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运筹学习题

第二章思考题、主要概念及内容图解法、图解法的灵敏度分析

1. 考虑下面的线性规划问题：

max z=2x1+3x2；

约束条件：x1+2x2≤6，

5x1+3x2≤15，

x1，x2≥0．

(1) 画出其可行域．

(2) 当z=6时，画出等值线2x1+3x2=6．

(3) 用图解法求出其最优解以及最优目标函数值．

2. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解．

(1) min f=6x1+4x2；

约束条件：2x1+x2≥1，

3x1+4x2≥3，

x1，x2≥0．

(2) max z=4x1+8x2；

约束条件：2x1+2x2≤10，

-x1+x2≥8，

x1,x2≥0．

(3) max z=3x1-2x2；

约束条件：x1+x2≤1，

2x1+2x2≥4，

x1，x2≥0．

(4) max z=3x1+9x2；

约束条件：x1+3x2≤22，

-x1+x2≤4，

x2≤6，

2x1-5x2≤0，

x1，x2≥0

3. 将下述线性规划问题化成标准形式：

(1) max f=3x1+2x2；

约束条件：9x1+2x2≤30，

3x1+2x2≤13，

2x1+2x2≤9，

x1，x2≥0．

(2) min f=4x1+6x2；

约束条件：3x1-x2≥6，

x1+2x2≤10，

7x1-6x2=4，

x1，x2≥0．

(3) min f=-x1-2x2；

约束条件：3x1+5x2≤70,

-2x1-5x2=50，

-3x1+2x2≥30，

x1≤0，-∞≤x2≤∞．

(提示：可以令x′1=-x1，这样可得x′1≥0．同样可以令x′2-x″2=x2，其中x′2，x″2≥0．可见当x′2≥x″2时，x2≥0；当x′2≤x″2时，x2≤0，即-∞≤x2≤∞．这样原线性规划问题可以化为含有决策变量x′1，x′2，x″2的线性规划问题，这里决策变量x′1，x′2，x″2≥0．)

4. 考虑下面的线性规划问题：

min f=11x1+8x2；

约束条件：10x1+2x2≥20，

3x1+3x2≥18，

4x1+9x2≥36，

x1，x2≥0．

(1) 用图解法求解．

(2) 写出此线性规划问题的标准形式．

(3) 求出此线性规划问题的三个剩余变量的值．

5. 考虑下面的线性规划问题：

max f=2x1+3x2；

约束条件：x1+x2≤10，

2x1+x2≥4，

x1+3x2≤24，

2x1+x2≤16，

x1，x2≥0．

(1) 用图解法求解．

(2) 假定c2值不变，求出使其最优解不变的c1值的变化范围．

(3) 假定c1值不变，求出使其最优解不变的c2值的变化范围．

(4) 当c1值从2变为4，c2值不变时，求出新的最优解．

(5) 当c1值不变，c2值从3变为1时，求出新的最优解．

(6) 当c1值从2变为25，c2值从3变为25时，其最优解是否变化?为什么?

6. 某公司正在制造两种产品，产品Ⅰ和产品Ⅱ，每天的产量分别为30个和120个，利润分别为500元/个和400元/个．公司负责制造的副总经理希望了解是否可以通过改变这两种产品的数量而提高公司的利润．公司各个车间的加工能力和制造单位产品所需的加工工时如表2-4（25页）所示．

(1) 假设生产的全部产品都能销售出去，用图解法确定最优产品组合，即确定使得总利润最大的产品Ⅰ和

产品Ⅱ的每天的产量．

(2) 在(1)所求得的最优产品组合中，在四个车间中哪些车间的能力还有剩余?剩余多少?这在线性规划中称

为剩余变量还是松弛变量?

(3) 四个车间加工能力的对偶价格各为多少?即四个车间的加工能力分别增加一个加工时数时能给公司带来多少额外的利润?

(4) 当产品Ⅰ的利润不变时，产品Ⅱ的利润在什么范围内变化，此最优解不变?当产品Ⅱ的利润不变时，产品Ⅰ的利润在什么范围内变化，此最优解不变?

(5) 当产品Ⅰ的利润从500元/个降为450元/个，而产品Ⅱ的利润从400元/个增加为430元/个时，原来的

最优产品组合是否还是最优产品组合?如有变化，新的最优产品组合是什么?

第四章人力资源的分配问题；生产计划的问题；套裁下料问题；配料问题；投资问题。

1、某锅炉制造厂，要制造一种新型锅炉10台，需要原材料为63.5×4 mm的锅炉钢管，每台锅炉需要不同长度的锅炉钢管数量如表4-12所示．

库存的原材料的长度只有5 500 mm一种规格，问如何下料，才能使总的用料根数最少?需要多少根原材料?

答案：296.667根

2、某快餐店坐落在一个旅游景点中．这个旅游景点远离市区，平时游客不多，而在每个星期六游客猛增．快餐店主要为旅客提供低价位的快餐服务．该快餐店雇佣了两名正式职工，正式职工每天工作8小时．其余工作由临时工来担任，临时工每班工作4个小时．在星期六，该快餐店从上午11时开始营业到

下午10时关门．根据游客就餐情况，在星期六每个营业小时所需职工数(包括正式工和临时工)如表4-13

所示．

已知一名正式职工11点开始上班，工作4个小时后，休息1个小时，而后再工作4个小时；另一名正式职工13点开始上班，工作4个小时后，休息1个小时，而后再工作4个小时．又知临时工每小时的工资为4元．

(1) 在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本最小?

(2) 这时付给临时工的工资总额为多少?一共需要安排多少临时工的班次?请用剩余变量来说明应该安排一些临时工的3小时工作时间的班次，可使得总成本更小．

(3) 如果临时工每班工作时间可以是3小时，也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本最小?这样比(1)能节省多少费用?这时要安排多少临时工班次?

答案：（2）工资总额为320元；一共需要安排80个班次；

（3）此时总成本为264元；需要安排66个临时班次；

3、前进电器厂生产A，B，C三种产品，有关资料如表4-14所示．

(1) 在资源限量及市场容量允许的条件下，如何安排生产使获利最多?

(2) 说明A，B，C三种产品的市场容量的对偶价格以及材料、台时的对偶价格的含义，并对其进行灵敏度分析．如要开拓市场应当首先开拓哪种产品的市场?如要增加资源，则应在什么价位上增加机器台时数和材料数量?