余弦函数图像与性质

-2 -
y sinx, x R
x
o

2
3
4
-1
余弦曲线
y 1 o -1
y cosx , x R
2 3
-2
-
x
函数 定义域 值域
y sin x
y cos x
R
R
[ 1,1]
[ 1,1]
当x= 2 2k
观察下面图象： y=sinx (x
R)
], k Z 其值从-1到1
对称性
y 1
观察下面图象： y=sinx (x R)

2

-1
0

2
3
4
5
6
x
对称中心（ k ,0)
对称轴： x k 2
观察下面图象：
y=cosx (x R)
y
1
2

-1
0

2
3
4
5
6
x
对称中心（ k
-1
y=sinx (xR)
, +2k ],kZ 其值从-1增至1 增区间为 [[ +2k ， ] 2 2 2 2 3 3 , +2k 减区间为 [[ +2k ， ] ],kZ 其值从 1减至-1 2 2 2
4.正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性
1-
-
-
( 0,0) ( ,0) (2 ,0) 图象的最低点
( 32, 1)
图象的最高点
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
x
3 ( , 0 ) ( 2 2 ,0)
o
-1 -

3

2

6
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
图象的最低点
( ,1)
2.用几何法如何作出 y sinx, x 0,2
y=sinx (xR) 是奇函数
图像关于原点对称
3. 正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这 一定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
-
x
2 ,4 ,, 2 , 4 ,2k (k Z , k 0) 由此可知，
都是这两个函数的周期。
即2k k Z , k 0 是它的周期，
最小正周期为 2
正弦、余弦函数的相同性质
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR)
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2
3
4
5
6
x
3.正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
时，函数值y取得最大值1；
y 1
2

-1
0

2
3
4
5
6
x
当x= 2k 时，函数值y取得最小值-1 2
y = cosx (xR) 观察下面图象： 当x= 时，函数值y取得最大值1；
y 1
2

-1
0

2
3
4
5
6
x
当x= 2k 时，函数值y取得最小值-1
• 我们已经学习了正弦函数的性质，能不能 类比学习余弦函数的性质呢？
1. 2. 3. 4. 5. 6. 定义域 值域 周期性 单调性 奇偶性 对称性
• 具体有哪些不同呢？
余弦函数的性质
• 我们从下面几个方面考虑：
1. 2. 3. 4. 5. 定义域和值域 周期性 单调性 奇偶性 对称性
1.正弦曲线的定 y 义域和值域 1

3 2
2
x
y= cosx-1，x[0, 2]
有什么性质呢？
函数 定义域 值域 y=cosx-1 R [-1,1]
奇偶性
周期性 单调性 最值
偶函数
当 x 2k 1 , 2k k Z 时，函数是增加 的；当 时，函数是减少 x 2k , 2k 1 k Z 的 当 x 2k k Z 时，最大值为0； 当 x 2k 1 k Z 时，最大值为-2
余弦函数的图象与性质
X
正弦函数的图象
• • • 描点法 几何法 五点法（关键点）
思考： 余弦函数怎么 画呢？
余弦函数的图像
• 描点法
y 1
-2 • 几何法 • 五点法
思考：还有其他的方法吗？
y cosx , x R
2 3
-
o -1
x
提示：由已知到 未知？
作余弦函数 y=cosx (x∈R) 的图象
x = kπ+
(kπ+ (kπ+ π 2
,0) ,0)
2
x = kπ
例子
例 画出函数y= cosx-1，x[0, 2]的简图，并讨论性质：
x
cosx cosx1
y
0 1 0

2
-1 -2
3 2
2 1 0
0 -1
0 -1
y=cosx，x[0, 2]
1
2
还有其他方法吗
o
-1
2
余弦曲线的周期
y
1
6
-
4
-
2
-
-1 -
o
2
-
4
-
6
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同
cos(x 2k ) cos x k Z
y 的函数图象？
1P 1

/ p1
o1
6
M1
-1A
o
-1 -
wenku.baidu.com
6

3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2 2
x
-
-
作法:
-
(1) 等分 (2) 作正弦线
(3) 平移
-
(4) 连线
定义域 xR 值 域 y[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2
1
y=cosx (xR)
y
-4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
3.正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函 π 数？ y cosx cos(x) sin[ ( x)] 2 π sin( x) 2 注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线 π 向左平移 2 个单位长度而得到。余弦函数 的图象叫做余弦曲线。
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
2
余弦函数的图象
小
五点法 1.余弦曲线 正弦函数得出（借助诱导公式） 2.注意与正弦函数的性质对比来理解余弦函数 的性质
结
谢谢！
作业：课本P33 3、5
2π ]的简图 用五点法作y=sinx , x∈[0，
x
0 0
π 2
1
π
0
3π 2
-1
2π
0
sinx
1
Y
.
π 2
. O
-1
. π
3π 2
.
2π
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2
3
4
5
6
x
4.正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x


2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
sinx -1
1
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2

形状完全一样 只是位置不同
正弦曲 线
余弦函数的图象
y
(0,1) 1
3 ( ,0) 2
( 2 ,1) 2 3 4
余弦曲 线
5 6
-4
-3
-2
-
(o ,0) 2 -1

( ,-1)
x
正弦函数的性质

2
, 0)
对称轴：x k
函数 性质
y= sinx
(k∈z)
y= cosx
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性 单调性
x∈ R [-1,1]
x∈ R
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
π
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1
正弦曲线的周期
y
1-
6
-
4
-
2
-
o-1
2
-
4
-
6
-
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
-
sin( x 2k ) sin x k Z
.
X
2π 五点法作y=cosx, x∈[0， ]的简图
x
0 1
π 2
0
π
-1
3π 2
0
2π
1
cos x
1
.
Y
. . π
2
O -1
π
.
. 3π
2
2π
X
y
图象的最高点
1-
( 2 ,1)
与x轴的交点

6
o
-1 -

3

2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
简图作法 (五点作图法) ( y1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
周期为T=2π
奇函数
周期为T=2π 偶函数
在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是增函数 。 在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是减函数 ,
在x∈[2kπ- π , 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3π x∈[2kπ+ ，2 2kπ+ ]上 2 都是减函数.
对称中心 对称轴
(kπ,0) π
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…


2
…
0
1
…
2
…

-1
0
0
y=cosx (xR)
2k , 2k ], k Z 其值从-1到1 ,0], 增区间为 [
减区间为[0, [2k 2k ,]