方面迅速给出等级评定。
2、五人互助组： 将自己亲手折叠的过程展示给你的小对子，并得到角平分线性质，并相互帮助充分理解、 结合学法指导以及书中P20-P21的内容，弄懂证明几何中命题的步骤，并理解角平分线性质的证明过程。
感知证明命题之前画出图形，并用符号表示已知和求证的直观性与便利性3、人共同体：大组长组织本组成员交流、明确互助结果；围绕展示任务，参照展示方案，优化展示形式，分派展示任务，进行组内预演。
（10分钟）展示单元一方案预设一主题：定理生成亲手操作，模型折叠，说明每一步折叠的目的，然后测量出角平分线上的点到两边的距离，多次选择不同的点重复操作，最终得到角平分线性质。
北师大版八年级数学下册《角平分线》第二课时导学案
角平分线（二）学习目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。
学习过程：一、前置准备：三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？作用呢？二、自主学习：如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离。
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= 。
对应练习：1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。
2、到三角形三边距离相等的点是（）A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定三、合作交流；例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
（1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、当堂训练：1、到一个角的两边距离相等的点在。
2、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为.3、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm。
4、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为。
5 、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是。
6、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：BE=BF课下训练：P39 习题1、2、3中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。
角平分线的性质导学案
1.4 角平分线的性质与判定导学案（一）【导学目标】1、掌握角平分线的性质定理及判定定理；2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
【导学重点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【导学难点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【强基导学】1、判定三角形全等的方法有哪些？判定直角三角形全等的方法呢？2、斜边、直角边定理的内容是什么？3、什么是角平分线？4、点到直线的距离的定义，完成任务1：【自主探学】阅读教材P22【任务1】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？请写出证明过程。
【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到。
几何语言描述角平分线的性质定理：∵∴，完成任务2：【带问自学】阅读教材P23【任务2】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 若PD= PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？请说明理由。
【归纳】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点 。
用几何语言描述角平分线的判定定理：∵∴【互动帮学】例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B 在∠ADC 的平分线上； （2）求证：BD 是∠ABC 的平分线.【知识梳理】1、角平分线的性质定理是 。
2、角平分线的判定定理是 。
【达标评学】1． 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的 距离是： 。
2、如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5， 点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的 距离是： 。
A3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DC＝DE，∠CBD:∠A＝2:1，则∠A的度数为。
【布置作业】教材P26A组1、2题BEADC第3题图。
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角平分线
【学习目标】
1．正确用尺规作图法作一个角的角平分线。
2．熟练掌握角的平分线的性质定理及逆定理。
3．利用角平分线的性质定理和逆定理证明线段或角相等。
【学习过程】
一、知识预备
1．角平分线的概念：（静态）把一个角分成两个相等的角的（ ）叫做角的平分线。
2．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离（ ）
回顾当时是怎样得出这条性质的？（同组交流回顾）
3．画出∠ABC 的平分线。
（不写画法，保留作图痕迹）
二、新知探究
（一）角平分线的性质定理
内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言：如图∵PA 是∠BAC 的平分线，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ∴PE=PF
用逻辑推理方法证明（写出已知，求证。
组内交流证明方法，整理证明过程，看哪个组发现的方法多）。
（二）角平分线的判定定理（角平分线的性质定理的逆定理）
内容：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
几何语言：∵ PE ⊥AB ，PF ⊥AC ；PE=PF ∴，PA 是∠BAC 的平分线（点P 在∠BAC 的平分线上）用逻辑推理方法证明（写出已知，求证。
组内交流证明方法，整理证明过程，看哪个组发现的方法多）。
F E
P
C
B
A
（三）角平分线的概念（动态）
内容：角平分线是到角两边的距离相等的所有点的集合
推论：三角形三个角平分线相较于一点，这一点到三边的距离相等，用逻辑推理方法证明（写出已知，求证。
组内交流证明方法，整理证明过程，看哪个组发现的方法多）
三、本节课你学到了什么？（试着总结一下）
①角平分线的定义 动态
静态
②角平分线的性质定理
③角平分线的判定定理
【达标检测】
1．基础题：如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥AO ，ED ⊥BO ，垂足分别是C 、D ，求证：∠EDC=∠ECD 。
2．提升题： 如图：已知△ABC 的角平分线BM 、CN 相较于点P
求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等
【学后反思】
我的收获是： ________________________________________________
我的问题是：
________________________________________________
P N
M C
B A。