11.弹性散射

dσ dN 2 微分散射截面： = = f (θ , ϕ ) d Ω Jd Ω dσ 总散射截面：σ t = ∫ ( )d Ω dΩ
4
思路
h2 2 − ∇ ψ + u (r )ψ = Eψ 2µ ( µ是约化质量）
注意隐含条件：在r很大时，粒子不再受到散射势场 的作用， 自由运动，即势能u (r )在r → ∞时下降足 够快，至少比r −1快。（库仑场散射不满足此条 件，应用其他方法） 边界条件：
∞
行为
1 1 jl (kl ) → sin(kl − lπ ) kr 2
r →∞
1 1 e → ∑ (2l + 1)i sin(kl − lπ ) Pl (cos θ ) kr 2 l
ikz
8
ikr 1 1 e ψ (r , θ ) = ∑ (2l + 1)i l sin(kl − lπ ) Pl (cos θ ) + f (θ ) kr 2 r l A 1 =∑ l sin(kl + δ l − lπ )Pl (cos θ ) 2 l kr
a
v
lmax ≤
mvb a = = ka h D
D ≈ 4 .5 E fm
(D =
h = p
h ) 2 mE
10
例如， 例如，对于核子
−13 核子之间的作用力的力程 a ≈ 10 cm ，因此，当 E ≤ 20MeV （低能核子—核子散射），只要考虑 l = 0 和 1 的分波就 行。
光学定理
散射总截面 σ （包括非弹性散射在内）和弹性散射 t 的朝前散射振幅的虚部 Im f (0) 成正比 4π σt = Im f (0) k ∞ 1 4π 由 f (θ ) = ∑ (2l + 1)e iδ sin δ l Pl (cos θ ) σ t = 2 ∑ (2l + 1) sin 2 δ l k l =0 k l =0
方向入射的平面波到沿 f (θ , ϕ ) 方向出射的平面 波之间的跃迁 （2）另一种是将该过程看成是沿Z方向的平面 波到球面出射波之间的跃迁（课本和PPT上）
→ → ' 1 ik •r' 出射波ψ → ( r ) = 3/2 e L k' → → dn ' ( k = k = k )能量守恒 σ (θ ) = Nd Ω
l l l l
Al 1 散射波： ψ l ( r , θ ) → ∑ sin(kl + δ l − lπ )Pl (cos θ ) 2 l kr 利用球贝塞尔函数在 r → ∞ 的渐进 透射平面波按球面波展
r →∞
e
ikz
= ∑ (2l + 1)i jl (kl ) Pl (cos θ )
l l r →∞ ∞ l
定态薛定谔方程 h2 2 − ∇ ψ + u (r )ψ = Eψ 2µ
场，波函数 关于Ｚ轴旋 转对称，即 与φ无关
ψ l (r , θ ) = Rl (r ) Pl (cos θ )
作变换
径向方程化为：
Rl (r ) = ul (r ) / r
d 2ul (r ) l (l + 1) 2µ u (r ) 2 + [k − − ]ul (r ) = 0 2 2 2 dr r h
的自旋都为零。考虑 α − O 碰 θ 撞。在质心系中的图如右所示。 α 在 方向测得粒子（无论 是 ，或是氧原子核）的散射微 2 2 分截面为
σ θ = f (θ ) + f (π − θ )
16
α−α 散射
α 粒子（自旋为0）完全相同，当探测器 D 1中测得一个 由于两个 粒子时（ D2中测得另一个 α 粒子），无法判断它是两个 粒子中 的哪一个，都对散射振幅有贡献。因此沿θ 方向的散射振幅为
∗ = f (θ ) + f (π − θ ) + 2 Re f (θ ) f (π − θ ) 2
最后一项是干涉项，由于这一项的存在，全同粒子与不同 粒子的散射角分布有不同的特点。
17
例如，在θ
=
π
2
处
全同粒子散射 不同粒子散射
σ (θ ) = 4 f (π / 2) σ (θ ) = 2 f (π / 2)
2
∞
2
∫ ru ( r ) sin( Kr ) dr
0
求散射振幅 f (θ )
2µ f (θ ) = − ru ( r ) sin( Kr ) dr 2 ∫ Kh 0
∞
波恩近似适用范围
