如何求两条曲线的公切线

如何求两条曲线的公切线? 已知两抛物线C 1 : y x 2 2x,C 2：y x 2 a , a

取何值时G , C 2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 2 2 思路启迪：先对C i ：y x 2X ,C 2 : y x a 求导数.

解答过程：

函数y x 2 2x 的导数为y ' 2x 2， 2

曲线C i 在点 p( X 1,X 1 2X 1 )处的切线方程为 2

y (X i 2x i ) 2(X i 2)(X X i )，

即 y 2(x 1 1)x x 12

①

2 曲线C i 在点Q (X 2, X 2 a)的切线方程是 y ( x 2 a) 2X 2(X X 2)即 2

y 2X 2X X 2 a ② 若直线I 是过点p 点和Q 点的公切线，则①式和②式都是I 的方程， 故得 1， i a 0 0， 1 -，此时点P 、Q 重合•

X ! 1 X 2, 消去X 2得方程, x 1 x 2 2x 12 2(1 1 2时，解得 2x 1 a) X 1

1 二当时a 2，C 1和C 2有且只有一条公切线， 1 由①式得公切线方程为y X ：