高中数学-定积分的概念PPT课件

[a, b]内运动的距离s为
v
v = v(t)
s = b v ( t ) d t 。 a
Oa
t
b
20
y
根 据 定 积 分 的 定 义 右 边 图 形 的 面 积 为
S=
1
f(x)dx=
1x2dx=1
0
0
3
v
S1 S2
2
vt () S 3 S4
t2 2
f(x)=x2
S=1 3
Sj
O
1
x
Sn
根 据 定 积 分 的 定 义 左 边 图 形 的 面 积 为
aa c
Oa
bx
特 别 地 ， 当 a = b 时 ， 有 b f ( x ) d x = 0 。 a
23
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲
边梯形位于 x 轴的下方，
积 分 a b f ( x ) d x 在 几 何 上 表 示 y y=-f (x)
上述曲边梯形面积的负值。
b
S=a[-f(x)]dx
b
S=a[-f(x)]dx
=-
b
f
(x)dx．，
a
Oa
bx
bc b
a f ( x ) d x == -a S f ( x ) d x c f ( x
Βιβλιοθήκη Baidu b f ( x ) d x == -c S f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
b
a
(3) f(x)dx = - f (x)dx
a
b
22
(2)定积分的几何意义：
当 f ( x ) 0 时 ， 积 分 b f ( x ) d 在 几 何 x 上 表 示 由 y = f ( x ) 、 a
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f (x)
b f ( x ) d x = c f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
x 这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作 a b f ( x ) d x ， 即 即 a b abf f( (x x) )d d x x= l = ln0 i m i = n 1 i= n1f i b( - ni ) a D x fi m 。 (xi)
17
定积分的定义： 即 abf(x)dx=lni m i= n1b- naf(xi)
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。
y= f(x)
a
bx
18
积分上限
x b
n
af(x )d= x I= l i0i= m 1f(i)D x i
aa c
y=f (x)
24
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的
面积?
y
y=f (x)
b
b
S=S1-S2=af(x)dx-ag(x)dx
S1
b
=y = a
fg((xx))dx
b
S2 =
g(x)dx
a
O aa
bx
25
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf( x )dx =ka f(x)dx
14
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
15
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a ,x 1 ,x 1 ,x 2 ,x i - 1 ,x i,,x n - 1 ,b ,
每个小区间宽度⊿x = b - a
被
积分下限
积
函
数
被
积
积
分
表
变
达
量
式
19
定积分的定义： 即 abf(x)dx=lni m i= n1b- naf(xi)
按定积分的定义，有
(1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为
S = b f ( x ) d x ； a
(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间
f (xi)Dx
Oa
xi xi xi+1 Dx
bx
16
一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:
x x 小 分矩 割-形 --近面 似积 代和 替S -= --i= -n 1 求f和(-i-)-D --x -取= 极i= n 1 限f得(到i)解b 决- n .a
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
1.5.3 定积分的概念
1
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
4
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
5
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
6
7
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
8
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
9
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
10
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
11
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
12
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
13
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
S=
1
v(t)dt=
1(-t22)dt=5
0
0
3
O
1
t
123 j n 1
21
nnn n n
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
b f ( x ) d x = b f ( t ) d t = b f ( u ) d u 。
aaa
x （ 2 ） 定 义 中 区 间 的 分 法 和 i的 取 法 是 任 意 的 .
性质2.
b
b
b
a[f(x)g(x)]dx=a f(x)dxag(x)dx
n
(2)取近似求和:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用
高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积
y
f(xi)Dx近似之。
y=f(x)
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值：S n f (xi )Dx i=1 (3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
n
S =lim n i=1