油气层渗流力学第三章1

r1
r re
Pe dp
P
区间内压力分布规律为：
q re 1 dr 积分： P 2h r Kr
Pe
q 2K2h
ln
re r
产量为：
Pe dp q [ r1 1 dr re 1 dr]
Pwf
2h rw K1r
r1 K2r
积分：
q 2K2h(Pe Pwf ) ( K2 ln r1 ln re )
油气层渗流力学
第三章 单相液体稳定渗流理论
主要内容
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解 §3.2 井的不完善性对渗流的影响 §3.3 油井的稳定试井 §3.4 井间干扰现象和势的叠加 §3.5 势叠加原理的典型应用 §3.6 考虑边界效应的镜像反映法 §3.7 等值渗流阻力法 §3.8 复变函数理论在平面渗流问题中的
● 产量公式可写为：q Pe Pwf Ru
ln re
其中Ru
rw
2Kh
径向流渗流阻力。
为平面
①要增加产量，可采用增大生产压差 Pe Pwf 或减小渗流 阻力 Ru 的方法即：
★提高地层压力Pe（通常难于做到）或降低井底压力Pwf ，
放大压差；
★改善地层渗透率可提高产量，如油井压裂、酸化等；
和流量 q 与位置坐标 x 无关，为
dP
常数；
dx
●流过 [0, x] 渗流 段的渗流阻
v
力为： x 。
KBh
o
♂解析式、渗流场图
x
4. 单向渗流的渗流场图（水动力场图）
◆ 渗流场图：由一组等压线和 y
一组流线按一定规则构成的图形。
等压线
◆等压线：渗流场中压力相同 点的连线。
◆等压面：渗流场中压力相同 的空间点组成的面。
应用 §3.9 平面渗流场的保角变换求解方法
单相液体稳定渗流理论
◆单相流动：只有一种液体的流动叫单相流动。 多相流动：有两种或两种以上液体同时流动，叫两相或
多相流动。
◆稳定渗流：渗流的运动要素 P、 v 等只是空间坐标的函
数，与时间 t 无关。
不稳定渗流：渗流的运动要素不仅是空间坐标的函数， 也是时间的函数。即： P f1(x, y, z,t)
2rw
Pwf
re
Pe
球面径向渗流模型
▲压力分布：
P
Pe
Pe Pwf rw1 re1
(r 1 re1)
▲产量公式：
q
2K (Pe Pwf ) (rw1 re1)
▲研究空间一点：
q
4K (Pe Pwf ) (rw1 re1)
例3-2 在一水平均质等厚圆形地层中心有一口完善井，地层边缘有充 足的液源供给，地层由单相不可压缩液体饱和且按达西定律渗流。已知：
r2 e
2
rw2
[ re2
2
rw2
Pe
Pe Pwf ln re
( rw2 2
ln
re rw
1 4
(re2
rw2
))]
rw
由于：rw re 所以：re2 rw2 re2 ,
上式简化整理得：
rw2 re 2
0
P
Pe
1 2
Pe Pwf ln re
rw
对单向流：
P Pe PBi 2
5. 液体质点移动规律 在现场实际中，有时需要了解液体质点从甲地运移到乙地
K1 rw
r1
方法Ⅲ：由等值渗流阻力法求。
rw r r1 区间内压力分布规律为：
P Pwf q Ru
P
Pwf
q ln 2K1h
r rw
re
K1
K2
Pwf
r1
P1
Pe r
r1 r re 区间内压力分布规律为：渗透率突变的圆形地层
Pe P q Ru
P
Pe
q 2K2h
ln
re r
产量为： Pe Pwf q (Ru1 Ru2 ) ln r1 ln re
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
二、平面径向渗流
1. 数学模型
d 2P 1 dP 0 dr 2 r dr
P rrw Pwf （井底处） Pe P rre Pe （供给边界）
re
h
2rw K
Pe Pwf 平面径向渗流模型
2. 求解数学模型
＊降阶法求解 ＊直接积分法
基本渗流微分方 程变形为：
ln re
rw
3ln 10000 0.1
77.6(m3 / d)
（2）渗流速度和压力梯度计算结果如下表：
r(m）
0.1
渗流速度(cm / s）
0.3
100 0.00003
10000 0.0000003
压力梯度(MPa / m） 0.87
0.00087 0.0000087
