随机过程第三章1-4节

第三章随机过程的线性变换

在通信的和控制领域中，由于有用信号常常被噪声所污染，因而研究信号的传输和处理时，必然要涉及到研究随机噪声通过线性系统时的变换和处理，以便最有效地从噪声背景中提取有用信号。此外，在科学试验中所遇到的各类随机过程往往都与系统相联系。因此，要用统计方法来研究随机过程通过线性系统和非线性系统的变换问题。本章重点讨论随机过程通过线性系统时的统计特征。随机过程的非线性变换仅作简单介绍。

§ 3.1 随机过程变换的基本概念

3.1.1 系统的描述及其分类

系统可以定义为实现某种特性的要求而构成的集合。它可以是很简单的，也可以是很复杂。但从数学观点来看，系统的输出，只不过是系统对输入信号

进行一定数学运算。或者说，系统可以看作是由输入到输出的数学映象。

如果给定函数为系统输入，按照某些特定规则而指定与相对应的，新的函数作为输出，如图3.1所示，则可表示为

图 3.1 系统模型

3.1.1

式中符号表示函数与之间相互对应的变换规则。这个系统就由变换规则来定义。

假定系统输入时一随机过程，则输出必有一随机过程。按照随机过程的概念，它可以看成是所有可能的诸样本函数的集合。而对某一特定的试验结

果所取得的样本函数，可以看成是时间的的确定函数。而当系统的输出信号，即

3.1.2

而只是过程的一个组成部分，它与试验结果相对应，因此，系统对输入信号（过程）的响应和一般的确定性输入信号的相应是相同的。输出过

程的随机性由输入过程的试验结果来表征。

如果所讨论的系统是确定性的，则“”就是一个确定性的变换，而确定性

系统是大家所熟知的，它可以分为线性时不变，非线性时不变，线性时变和非线性时变系统等等。下面简略地讨论什么是确定性变换，什么是随机变换。

假定对两个试验结果和，当

有 3.1.3

则这种系统（变换）称为确定性系统，变换称为确定性变换。

假定对两个试验和，当

有 3.1.4

则这种系统是随机的，变换称为随机变换。

显然这种分类是基于系统末端特性来分的。也可以从描述线性系统的微分方程来考虑分类的方式。如果考虑下列线性微分方程

3.1.5

若方程式中的系统是随机的，则该系统是随机系统，相应的变换也是随机的。但是，本章所涉及的仅仅的仅仅是确定性变换，且只讨论定常线性系统，这意味着式中的系数是常数。

3.1.2 线性系统的概念和基本关系式

线性时不变系统，是常用而又非常重要的一类系统。它不仅在工程实际中应用广泛，在分析方法上已形成了完整的、严密的体系，而且还有一些非线性系统或时变系统在某一限定的范围内与制定的条件下，遵循线性时不变特性的规律。因此，讨论随机信号通过线性时不变系统，具有非常重要的意义。

对一个线性系统，不顾它多么的简单或多么的复杂，笼统的看，它不过是对

各种输入按一定的线性规则产生输出。若是线性系统的输入信号，则输出

可以表示成

3.1.6

式中符号表示与之间的相对应的变换规则，称为线性算子。这个线性系统就由变换规则来定义。线性算子可以表示加法、乘法、微分和积分运算。

因此，在线性时不变系统的输入端加入随机信号，则输出可以看成该系统对进行加法、乘法、微分或积分运算的结果。此时，式（3.1.6）中

则称为对随机信号的线性变换。

线性时不变系统有如下特征：

若下列等式

3.1.7

对任意的；都成立，则称这一特性为线性系统的叠加性。表示线性变换。

若为任一常数，有下列等式成立

3.1.8 则称这一特性为线性系统的比例性。

2.是不变性

若线性系统的输出的输入的依赖关系不随时间的推移而改变，即

3.1.9 则称线性系统为时不变系统。

应该指出的是，以后凡是提到线性系统，若无特殊声明，都是指线性时不变系统。

假定读者已有“信号与系统”方面的基本知识，因此下面直接给出在线性系统讨论中所常用的一些关系式。

线性时不变系统的数学模型是常系数微分线性微分方程，一般形式为

3.1.10

式中是系统的输出函数（或相应），是系统的输入函数，；

为常数。并假定。

运用拉普拉斯变换方法来求解方程式（3.1.10）。先对方程式（3.1.10）两边乘以，在从到进行逐项积分，且利用拉普拉斯变换的性质，可得出

3.1.11

式中参数。且

由式（3.1.11）解出来来，则有

3.1.12

式中

3.1.13

称为系统传递函数，它仅与系统的特性有关。

若系统的输入是平方可积的函数，即

则可表示为傅里叶积分

3.1.14

式中 3.1.15 称为信号的频谱函数。我们认为是下列形式的极限

若线性变换保持联系性，当收敛于时，则

因为

故 3.1.16

类似于式（3.1.14），可得的傅里叶逆变换

3.1.17

由式（3.1.17）和（3.1.16）可得

3.1.18

称是输出的频谱函数，为系统的频谱相应函数。而式（3.1.18）

表明了系统的输出、输入在频谱上的关系。

系统的频率响应和冲激响应时一对傅里叶变换，即

3.1.19

3.1.20

对式（3.1.18）两边取傅里叶反变换，并利用时域卷积定理，则有

3.1.21

式（3.1.21）表明了线性系统的输出是输入和系统冲激响应的卷积。

它是从时域联系输入和输出之间的关系式。

对于物理课实现系统，冲激响应函数应符合条件

=0 当t<0时

这样，线性系统输出可以表示为

3.1.22

或