1_2复变函数的极限(复变函数)

连续函数的性质：
（1）连续函数的和、差、积、商（分母不为0）是连续函数; （2）连续函数的复合函数是连续函数.
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例6 试证 argz在原点与负实轴上不连续.
arg
z


arctan

2
arctan
y x
y

x


x0
0, y
x 0,
0
y

0

x x 0, y 0
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复变函数的连续性
设 f (z)在z0的邻域内有定义, 且 则称f(z)在z0处连续.
lim
z z0
f (z)
f (z0 )
若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.
定理1.2 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (x) 在 z0 x0 iy0 处连续的充分必要条件是 u( x, y), v( x, y) 都在 ( x0 , y0 ) 点连续.
方法1. 沿 y kx,
kx 2
lim
x0
x2

k2
x2
k

1
:
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
=
1 2
k

1
:
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
=-
1 2
方法2. 沿不同射线 arg z

1
k k2
.
y
0 | z |
0
x
o
注：复变函数无穷小也是指极限为0的变量。
定理1.1（极限计算）
设函数 f z u x, y iv(x, y), A u0 iv0, z0 x0 iy0
lim
z z0
f
z

A

lim
x x0
u x,
y

u0
,
lim
x x0
v x,
y

v0
y y0
y y0
复变函数极限的性质
（1）唯一性 （2）有界性 （3）有理运算法则
（2）w f z 相当于两个实二元函数 u ux, y,v vx, y
讨论一个复变函数的极限和分析性质可借助于实二元函数 中相应的理论.
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2.3 复平函数的极限与连续性
设复变函数w=f(z)在z0的某个去心邻域内 U z0 , 有定义, A是复常数. 若对任意给定的 0,存在 0 ,
都存在惟一确定的复数 w与 z 相对应, 称在 G上确定了一个
单值复变函数，用w=f (z)表示.
G称为函数的定义域，对应于z的所有w的全体称为函数的值域.
复变函数与自变量之间的关系
z x iy
w f (z) u( x, y) iv( x, y),
u u( x, y),v v( x, y)
（2）扇形 0 r 4, 0 ;
2
还是扇形
o
u
（3）双曲线 x2 y2 4;
u 4; 一条直线
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例4 设有函数 w 1 ，试问它把 z 平面上的下列曲线分别映成 w
z 平面上的什么曲线？
1x2 y2 4; (2)x 12 y2 1.
(atb)为连续函数时,
C
:

x y

x y
t a
t
பைடு நூலகம்
t

b

z z(t) x(t) iy(t) (a t b ).
光滑曲线
如果xt , yt 均连续，且 t,[xt ]2 [ yt ]2 0
简单曲线或约当曲线
没有重点或除起点和终点重合外，自身不相交的曲线.
D int(D) ext(D) C
集合D

z0
邻域 C1 边界
P 边界点
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区域 连通的开集 单连通域与多连通域
单连通域
区域D
多连通域
区域D
闭区域 D D D 有界区域和无界区域
M 0,z0 D, z0 M
区域D
z1

z0 邻域 C
z2
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例1 判断下列区域是否有界?
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第一章 复数与复变函数
第二节 复变函数的极限与连续性
作业：P30 18;22(2,4,6,8,10);24；26;30。
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2.1 复平面上的区域
邻域 U z0, z C z z0 U z0, z C 0 z z0
解 (1) z2 ( x2 y2 ) 2xyi; x2 y2 1;
y
(2) arg z ;
3
3
(3) z 1 ;
3
(4) ( x 1)2 y2
x o
( x 1)2 y2 4, x2 y2 1 43
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2.2 复变函数的概念 定义1（复变函数） 设G是复平面上的点集, 若对任何zG,
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映射
由于一个复变函数反映了两对变量u,v和x,y之间的对应关系，
因而无法用同一平面内的几何图形来表示，必须看成是两个
复平面上的点集之间的对应关系.
y
Z z
Gx o
v
w
w
G*
u
o
两个特殊的映射
1 w z 关于实轴的对称映射，而且对应图形是全同的.
2 w z2 将一个幅角为a 的角形域映射为幅角 2a为的角形域
解 x 0, y 0,arctan y
x
y
lim arctan y =
y0
x
lim arctan y =
y0
x

o
x
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例7
映射 w z 1 ，求圆周的 z
z 2 像.
解
x
yi
w x iy x2 y2 x2 y2
使得当 0 | z z0 | 时 , 恒有
f (z) A
成立, 则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记作
lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 ).
zz0
y
v f (z) A
0 | z z0 |
o
z0 x
A
u
o
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注意：因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变函数 的极限问题，复变函数的极限要比实变函数的极限复杂得多， 要求也苛刻的多。
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例5 当 z0 时, 函数
Re z
f (z) z
极限不存在.
解
f (z)
x x yi

x( x yi) x2 y2
,
x2
xy
u x2 y2 ,v x2 y2
解
w

x
1 yi

x2
x
y2

x2
yi y2
,
u

x2
x
y2
,v


x2
y
y2
,
u2

v2

x2
1
y2
,
y
(1) u2 v2 1 . 4
x o
(2) x2 y2 2x, u 1 . 2
v
u o
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关于复变函数的几点说明：
（1）复变函数的定义在形式上与实一元函数的定义几乎完全一致, 但反映试问实质则不同。复变函数反映的是z平面上的点集与 w 平面上点集间的对应关系，而实一元函数反映两个实轴上的 点集间的对应关系，只需用平面上的一条曲线就可以直观地表 示，显然要简单地多。
x iy x yi 5x 3 y i 44 4 4
u 5 x , v 3 y , ( 4u )2 ( 4v )2 x2 y2 4,
4
45
3
u2 v2 1 . 25 9 4
方法小结： 从x, y之间的关系，找u，v之间的关系
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例8 试证 lim 1 ( z z ) 不存在. z0 2i z z
(1) 圆环域: r1 z z0 r2;
(2) 上半平面: Im z 0;
(3) 角形域: 1 arg z 2;
(4) 带形域: a Im z b.
解 (1)有界域
(2)无界域
r2
(3)无界域
r1
z0
(4)无界域
y
o
x
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连续曲线
如果x=x(t),
y=y(t)
U , M z C, z M U , M z C, z M \
内点 z0 D C U z0, D
开集 全体内点构成的集合,内部intD.
边界点 U z0, 中，既有属于D的点，又有不属于D的点.
边界 D 外部 ext(D)
反函数（一一对应、单叶函数）
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例3 在映射 w z2 下，求下列平面点集在w平面上的像：
（1）线段
0r
2,

;
4
（2）扇形 0 r 2, 0 ;
4
y
x o
（3）双曲线 x2 y2 4;
解 （1）线段 0 r 4, ;
2
还是线段
v
1 z2 z 2 解 lim ( )
z0 2i zz zz
1 x2 y2 2 xyi x2 y2 2 xyi
lim (

)
z0 2i
zz
zz

lim
z0
2 xy x2 y2
极限不存在
方法小结： 用二重极限的理论,方法求极限
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同学们辛苦了
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知识回顾 Knowledge Review
z(a )
z(b ) z(a ) z(b )
z(b )
z(a ) z(b )
z(a )
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例2 指出下列不等式所确定的点集, 是否有界? 是否区域?
如果是区域, 单连通的还是多连通的?
(1) Re(z2 ) 1; (3) 1 3;
z
(2) arg z ;
3
(4) z 1 z 1 4