例3-3 在刚性水压驱动下单相均质液体向井作平面径向流，地层模型 如图所示，渗透率分区发生突变，求产量公式和压力分布曲线的表达式。
解： 方法Ⅰ：由稳定流连续性关系求。
rw r1
PrrPrrPe1Pwef区区间间22qq内 内K21K压压21hh力力llnn分分rrrrew布布规规律律为为渗：：透K率2突P变wKf 的1 rP1r圆e1 形地Pe层r
由稳定流连续性关系：
q1 q2 q
可求出产量 q 为：
q 2K2h(Pe Pwf )
⊙规则：各相邻两条等压线间 的压差值相等；各相邻两条流线间 通过的流量相等。
流线
o
Lx
单向渗流渗流场图
★等间距的水平线和 垂线构成的均匀网格
y C1 x C2
任意常数
渗流场图描述渗流规律：直观、生动、具体。
●渗流场图中，流线给出了流体质点的运动轨迹，描述了 流体流向和流速分布规律；
●等压线形象地描绘了能量损耗规律和压力分布规律； ●同一渗流场中，流线密的地方流速大，等压线密的地方 压力变化急剧（压力梯度大）。
v f2(x, y, z,t) 刚性水压驱动； 忽略油水性质的差别。
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
▲典型解：指三种简化的典型渗流方式下的解。
单向流
渗
流 方
平面径向流
式
球面径向流
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
一、单向渗流（平面单向流）
1. 数学模型
d 2P dx2
0
P x0 Pe（供给边界）
百分数。 解：
由压力分布公式
Pe P
ln re r
Pe Pwf ln re
P
Pe
Pe Pwf ln re
ln re r
得：
rw
则计算结果如表所示：
rw
r(米）
Pe P Pe Pwf
0.1 1 10 100 1 0.8 0.6 0.4
1000 10000
0.2
0
从1米至0.1米处的压力损耗与从一万米至一千米处的压 力损耗相等，同为20﹪，说明能量损耗主要集中在井底附近。
ln
re )rdr r
rw
P
r2 e
2 rw2
(
re rw
Perdr
Pe Pwf ln re
re r ln re dr)
rw
r
rw
P 2 [ re2 rw2
r2 e
rw2
2
Pe
Pe Pwf ln re
r2 ( ln
2
re r
re rw
re r 2 d ln re )]
2 rw
r
rw
P
1 d (r dP ) 0 积分 r dr dr
再积分
r
dP dr
c1
P c1 ln r c2 ①
代入边界条件得：
Pe c1 ln re c2 ② Pwf c1 ln rw c2 ③
②-③
c1
Pe Pwf ln re
rw
②-①或①-③并代
入边界条件 c1
P Pe
Pe Pwf ln re
Pe
度 ，若在 r1（地层中某点）到 re 之间服从线性渗流规律，
rw到 r1 之间服从非线性渗流规律
dp Av Bv 2 dr
，其中A、B
为常数，试推出地层中压力分布的表达式。
re Pwf r1
Pe r
Pe
2. 如图所示，地层渗透率与井距 r 成线性规律变化。在
井底 rw处，k kw, 在供给边界 re处，k ke , 且井底压力Pwf ，
和流线越密集，渗流速度和压力
梯度也越大。
平面径向流渗流场图
等压线：一组与井轴同心的同心圆。 r C1
流线：以井为中心的径向线。
C2
任意常数
例3-1 圆形均质等厚地层中为单相液体稳定渗流，中心
一口井井半径rw 0.1 米，供给半径re 10000 米，试计算从
供给边缘到距井1000、100、10、1米处的能量（压力）损耗
(L
x)
c2 Pe
单向渗流压力 分布公式
渗流速度： v K dP K Pe PBi
dx L
流量：
q Av KBh(Pe PBi )
L
3. 结果分析
●压力沿 x 方向线性分布，压
P Pe
力梯度为常数，说明单位长度上的
能量损耗为定值；
PBi
●单向稳定渗流时，流速 v
o
Lx
单向渗流压力分布曲线
re 10000, rw 0.1, Pe 10MPa, Pwf 9MPa, K 0.5m2,
3mPa s, h 10m。试求： （1）井产量；（2）离井轴线0.1、
100、10000米处的渗流速度和压力梯度值。
解： （1）由产量公式得：
