抽样调查教案-2简单随机抽样

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第2章 简单随机抽样

简单随机抽样（Simple random sampling /SRS ）是随机抽样的一种。之所以有简单随机抽样的称谓，最初是由于在简单随机抽样中估计总体均值使用的统计量是简单平均数，而且有关理论结果（本章重点）相对比较简单。但简单随机抽样之“简单”的含义决不止如此，是多方面的，其实不简单。首先，简单有“单 纯”的意思，指直接从总体（而不是层之类的子总体）抽取个体（而不是群之类的大单元），而且抽取过程不带任何非随机性色彩。其次，简单随机抽样是最基本的，它是其它概率抽样的核心基础。另外，简单随机抽样相对比较容易实施。 为讨论方便，我们先作如下约定:

除非特别申明，本课程此后所讨论的总体：⑴总是有限具体总体；⑵总是一般与抽样框存在一一对应映射关系的所谓实查总体。而所讨论的单元总是构成抽样总体的抽样单元，抽样单元不总是等同抽样个体，有时抽样单元甚至可能含有几个或更多个体。

本书的公式编号为与教材一致，有所混乱。

§2.1 定义与符号

一、定义与符号

（一）定义

简单随机抽样又称为纯随机抽样。

定义2.1：设有限总体共有N 个单元，一次整批抽取n 个单元，使得每个单元被抽中的概率都相等，任何n 个不同单元的组合（样本）都有相同的概率被抽中，这种抽样方法称为简单随机抽样法，所抽到的样本为简单随机样本。上述抽样就称为不放回简单随机抽样。

定义2.2：（在具体实施过程中，）从总体中逐个等概率抽取单元（每次抽取到尚未入样的任何一个单元的概率都相等），直到抽满n 个为止。如果每次抽中一个单元，然后放回总体，重新抽取。这样一个单元有可能被重复抽中，故又称重复抽样。此时所有可能样本为n N 个（考虑样本单元的顺序），每个样本被抽中的概率为n N 1。

定义2.3 按照从总体的N 个单元中抽取n 个单元的所有可能不同的组合构

造所有可能的n N C 个样本，从n N C 个样本中随机抽取一个样本，使每个样本被抽中的概率都等于n N 1。

事实上，上述三种定义完全等价，而定义2.2在实际中容易实施，定义2.3

却是不操作的，因为n N C 一般很大，列出所有样本显然不易。

定义2.1与定义2.3的等价性是显然的。定义2.2的可行性说明如下：按定义2.2考虑取中有序样本()1,i in Y Y L 的概率，

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()()1!111

11!

i in N n P Y Y N N N n N -=

?=--+L L ，而实际上取中这个样本并不一定需要按序，故抽取包含这个n 个单元的样本的概率为

()!!1

!n N

n N n N C -=。 在传统的数理统计中，随机抽样通常假设总体是抽象（无穷）的，每次抽样

相互独立同分布，总体结构不变，因此与有放回（重复）简单随机抽样一样。但在社会经济调查中（本课程主要讨论对象），简单随机抽样一般指不放回简单随机抽样。

例2.1 设总体有5个单元（1，2，3，4，5），按有放回简单随机抽样的方式抽取容量为2的样本，则所有可能样本为2552=个，如表2.1。

例2.2 上述总体按不放回简单随机抽样方式抽取容量为2的样本，则所有可能样本为1025=C 个，如表2.2。

N ,n 本，也不需要列出。（如书中P26例2.2） （二）样本分布与符号

从总体},,,{21N N Y Y Y Λ=π中逐个不放回抽取n 个抽样单元。假设顺序被抽中的样本单元的号码为n i i i ,,,21Λ（入样号码），则样本为

),,,(21n i i i Y Y Y y Λ=12(,,,)n y y y @L ，称N

n

f =为抽样比（Samplin

g fraction ）。

1. n y y y ,,,21Λ同分布但不相互独立，其共同分布列为：

N

Y y P i 1

}{1==，N i ,,2,1Λ=

(参见概率论与数理统计（刘国祥等）抽球模型)

因此有Y Y N

y E N

i ==

∑1

11

)(，221

1

)(1

)(σ=-=∑Y Y

N y D N

i

。

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2. )(,j i y y j i ≠的联合分布列均同21,y y 的联合分布列：

,0)

1(1},{21??

?

??=≠-===j

i j i N N Y y Y y P j i N j i ,,2,1,Λ=

事实上：当j i ≠时，

},{21j i Y y Y y P ==}|{}{121i j i Y y Y y P Y y P ==?==1

1

1-?

=

N N 。 注：对二维总体也有类似的结论，不过这时候是向量而已。

由于调查的目标就是要估计总体某个标志：总体总量Y ，总体均值Y ，总体中具有某种属性的单元所占比例P ，两总体总量或均值之比R 等，而且需对精度进行计算或推算。因此会涉及到以下指标，见表2.3。

分别称2,s y 为样本均值、样本方差，连同,~y N y ?=r p ,它们都是统计量，代

入观察值可以对相应总体参数进行估计，即y Y

~?=等。估计量方差用)(?V 表示，如)?(Y

V ；标准差用)(?S 表示，即)?()?(Y V Y S =，而对方差估计一般将相应大写改为小写即可，如)?(Y v 表示)?(Y V 的估计量。令222Y

S C =，称其为总体变异系数。

二、抽样方法