连续型随机变量的分布与例题讲解(优质特享)

连续型随机变量的分布

（一）连续型随机变量及其概率密度函数

1.定义：对于随机变量X 的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x ，有()()x

F x f t dt -∞

=

⎰

，则称X 为连续性随机变量，f(x)称为X

的概率密度函数，简称概率密度。

注：F (x )表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x)的性质：注：f (x )不是概率。

1) f(x )≥0

2) ()1f x dx

3) 21

x 1

221x {x x }

f (x)x

(x )(x )P X

d F F

特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即{}

0.

P X

x （但{X =x }并不一定是不可能事件）

因此 P(a ≤X ≤b)= P(a

4）若f (x )在点x 处连续，则()().F x f x '= 分布函数性质

i) 0≤F(x )≤1；

ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；

ⅲ) 当x 1≤x 2时，F(x 1)≤F(x 2)；（单调性） iv) F(x )是连续函数

注：iv)与离散型随机变量不同，

离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。 例1 设随机变量X 的分布函数为F(x )=A+B arctanx,

求 （1）系数A ，B （2）P(-1

分析：主要是应用分布函数的性质。 解 （1）由F(-∞)=0,F(+∞)=1得

02

12

A B A B ππ⎧-=⎪⎪⎨

⎪+=⎪⎩ 解之，得 12

1A B π⎧

=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

（2）由(1)知F(x )=

11

arctan ,2x π

+

基 本 内 容

备 注

故得P （-1

111

1

arctan1(arctan(1))22

111(

)

4

4

2 (3) f(x)

21()

()(1

)

F x x

x

例2 设随机变量X 的概率密度为3x

k , x 0, f (x)0, x

0,

e

试确定常数

k ，并求其分布函数F(x)和P{X>0.1}.

解：由

f (x)x

1d 得

0f (x)x ()()d f x dx

f x dx

3x

k x k /31,e

d

3.k

3x

3, x 0, f (x)

0, x

0.

e

当0x 时，()00x F x dt -∞

==⎰

当0x

时，0

330

()

031x t x

F x dt e dt e

于是， 3x

1, x 0,

F(x)

0, x

0.e

0.3

{0.1}1{1}1(1)1(1)P X P X F e

0.3

0.7408.e

（二）正态分布

（1）设随机变量X 的概率密度函数为

22

(x )21

f(x),x ,2e μσπσ

--

=

-∞<<+∞

,(0)μσσ>其中为常数，则称X 为服从参数为,μσ的正态分布，记作2~(,).X N μσ其图象为（右图）。其中：μ称为位置参数，(x)f 的图形

关于x μ=对称，σ影响(x)f 的最大值及曲线的形状。分布函数为

基本内容备注

22

(t )x

21(x)t 2F e d μσπσ

--

-∞

=⎰

。

性质：

1.曲线关于x μ=对称，这表明对于任意h 0>有

-h } }.P{X P{X h μμμμ<≤=<≤+ 2.当x μ=时，1

() f() .2f x μπσ

=取到最大值：

（2）标准正态分布

特别地，当0,1μσ==时，称X 服从标准正态分布， 记为~(0,1).X N 相应的概率密度函数和分布函数分别记为

2

2

x t x

22

11

(x) (x)t.22π

e e d ϕΦπ--

-∞

==

⎰

，

易知(x)1(x)ΦΦ-=-。

(x)Φ即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。

例3 设随机变量X~N(0,1)，查表计算：

(1) P(X ≤2.5)；(2) P(X>2.5)；(3) P(|X|<2.5).

解 (1) P(X ≤2.5) =Φ(2.5) =0.993790

(2) P(X>2.5) =1- P(X ≤2.5) =1- Φ(2.5) =0.006210

(3) P(|X|<2.5) =P(-2.5

=2×0.993790-1 =0.987580 引理 若2

X~N(,),μσ则~(0,1).X Z N μ

σ

-=

证 -X Z μ

σ=

的分布函数为

{x}{

x}{x}X P Z P P X μ

μσσ

-≤=≤=≤+22

(t )x

21

t 2e

d μμσσπσ

--

+-∞

=

⎰

，

令

t u μ

σ

-=，得2x

2

1

()2u e

du x Φπ

-

-∞

=

=⎰

，

可知~(0,1).X Z N μ

σ

-=