21.2.2公式法(第二课时)

x+
=0,有两个实数根，求m的
7.已知一元二次方程方程(ab-2b)x²+2(b-a)x+2a-ab=0 有两个相等实根，求 的值.
例题6 已知关于x的一元二次方程x²-2kx+ k²-2=0 求证：不论k为何值，方程总有两个不相等wk.baidu.com实数根 证明：Δ =4k²-4（ k²-2） =2k²+8 不论k为何值时，总有2k²≥0，则2k2+8＞0 即：Δ ＞0 ∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根
x+2=0无实数根，
【点评】
一元二次方程根的判别定理的应用2： 根据一元二次方程的根的情况确定方程中参数的值 或取值范围 方程有两个不相等的实数根，则Δ ＞0， 方程有两个相等的实数根 ，则Δ =0， 方程没有实数根，则Δ ＜0， 特别地，方程有两个实数根，则Δ ≥0 值得注意的问题是，一元二次方程的二次项系数中含有 参数时，二次项系数不能为0这个条件不能掉.
（3） 3x2 -
x=2
解：原方程可以化为 3x2 ∴a=3，b= ∴Δ =b²-4ac ，c=-2
x-2=0
( 2 ) 2 4 3 2
=26＞0
∴原方程有两个不相等的实数根.
思考 1.方程ax²+bx+c=0有实根与方程ax²+bx+c=0（a≠0）有实根有 什么不同吗？ 方程ax²+bx+c=0有实根包括三种情况 （1）有唯一实根，此时a=0，b≠0 （2）有两个根，此时a≠0，b²-4ac≥0 （3）有无数个实根，此时a=0，b=0，c=0 方程ax²+bx+c=0（a≠0）有实根只有一种情况 就是有两个实数根，此时a≠0，b²-4ac≥0
例题4 如果关于x的方程k²x²-（2k+1）x+1=0有两个实数根， 求k的取值范围？ 解： ∵方程有两个实数根 ∴ △=（2k+1）2-4k²=4k+1 ≥0 k²≠0
{
∴k≥-
且k≠0
【点评】
一元二次方程有两个实数根，参数的取值范 围满足两个条件，①二次项系数不为0，②Δ ≥0
例题5 已知于x的方程x²（1）求k的取值范围 （2）|-k-2|+
课堂练习
1.关于x的方程x²-2x+m=0有两个实数根， 则 m的取值范围是 m≤1 .
2.方程 2x2 4 3x 6 2 0 的根是（ D
）
A. x1 2, x2 3
B. x1 6, x2 2
C. x1 2 2, x2 2 D. x1 x2
6
3.关于x的一元二次方程 （m-1）x²+x+m²+2m-3=0有一个根为0，试求m的值.
5.若关于x一元二次方程（a-2）x²-2ax+a+1=0没有 实数根.求ax+3＞0的解集.（用含a的式子表示） 解;∵方程没有实数根 ∴ △=4a2-4（a-2）（a+1）=4a+8＜0 a-2≠0 ∴a＜-2 解不等式ax+3＞0 ax ＞-3 ∴ 不等式的解集为:
{
x＜
6.已知方程(m-2)x2取值范围是.
解：将x=0代入方程,
得m²+2m-3=0，
解得m1=1，m2=-3, 又∵m-1≠0，即m≠1. 故m的值为-3.
【点评】 一元二次方程根的判别定理的应用之四： 求二次三项式的最大或最小值
课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？ 1.一元二次方程的根的判别定理及逆定理 Δ ＞0 Δ =0 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等实数根
Δ ＜0
特别地Δ ≥0
方程没有实数根
方程有两个实数根
2.一元二次方程的根的判别定理及逆定理的应用
（1）当Δ =b²-4ac＞0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不 相等的实数根； （2）当Δ =b²-4ac=0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个相等 的实数根；
（3）当Δ =b²-4ac＜0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）没有实数根；
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式 当Δ ≥0时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根
2.方程ax²+bx+c=0有实根与方程ax²+bx+c=0（a≠0）无实根有 什么不同吗？ 方程ax²+bx+c=0无实根包括两种情况 （1）a=0， b=0 ,c≠0 （2）a≠0，b²-4ac＜0 方程ax²+bx+c=0（a≠0）无实根只有一种情况， 此时a≠0，b²-4ac＜0
例2
对于一元二次方程ax²+bx+c=0,根据下列情况判断方程 根的情况： （1）当a,c异号时； （2）当a,c同号时，且满足（a-b）+|b-c|=0时.
【点评】 一元二次方程根的判别定理的应用1：
不解方程判别方程的根的情况.
其步骤是 先将一元二次方程化为一般形式，然后计算Δ 的值 当Δ ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ =0时，方程有两个相等的实数根 ； 当Δ ＜0时，方程没有实数根. 特别地，当Δ ≥0时，方程有两个实数根.
例题3 若关于x的一元二次方程mx2+4x+1=0有两个不相等的 实数根，求m的取值范围 解： ∵方程有两个不相等的实数根 ∴ Δ =16-4 m＞0且m≠0 ∴m＜4且m≠0 【点评】 当二次项系数中含有参数时，方程是一元二次 方程或方程有两个实数根，则注意参数的取值不能 漏掉二次项系数不为0这个隐含条件.
b b 2 4 ac 可写成 x ，这个式子叫做一元二次方程 2a
ax²+bx+c=0（a≠0）的求根公式.
例题分析 例1 不解方程，判别下列各方程的根的情况
（1）x²+x+1=0
解：∵a=1，b=1，c=1 ∴Δ =b²-4ac
=1²-4×1×1
=-3＜0 ∴原方程无实数解
（2）x²-3x+2=0 解：∵a=1，b=-3，c=2 ∴b²-4ac=（-3）²-4×1×2 =1＞0 ∴原方程有两个不相等实数根
第二十一章 一元二次方程
21.2.2 公式法 第二课时
复习与回顾 1.用公式法解下列方程 （1）x2x=0 （2）2x2x+1=0
（3）x2+2
x+10=0
（4）9x2=4(3-x)
2.根据以上方程根的情况，回顾一下一元二次方程根的 判别定理
一元二次方程方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别定理
【点评】
一元二次方程根的判别定理的应用之三：进行有关的证明 Δ ＞0 Δ =0
Δ ＜0 Δ ≥0
方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等实数根
方程没有实数根 方程有两个实数根
练习 1.求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程 x2-mx+m-2=0都有两个不想等的实数根. 解：∵a=1，b=m，c=m-2， ∴△=m2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4， ∵（m-2）2≥0． ∴（m-2）2+4＞0， ∴无论m取任何值，关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0 都有两个不相等的实数根．
2.已知关于x的一元二次方程mx²+nx+p=0,其中m,n同号 且m+n+p=0,求证：方程有两个不相等的实数根.
3.已知a,b,c为△ABC的三边长，求证： 方程 bx²+2(a-c)x-(a+b-c )=0有两个不相等的实数根.
例7
求下列各式的最大值或最小值 （1）-2x2+3x-2 （2） 2x2+3x+1
练一练
1.已知一元二次方程ax²+bx+c=0能用公式法求解， 求a,c所满足的条件
2.已知关于x二次方程（1-2k）x²-2 求k的取值范围
x-1=0有实数根，
3.若关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x²+6=0没有实数根， 求满足条件的最小整数k.
4.若a,b,c为△ABC的三边长，且关于x的方程 a(1+x²)+2bx-c (1-x²)=0的两根相等， 试判断的形状并证明.