2.数制及编码

c.1 算术运算
二进制数的加法运算规则为： 0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 二进制数的减法运算规则为： 0-0=0，0-1=1，1-0=1，1-1=0 注意借位 二进制数的乘法运算规则为：
0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1

加法：
+
1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1
低位
高位

小数部分乘2取整。如(0.875)D=(?)B
0.8 7 5 ⅹ 2 1. 7 5 0 0. 7 5 0 ⅹ 2 1. 5 0 0 0. 5 0 0 ⅹ 2 1. 0 0 0 0. 0 0 0 即：（0.875)D = (0.111)B
1
高位
1
1
低位
故： (171.875)D = (10101011.111)B
3.计算机为什么不采用我们熟知的十进制数制，而要采 用二进制数制呢？ 这是因为：
a.二进制只需要两种状态表示数字，容易实现
b.计算机是由电子元器件构成的，二进制在电子元器 件中最容易实现。它只有两个数字，用两种稳定的物理状 态即可表达，而且稳定可靠。如：磁化与为磁化、晶体管 的导通与截至等。而如果采用十进制则须用十种稳定的物 理状态分别表示十个数字，目前尚无具有这种性能的电子 元器件，即使有，计算机电路的实现也肯定是极其复杂 的。所以，计算机电路是数字电路（逻辑电路，门电路， 开关电路）。
进位计数制的四要素： a..数码 数码是某一种进位计数制中采用的所有数字 的集合。 二进制 ： 0、1 八进制 ： 0、1、2、3、4、5、6、7 十六进制 ：0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9、A、B、C、D、E、F 十进制 ： 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
进位计数制的四要素
b. 数位
进位计数制的四要素
数位是指数码在一个数中的位置。如十进制数 （1987.78）D：
1 第四位 9 第三位 8 第二位 7 . 7 8 第一位 第一位 第二位
再如二进制数（1011.11)B ： 1 0 1 1 . 1 1 第四位 第三位 第二位 第一位 第一位 第二位
c. 基数
进位计数制的四要素
b. 二进制数与八进制、十六进制数之间的互相转换
八进制数与二进制数之间的转换
鉴于8=23，故把二进制数转换为八进制数的方法是： 从小数点开始，整数部分从右向左每三位一组，小数部 分从左向右每三位一组，不足部分 用0补足即可。如(10101110101.1101011)B=(?)O
( 010
101 110 101 . 110 101 100)B
a. 整数的表示
整数在计算机中用定点数表示。定点数指小数点在 数中有固定的位置。整数又分为无符号整数和有符号整数。 无符号整数：数的大小是所有二进制位数所表示的数值 的大小。如用一个字节来表示，可表示数值的范围是 : ( 00000000 )B ---- ( 11111111 )B ( 0 )D ---- ( 255 )D ( 0 )H ---- ( FF )H ( 0 )O ---- ( 377 )O 无符号整数可以是8位、16位、 32位和64位。计算机 中的内存储器地址用无符号整数表示，即用无符号整数对 内存进行编址。
整数部分 小数部分
2. 计算机常用数制数值之间的转换 a. 二、八、十六进制数转换为十进制数的规则为：按数码乘以位权
并相加展开。如：