波恩近似能否成立取决于能否把 u ( r )看作微扰， 看作微扰，它适用于高 能散射， 能散射，但对低能散射要具体分析。（ 但对低能散射要具体分析。（具体讨论见曾书第三版卷一 。（具体讨论见曾书第三版卷一 687页，汪书342页是个很好的例子） 页是个很好的例子）
1911年卢瑟福用α粒子散射实验确立了原子的有核模型 1914年弗兰克和赫兹的电子与汞原子的碰撞 实验证实了玻尔的定态假设 1939年哈恩和斯特拉斯曼用中子轰击铀核发现 核裂变现象 1967年弗里德曼、肯德尔和泰勒的高能电子-质子的深度非弹 2 性散射实验，证实了核子中夸克的存在
散射（碰撞）问题的分类：
f (θ ) + f (π − θ )
（这样构成的出射波函数对于两个 粒子交换是对称 的） 因此微分散射截面为
σ θ = f (θ ) + f (π − θ )
2 2
2 2
= f (θ ) + f (π − θ ) + f ∗ (θ ) f (π − θ ) + f (θ ) f ∗ (π − θ )
ψ （r , θ , ϕ） = R(r )Ylm (θ , ϕ )
R(r ) =
u (r ) r u (0) = 0
5
d 2u u 2 + [2 ( E − u ( r )) − l ( l + 1) / r ]u = 0 2 2 dr h
入射粒子波函数
出射波函数
ψ = Ae ikz
dσ 2 = f (θ , ϕ ) dΩ 散射理论在于研究波函数在 r → ∞ 时的渐进行为， 时的渐进行为，它 与入射粒子能量， 与入射粒子能量，入射粒子的相互作用有关
2 2
还可以看出，全同粒子散射截面（在质心系中）对 π θ = 于 2 总是对称的，因为
σ(
π
2
−γ) = f (
π
2
−γ)+ f (
π
2
+γ) =σ(
π
2
+γ)
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e − e 散射
电子组成的体系，自旋有两种状态：即单态（Ｓ＝０）与三重态（Ｓ ＝１），前者是反对称自旋态，后者是对称自旋态。因此若两个电子 处于Ｓ＝０态，空间波函数应对称，散射振幅表为
（跃迁理论） 跃迁理论）
H k 'k ' =
4π ru (r ) sin( Kr )dr 3 ∫ KL 0
∞
( K = 2k sin(θ / 2))
14
4µ k dn = 2 3 3 K Lh
∞
2
∫ ru (r ) sin( Kr )dr
0
dΩwenku.baidu.com
计算微分散射截面 σ θ
dn 4µ σθ = = 2 4 Nd Ω K h
→ 1 i→ k •r 入射波 ψ → ( r ) = 3/2 e k L
这里我们补充方法（1）
→
→
13
第一步：计算入射粒子流强度
N=
hk
µ
ψ
2
→
k
hk = 3 µL
第二步：计算单位时间内散射到 d Ω 的粒子数dn θ 方向
2 2π (0) ' dn = w = ρ ( Ek ' ) H k ' k h 3 L ρ ( Ek ' (0) ) = µ kd Ω 3 2 (2π ) h
15
全同粒子的散射
全同粒子的碰撞，由于波函数的交换对称性，将出现一些很 有趣的特征，这是一种完全的量子效应。为突出全同粒子散射的 特点，先讨论一下无自旋的不同的粒子的碰撞，然后讨论无自旋 的两个全同粒子的碰撞最后讨论自旋为1/2的粒子的碰撞。
α 粒子与氧原子核的碰撞
α粒子与氧原子核Ｏ（指 16 O ）
l
1 ∞ 1 ∞ iδ l f (0) = ∑ (2l + 1) e sin δ l Im f (0) = ∑ (2l + 1) sin 2 δ l k l =0 k l =0 4π 4π Im f (0) 因此σ t = 2 ∑ (2l + 1) sin 2 δ l = σ t = k l =0 k
7
d 2ul (r ) 2 r → ∞时，方程简化为 k ul (r ) = 0 + 2 dr 令A = kα Al 1 1 ul (r ) = al sin(kl + α l ) = sin(kl + δ l − lπ ) δ = α + lπ k 2 2 Al 1 r →∞ Rl (r ) → sin(kl + δ l − lπ ) kr 2
