光学成像系统的传递函数

1 h( x i ~ xo , yi ~ yo ) 2 λ dod i


p( x , y ) exp{
作变换：
x ~ y ~ x ;y λd i λd i


j 2π [( xi ~ x0 ) x ( yi ~ yo ) y ]} dxxy λd i
h( xi ~ xo , yi ~ yo ) M p( λd i ~ x , λd i ~ y ) exp{ j 2π [( xi ~ x0 ) ~ x ( yi ~ yo ) ~ y ]} d~ xd~ y
1 x'2 y '2 ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 U ( x, y) U1 ( x' , y' ) exp[ jk ] exp[ jk ]dx' dy' jq 0 2f 2q
§ 2. 透镜的傅里叶变换 b.透镜的傅里叶变换特性
2 2 A0 x0 y0 ( x' x0 )2 ( y' y0 )2 U1 ( x' , y' ) t ( x0 , y0 ) exp[ jk exp[ jk ] dx0dy0 jλd 0 0 2( p d ) 2d 0
此时物体的复振幅透过率与衍射光场的复振幅分 布存在傅里叶变换关系，但多了一个二次位相因 子 exp( jk x 2q y ) ，表明具有缩放功能。
2 2
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 a.点扩散函数的定义 当物面元的光振动为单位脉冲即函数时，像 面光场分布函数就称为系统的点扩散函数， 也叫脉冲响应，常用 h(xo,yo；xi,yi)来表示。 b.透镜的点扩散函数 我们研究在相干照明下．一个消像差的正 薄透镜对透明物成实像的情况． 当 Uo ( xo' , y'o ) δ( xo x'o , yo y'o )时 透镜前平面(x,y)处的光场复振幅
在旁轴近似条件下：
t ( x, y ) exp[ j
k ( x 2 y 2 )] 2f
1 1 1 p q f
§2. 透镜的傅里叶变换 b.透镜的傅里叶变换特性 在旁轴近似条件下： 光源s到达物面的光场
2 2 x0 y0 A0 exp[ jk ] 2( p d 0 )
透过物面的光场
U i ( x i , y i ) L{ U o ( xo , yo )} L{
U
o

o
( α , β )δ( xo α , yo β )dαdβ }
U


( α , β ) L{ δ( xo α , yo β )}dαdβ ( α , β )h( x i Mα , y i Mβ )dαdβ
1 h( xo , yo ; xi , yi ) 2 λ d od i
M


p( x , y ) exp{

j 2π [( xi Mx 0 ) x ( yi My o ) y ]} dxdy λd i
di 公式,简化: do
~ xo Mxo ; ~ yo Myo考虑近似线性平移不变性则： 设：
§2. 透镜的傅里叶变换
b.透镜的傅里叶变换特性 考虑光瞳大小的影响：
1 光瞳内 p( x , y ) 0 光瞳外源自考虑透镜的相位 变换因子：
2 2 x ' y ' ' U1 ( x' , y' ) U1 ( x' , y' ) exp[ jk ] 2f
光源s 的共轭面s’上：

U

o
1 M2

~ xo ~ yo U ( , )h( x i ~ xo , yi ~ yo )d~ xo d~ yo o M M
§4.相干照明衍射受限系统的成像规律 2.理想光学成像系统 3.二者之间的关系 ~ (x ~ x ,y ~ y 设： h
i o i
Kλ2 d i2 x i yi U g ( x i , yi ) Uo ( , ) 2 M M M
此时物体的复振幅透过率与衍射光场的复振幅分 布存在准确的傅里叶变换关系
§ 2. 透镜的傅里叶变换
b.透镜的傅里叶变换特性
( f d 0 )( x 2 y 2 ) f ( x0 x y0 y ) ~ U ( x , y ) C' exp{ jk } t ( x0 , y0 ) exp[ jk ] dx0dy0 0 2 [ q( f d 0 ) fd 0 ] q( f d 0 ) fd 0
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 c.衍射受限系统的点扩散函数 将光学系统的出瞳函数替代薄透镜的光瞳函 数，并用出瞳到像面之间的距离替代薄透镜 的像距，则衍射受限系统的点扩散函数为：
h( xi ~ xo , yi ~ yo ) M p( λd i ~ x , λd i ~ y ) exp{ j 2π [( xi ~ x0 ) ~ x ( yi ~ yo ) ~ y ]} d~ xd~ y
物体放在透镜的后方时，可得到同样结果
§ 2. 透镜的傅里叶变换 b.透镜的傅里叶变换特性
( f d 0 )( x 2 y 2 ) f ( x0 x y0 y ) ~ U ( x , y ) C' exp{ jk } t ( x0 , y0 ) exp[ jk ] dx0dy0 0 2 [ q( f d 0 ) fd 0 ] q( f d 0 ) fd 0
2 2 x0 y0 A0 t ( x0 , y0 ) exp[ jk ] 2( p d 0 )
则：
2 2 A0 x0 y0 ( x' x0 )2 ( y' y0 )2 U1 ( x' , y' ) t ( x0 , y0 ) exp[ jk exp[ jk ] dx0dy0 jλd 0 0 2( p d ) 2d 0
exp( jkd i ) ( xi x) 2 ( yi y ) 2 h( xo , yo ; xi , yi ) dU '1 ( xo , yo ; x , y ) exp[ jk ]dxdy j d i 2d i
2 2 xo yo xi2 yi2 1 2 exp[ jk ] exp[ jk ] do di 2d o 2d i
) 1 ~ ~ h ( x x , y yo ) i o i 2 2 Kλ d i
o
综合可知：
~ U i ( x i , yi ) U g ( x i , yi ) h ( x i , yi )
~ h( xi ~ xo , yi ~ yo ) F { p( λdi x , λdi y )}
2 2 xo yo xi2 yi2 x x y y 1 2 exp[ jk ] exp[ jk ] p ( x, y ) exp{ jk[( i o ) x ( i o ) y ]}dxdy do di 2d o 2d i di do di do

