最后冲刺系列：解析几何专题系列一圆锥曲线的基本量问题

解析几何专题系列一：圆锥曲线的基本量问题［考情分析把握方向］圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高考的命题的热点之一，其特点是用代数的方法研究和解决几何问题，所以它是数形结合思想的典型载体。圆锥曲线的基本量是江苏近几年来高考中的热点问题，在近三年的高考中均有所体现，考查内容如下表所示：

由上表可以看出，在江苏近三年的高考中，主要考察的是圆锥曲线的基本量及其方程（特别是离心率的考查），弱化了直线与圆锥曲线的位置关系，而且又以椭圆与双曲线的性质考查为主。

［备考策略提升信心］

1江苏高考的圆锥曲线的考查方式与其他新课标地区不同，淡化双曲线与抛物线，淡化直线与圆锥曲线的关系，以椭圆为载体的综合问题是考查的重点。

2.新型的圆锥曲线的试题主要呈现以下特点：（1）在曲线的准线、渐近线、离心率上做文章，围绕圆锥曲线的定义、性质、几何量的含义进行解题，主要考查处理有关问题的基本技能、基本方法；（2）椭圆处于更加突出的位置，几乎所有的解答题都会围绕椭圆展开；（3）与圆一起出现，

特别是直线与圆的位置关系，相切的内容更是常考内容。

3.找出题中的等量关系（或不等关系）利用

解

［小题训练激活思维］

1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2= 4x的准线交于

A B两点，A

B = .3,则C的实轴长为—匚

2 2

2.已知双曲线笃与1（a 0,b 0）的右焦点为F,若以F为圆心的圆

a b

x2y26x 5 0与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为——答案：3 5

5

2 2

3.设双曲线・匕1的左、右焦点分别为F l, F2，点P为双曲线上位于第一象限

4 5

内一点，且VPF1F2的面积为6，则点P的坐标为色-勺,2

5

提示：注重方法的选择

2 2

4.（2012苏北四市元月）已知椭圆的方程为笃召1（a b 0），过椭圆的右焦

a b

2 2

5.已知R、F2分别是椭圆令乞1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则

8 4

|PF

PF

PF2

|的取值范围是___________ .答案：［02、2 2］

提示：整体消元；或焦半径公式（文科学生适当掌握一些焦半径（椭圆）知识

会有帮助）

2 2

6.设P为双曲线$ y? 1（a 0,b 0）上除顶点外的的任意一点，F1 , F2分别为左右

a b

a,b,c表示关系式中的量，再代入求

点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P,Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若PQM为正三角形，则椭圆的离心率为 _____________________ —

3

点，F1PF2内切圆交实轴于点M则F I M F2M值为________________ .b3 4

说明：本题目的在于强化定义的运用

［核心问题聚焦突破］

2 2

如图，在平面直角坐标系xoy中，A,A2,B,B2为椭圆笃占1(a b 0)的四个顶点，

a b

3 2

变式训练：已知B为双曲线占1(a 0,b 0)的左准线

a b

与X轴的交点，点A(0,b)，若满足AP 2A B的点P在双曲

线上，则该双曲线的离心率为_________ . 2

［变式拓展分类解密］

题型一：直接求出a,c，求解e

a,c易求时，可利用率心率公式e -来解决。

a

2

与1(a b 0)过点P(3,1)，其左右焦点分别是

b2

F1,F2，且F1P F2P 6，则椭圆的离心率为 _________________________ ——

4

题型二：构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系(特别是齐二次式)，进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

2 2

例2:已知F1、F2是双曲线务■y2 1 ( a 0,b 0 )的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,

a b

若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是__________________

c

解：如图，设MF1的中点为P，贝U P的横坐标为一，由焦半径公式PF1 ex p a ,

2

2

即c c c a，得c 2 c 2 0，解得

a 2 a a

e - 1 3 ( 1 、3 舍去)

a

题型三：采用离心率的定义以及椭圆的定义(或统一定义)求解

例3： ( 1)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点

P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是____________ 。

F为其右焦点，直线AB?与直线BF相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段0T的中点，则该椭圆的离心率

为 e 2J 5

例1:已知圆锥曲线的标准方程或

2

(2012扬州期末)已知椭圆笃

a

若过

F i 且垂直于x 轴的弦的长等于点F i 到l i 的距离，贝卩椭圆的离心

率是 解：如图所示，AB 是过F i 且垂直于x 轴的弦，••• AD l i 于D ，二AD 题型四：建立a,c 不等关系求解离心率的范围

2 2

例4： (i )若双曲线笃 每i (a > 0,b > 0) 上横坐标为竺的点到右焦点的距离 a b

2

大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 _______________________

2 2

解析：由题意可知(3a -)e (3a -)即3e i 3丄解得e 2

2 c 2 c 2

2 e

利用圆锥曲线相关性质建立a,c 不等关系求解.

2 2

(2)双曲线笃 岭i (a >0,b >0)的两个焦点为F i 、F 2,若P 为其上一点，且 a b |PF i |=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 _________________________________ 分析：求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦 点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？

解析：T |PF i |=2|PF 2|, |PF i |?|PF 2|=|PF 2|=2a , |PF 2| c a 即2a c a3a c

所以双曲线离心率的取值范围为i e 3

点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论(双曲线上任 一点到其对应焦点的距离不小于c a )则可建立不等关系使问题迎刃而解

解: e

2c

a 2a

2c

2c

i

2 i

PF i PF

2 2 2c 2c ,2 i

2

(2)设椭圆X 2

a 2

当i (a

b

0,b 0) 的右焦点为F i ，右准线为l i ,

为F i 到准线11的距离，根据椭圆的第二定义,

i

AF i 2 AB 丄 |AD | AD 2

-y