最新线性代数练习题二(矩阵)

线性代数练习题二（矩阵）

1

一、 填空题

2

1、设A 是m n ⨯阶矩阵，B 是s m ⨯阶矩阵，则T T A B 是 阶

3 矩阵.

4 2、设A B ,均为m n ⨯阶矩阵，则AB BA =的充要条件

5 是 .

6 3、设A B ,均为n 阶矩阵，则AB 不可逆的充要条件

7 是 .

8 4、设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则由A B ≠≠0,0可推出

9

O

A

B O = ；O A B O -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

1

. 10

5、 设A B C ,,均为n 阶方阵，且A AB C ≠=0,，则B = 11

6、 设A B ,为同阶方阵，则A B A AB B +-++=222()(2)

12 7、设A 为5阶方阵，且A =3，则A -=1 ；A =2 ；A *= .

13

8、设A 为3阶方阵，且A =

1

2

，则A A -*-=132 . 14

二、 选择题

15 1、设A B ,均为n 阶矩阵，且A AB +=0，则（ ）

16

A A

B E B

C A E B

D A

E B =+==+==+=000000

或和17 2、设矩阵A B A O A ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

1

2，其中A A 12,都是方阵，若A 可逆，则下18 列结论成立的是（ ）

19

A A A

B A A C

A A D

A A 12211212,,可逆不可逆可逆不可逆与可逆性不定与均可逆

20

3、若A B C ,,均为同阶方阵，且A 可逆，则下列结论成立的是

21 （ ）

22

A A

B A

C B C B AB CB A C

C AB O B O

D BC O B O

========若则若则若则若则

23

4、若A 是（ ）矩阵，则A 必是方阵

24

A B C

n D 对称矩阵可逆矩阵

阶矩阵的转置矩阵

线性方程组的系数矩阵

25

5、设A 是非奇异对称矩阵，则（ ）仍是对称矩阵

26 T

T A

A B

A C

A D

AA -1

3

27

6、若A 为n 阶方阵，且A a =≠0，则A *=（ ）

28

n n A a B a C

a D a --1

1

29 三、 计算题

30

1、设A ⎛⎫ ⎪--

⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭

1111111111111111，求n A . 31

2、设A B C ⎛⎫

--⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪

⎝⎭4113021,25,0424234，求T

ABC (). 32

3、解矩阵方程A AX E -=2，其中A -⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

111011001，E 为单位矩

33

阵.

34 4、设4阶方阵A r r r B r r r ==234234(,,,),(,,,)αβ，其中

35 r r r 234,,,,αβ均为4维列向量，且行列式A a B b ==,，求行列式

36 A B +的值.

37 5、若A B ,均为n 阶方阵，且A B ==-2,3，求行列式A B *-13的

38 值.

39

6、设A 为n 阶实方阵，且T AA E A ==-,1，求行列式E A +的

40 值.

41 四、 证明题

42

1、已知矩阵A a

b c a b c ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

22

2111，证明： 43

T AA b a c a c b =---222()()(). 44 （提示：利用范德蒙德行列式）

45 2、设A 为n 阶实方阵，且T AA E =，证明：行列式A =±1.

46 答案：

47 一、1、n s m n A B A B ⨯===1. 2.,, 3.00且可交换或；

48

n O

B A B A

C BA AB A A A

O -----⎛⎫--== ⎪⎝⎭

1111

1

14.(1); 5. 6.7.;

349 A A *==29;818.16

50

二、C

D A C A B C A B C D C 1. 2. 3., 4.,, 5.,,, 6.

51 三、

52

n n n n A E n A E n A A -=⇒==2211.22;2为偶数时，为奇数时，

53

n X a b -⎛⎫

⎛⎫ ⎪=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪

⎝⎭

1021601402. 3.000 4.8() 5.68.02642000

54

四、（略）.

55