§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 考虑到观察光强,并利用放大率
2.当d0=0时
x x y0 y x2 y2 ~ U ( x , y ) C' exp{ jk } t ( x0 , y0 ) exp( jk 0 dx0dy0 0 2q q
如果令
ξ
x y ;η λq λq
上式可写成：
x2 y2 ~ U ( x , y ) C' exp{ jk } t ( x0 , y0 ) exp[ j 2π( x0 ξ y0η )]dx0dy0 0 2q
( x xo )2 ( y yo )2 1 dU1( xo , yo ; x , y ) exp[ jk ] jλdo 2do
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 由于透镜具有一定大小，引入孔径函数p(x,y) 考虑透镜的相位变换特性,则后平面的复振幅： 透镜后的观察面呈菲涅耳衍射，所以：
M δ( xi ~ x0 , yi ~ yo )
即为理想光学系统的点物成点像定理
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 c.衍射受限系统的点扩散函数 当不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的 衍射限制时的情况。 无论系统多么复杂，均可从系统分析角度， 简化为： 阿贝认为系统 衍射限制主要 由入瞳引起。 瑞利认为系统 衍射限制主要 由出瞳引起。
§ 1. 评定光学成像系统的主要方法 a.星点法 用点光源经过光学成像系统所产生的像斑特 征来评定。 定性评定、主观因素很大 b.分辨率法 用系统能分辨出景物最小尺寸的能力来评定 从定性到定量、信息量较小、 不能全面评价、主观因素较大 c.光学传递函数法 从空域到频域，通过研究光学系统的频域特 性来评价光学系统像质 定量、信息量大、全面评价、客观评价、 计算复杂 计算机技术解决了这一问题
1.当d0=f 时 如果令 ξ
( x x y0 y ) ~ U ( x , y ) C' t ( x0 , y0 ) exp[ jk 0 ] dx0dy0 0 f
x y ;η λf λf
上式可写成：
~ U ( x , y ) C' t ( x0 , y0 ) exp[ j 2π( x0ξ y0η )]dx0dy0 0

一般可定性 地理解： 点扩散函数 是出瞳函数 的傅氏变换
§4.相干照明衍射受限系统的成像规律 a.物平面光场的函数表述：
U ( x o , yo )
U ( α , β )δ( x


o
α , yo β )dαdβ
b.理想光学成像光场与实际光学成像光场的关系 1.实际光学成像系统
x2 y 2 dU1 ' ( xo , yo ; x, y) p( x, y) exp( jk )dU1 ( xo , yo ; x, y) 2f

xi xo yi yo k 1 1 1 2 2 p ( x , y ) exp[ j ( )( x y )] exp{ jk [( ) x ( ) y ]}dxdy 2 di do f di do di do
§2.透镜的傅里叶变换 a.透镜的相位变换作用 系统分析： 引入透镜的复振幅透过率函数
' U1 ( x, y ) t( x , y ) U1 ( x , y )
几何光学 波动光学
k ( x 2 y 2 )] 2p k U'1 ( x , y ) A exp( jkq ) exp[ j ( x 2 y 2 )] 2q k 2 1 1 2 则：t ( x, y) exp[ jk (q p) exp[ j 2 ( x y )( p q )] U1 ( x , y ) A exp( jkp ) exp[ j
即为点扩散函数
§3.相干照明衍射受限系统的点扩散函数 当透镜孔径远远大于 此时：
h( xi ~ xo , yi ~ yo ) M

λd i 时，可作近似：
p( λd i ~ x , λd i ~ y ) 1


exp{ j 2π [( xi ~ x0 ) ~ x ( yi ~ yo ) ~ y ]} d~ xx~ y
1 x'2 y '2 ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 U ( x, y) U1 ( x' , y' ) exp[ jk ] exp[ jk ]dx' dy' jq 0 2f 2q
( f d 0 )( x 2 y 2 ) f ( x0 x y0 y ) ~ U ( x , y ) C' exp{ jk } t ( x0 , y0 ) exp[ jk ] dx0dy0 2 [ q( f d0 ) fd 0 ] 0 q( f d 0 ) fd 0