（1）弹性散射：散射前后入射粒子与靶粒子只 有动量和能量交换，粒子内部状态不发生改变 （2）非弹性散射：粒子内部组成没有变，但内 部状态发生变化（如靶原子在基态与激发态之 间跃迁） （3）碰撞反应：散射过程中伴随粒子的产生和 湮灭
3
散射问题的处理方法
二体问题 单体问题（质心系）
在理论上计算粒子被散射到（θ，φ）方向单 位立体角的几率是研究散射问题的中心课题
ikr e r →∞ ψ → A[eikz + f (θ , ϕ ) ] r (微分散射截面）
弹性散射 的处理方 法
分波法（中心力场中的低能散射） 波恩近似法（高能散射）
6
分波法
思路：中心力场，散射过程中角动量守恒，将受势能场 作用前后的定态波函数按 l 不同的分波展开，即认为粒 子受势能场作用前后都分别处于各种分波的叠加态中， 讨论势能场对各分波的效应，从而使问题简化，结果发 势场为中心 现这种效应相当于改变了各分波的相位。
弹性散射(scaterring)
散射问题的基本概念和处理方法 全同粒子的散射 n-p散射的例题讲解 低能散射问题一般方法 波恩近似例题选讲
1
研究散射问题的意义：
散射（ 散射（碰撞） 碰撞）的具体情况与粒子本身结构 及它们之间的相互作用性质密切相关， 及它们之间的相互作用性质密切相关，通过散射 结果的分析， 结果的分析，可探知粒子的结构， 可探知粒子的结构，散射实验已成 为近代物理学研究微观粒子相互作用和内部结构 的重要手段
1 电子具有自旋 2 h 。对于两个电子交换，波函数应反对称。两个
[ f (θ ) + f (π − θ )]
反之，对于Ｓ＝１态，散射振幅为
[ f (θ ) − f (π − θ )]
所以微分截面分别为
σ(θ) = f (θ) + f (π −θ) σ(θ) = f (θ) − f (π −θ)
2 2
波恩近似法
入射粒子能量很高，散射势较弱，把相互作用看成微扰
0, u (r , t ) = u (r )
t<0 t≥0
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基本思路：假定入射粒子的能量足够大，可 基本思路 以把它与靶粒子的相互作用势能看成微扰， 即用含时微扰法来求解 f (θ , ϕ )
两种处理方法
（1）将微扰势能所引起的跃迁过程看成是沿Z
一般来说， 一般来说， 越大的分波所描述的粒子，距力心的平均距 l 越大的分波所描述的粒子， 离就愈大， 离就愈大，因而受中心力场的影响就愈小， 因而受中心力场的影响就愈小，即 δ l 愈小， 愈小， 用半经典的图像大致估算一下需要计算多少分波。 用半经典的图像大致估算一下需要计算多少分波。 设相互作用力程为 a ，即只当 r ≤ a时作用力才较显著。 时作用力才较显著。设入 射粒子的速度为 ，瞄准距离为 b ，则角动 ≈ l h ≈ mvb b≤a lmax ≤ mvb 量 。能够受到作用力影响的粒子的 ，即
∞
1 ∞ 得 f (θ ) = ∑ (2l + 1)eiδl sin δ l Pl (cos θ ) k l =0
dσ = f (θ ) dΩ
2
2
4π 总散射截面为 σ t = 2 k
∑ (2l + 1) sin
l =0
δl
中心场散射振幅可归结为散射中各个分波的相 移 δ l 的计算
9
分波法的适用范围：低能散射（具体分析见 曾谨言《量子力学卷1》 v 使用分波法关键是要求相移，那么要 b 计算多少分波呢？
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注意：上述证法是在中心力场散射情况下，更一般的证明见 习题十四章15题证法一 这一关系是一个普遍规律，他的物理解释为：总截面是入射 波减弱的一种度量（ σ t 越大，入射波的减弱越大），而这种 减弱是由于入射波和同方向向前散射波相干涉的结果，于是 朝前散射波的波幅越大，这种相消干涉也越大，减弱越多， 总截面也就越大。
对于Ｓ＝０态 对于Ｓ＝１态
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假设入射电子束及靶电子均为极化，即自旋取向 是无规则分布。统计来说有１／４的概念处于单态， 有３／４的概念处于三重态，因此，散射截面为