q 2Kh(Pe Pwf ) 2 0.510100 (10 9) 10 898.15(cm3 / s)
需要的时间。
由渗流速度：
v u dr q
r0
dt 2rh
分离变量积分 (0, r0 ) (t, r) ： o
r
t
h
q
(r02
r2
)
质点扫过的孔隙体积 q
M
r
对单向流： t A x
q
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
三、球面径向渗流
▲数学模型
d 2P dr 2
2 r
dP dr
0
P rrw Pwf P rre Pe
P xL PB（i 排液道）
供给边界
Pe
K
排液道
PBi
h
L 单向渗流模型
B
A Bh x
2. 求解数学模型
渗流微分 方程积分
dP dx
c1
再分离变 量积分
P c1x c2
代入边界条件
c2 Pe
积分常数为：
c1
Pe
PBi L
或：
PBi c1L c2
P
Pe
Pe
PBi L
x
P
PBi
Pe
PBi L
( K2 ln r1 ln re )
K1 rw
r1
方法Ⅱ：由达西定律微分形式积分求。
K dP q
v
dr
2rh
分离变量积分得：
re
rw
r
r1
P
区间内压力分布规律为：
q r 1
dp
dr
Pwf
2h rw Kr
K2
K1 Pwf r1
P1
Pe r
积分：
P
Pwf
q ln 2K1h
r rw
渗透率突变的圆形地层
Pe Pwf
q ( rw
2K1h
r1 )
2K2h
整理得：
q
2K 2 h( Pe ( K2 ln r1
Pwf ) ln re
)
K1 rw
r1
1. 刚性水压驱动的均质水平圆形地层中心一口生产井，
油井以定产量 q 生产，已知井半径rw ，供给边界半径re ，井
底压力 Pwf ，边界压力 ，地层厚度 h ，渗透率 k ，原油粘
ln
re r
rw
P Pwf
Pe Pwf ln re
ln
r rw
rw
平面径向流 压力分布
公式
压力梯度：dP c1 Pe Pwf 1 dr r ln re r rw
平面径向流 产量公式
渗流速度：
v
K
dP dr
K
Pe Pwf ln re
1 r
（裘比公式）
rw
产量公式： q Av 2rh v
★降低原油粘度 可提高产量，如热力采油等；
★供给半径 re 和油井半径rw 均在对数内，其变化对产量 q 影响较小。
②实际应用时，产量公式中各物理量可如下确定：
★ Pwf 可以实测；
2a
★ Pe 用目前地层压力代替； L
★ re 一般根据实际井网形状
A
确定，如图所示则：
→泄油面积： A 2aL
q 2Kh(Pe Pwf ) ln re
rw
又由产量公式变形：Pe Pwf q 代入压力分布公式得： ln re 2Kh
rw
P
Pe
q 2Kh
ln
re r
或
P
Pwf
q ln 2Kh
r rw
3. 结果分析
P ●压力分布公式表
明：压力与坐标 r 呈对
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数关系，从整个地层看 Pe
P
，地层各点压力分布是
田动态分析的一个重要参数。
P PdA
A
其中： A (re2 rw2 )
dA 2rdr
P Pe
Pe Pwf ln re
ln
re r
rw
re
dr
Pwf
P r
Pe
A、dA
面积加权平均示意图
2 re Pr dr
P
rw
(re2 rw2 )
P 2
r2 e
rw2
re rw
(Pe
Pe Pwf ln re
在井网中确定油井泄油 面积方法示意图
→将 A 换算成等值的圆面积：
A ——泄油面积
A re2
→由此得供给半径：re
A
有时可取井距之半：
re a
4. 平均地层压力
◆平均地层压力：假想边界封闭，油井关井，整个地层中 的压力达到平衡后，这时地层中任一点的压力称为平均地层压
力 P 。平均地层压力反映了整个地层的能量大小，是进行油
Pwf
此对数曲线绕井轴旋转
构成的曲面，此曲面形 似漏斗，习惯称为“压 降漏斗”。
o
r
r
re
平面径向流压力分布曲线
● dP , v 1 表明在井底附近，渗流截面积减小，渗流速 dr r
度大，压力梯度大，能量损耗也越大；
等压线
●平面径向流的渗流场图，
可以直观地反映出平面径向流的
流线
渗流规律：越靠近井壁，等压线