(869.71)D = 8ⅹ102+6ⅹ101+9ⅹ100+7ⅹ10-1+1ⅹ10-2 =(869.71)D
（7251.64）o
=7ⅹ83+2ⅹ82+5ⅹ81+1ⅹ80+6ⅹ8-1+6ⅹ8-2
进位计数制的四要素
进位计数规则 — 逢N进一：
进位计数制的进位规则：对于N进制数制，逢 N进一。
二进制数制，
基数N=2， 故 “逢二进一” 八进制数制， 基数N=8， 故 “逢八进一” 十六进制数制 ，基数N=16，故“逢十六进一” 十进制数制， 基数N=10，故 “逢十进一”
d. 位权
十进制数转换为八进制数与十六进制数 与二进制数转换为十进制数一样，八进 制数整数转换为十进制数整数的规则为：除8 取余，小数部分转换为十进制数小数的规则 为：乘8取整；十六进制数整数转换为十进制 数整数的规则为：除16取余，小数部分转换 为十进制数小数的规则为：乘16取整。
十进制数转换为十六进制数：
c.字(字长)：作为一个整体一次被传送、运算、存储的一组二进制
数，叫做一个“字”(机器字)；该字所包含的二进制位数叫字 长。它是衡量计算机性能的一个重要指标，字长越长，其运算
速度越块，计算精度越高。
5. 二进制数在计算机内的表示 在计算机内部，数据是以二进制数的形 式存储和运算的。计算机内表示的数，称为 “机器数”，分为整数和实数两大类。数的正 负用高位字节的最高位表示，定义为符号位， 用“0”表示正数，用“1”表示负数。如： 二进制数-1101011在机器内表示为： 1 1 1 0 1 0 1 1 符号位
=3584+128+40+1+0.75+0.09375=(3753.84375)D （B12A.1）H =11ⅹ163+1ⅹ162+2ⅹ161+10ⅹ160+1ⅹ16-1
=45056+256+32+10+0.0625=(453540625.)D （1101.11）B =1ⅹ23+1ⅹ22+0ⅹ21+1ⅹ20+1ⅹ2-1+1ⅹ2-2 =8+4+0+1+0.5+0.25=(13.75)D
5 6 5 . 6 5 4 )O
=
(
2
同理，八进制数转化为二进制数则是上述运算过程 的逆运算。
十六进制数与二进制数之间的转换 鉴于16=24，故把二进制数转换为十六进制数的
方法是：从小数点开始，整数部分从右向左每四 位一组，小数部分从左向右每四位一组，不足部 分用0补足即可。如(10111110111.1101101)B=(?)H ( 0101 1111 0111 . 1101 1010) B
数制就是计数法、进位制。它有四个要素：数码、数位、 基数和位权。因为人们已经习惯于使用十进制数，并且因为 二进制数难于书写和记忆，又引进了八进制数和十六进制数， 故计算机常用的有四种进位计数制，即： 二进制（Binary System) 八进制（Octal System) 十六进制（Hexadecimal System) 十进制（Decimal)。 分别缩写为 B 、O、 H、 D （必须大写） 一般用括号加右下角标表示不同进制的数，如二进制数 用（ ）B或（ ）2 表示，十六进制数用（ ）H或 （ ）16表 示，等等。也可以在数字后面加上上述特定的字母来表示该 数的进制，如2EH，表示2E是一个十六进制数，1903D表示 1903是个十进制数。
1.2数制及编码
计算机既可以处理数字和文字信息， 也可以处理图形、声音、图像等信息。计 算机处理的信息称为数据。数据是信息的 具体表示形式，信息是数据有意义的表现。 计算机采用二进制数制，即一切信息在计 算机内部都要转换成计算机能够识别的二 进制数字的表现形式。
1. 计算机常用的数制

1（TRUE）或0（false）表示，例如：真与假、是与否、成立与不成立等等。 在逻辑代数中有3种基本的逻辑关系：逻辑或、逻辑与、逻辑非。其他 复杂的逻辑关系均可由这3种基本逻辑关系组合而成。

或（OR)运算: 又称逻辑加，运算符为“V”或“+”，运算规则为： 0 V 0=0 0 V 1=1 1 V 0=1 1 V 1=1 与（AND)运算: 又称逻辑乘，运算符为“∧”或“ⅹ”，运算规则为： 0 ∧ 0=0 0 ∧1=0 1 ∧ 0=0 1 ∧ 1=1
进位计数制的四要素
在一个数字中，处在某一位上的“1”所表示的 数值的大小，称为该位的位权。对于N进制数，整数 部分第i位的位权为N i-1 ，小数部分第j位的位权为 N-j。 二进制： 23、 22、 21、 20 . 2 -1、2-2、2-3 八进制： 83、 82、 81、 80 . 8-1、 8-2、8-3 十六进制：163、162、 161、 160 . 16-1、16-2 十进制： 103、102、 101、 100. 10-1、10-2
c.二进制的运算规则简单
加法是最基本的运算。乘法是连加，减法是加法的逆运算，除 法是乘法的逆运算。在计算机中除采用加法器外，也直接使用乘法 器。 众所周知，十进制的加法和乘法运算规则的口诀各有100条， 根据交换率去掉重复项，也各有55条。用计算机的电路实现这麽多 运算规则的运算，是非常复杂的。 相比之下，二进制的算术运算规则非常简单，加法和乘法各 仅有四条： 加法： 0 + 0 = 0 乘法： 0 ⅹ 0 = 0 0 + 1 = 1 0 ⅹ 1 = 0 1 + 0 = 1 1 ⅹ 0 = 0 1 + 1 = 10 1 ⅹ 1 = 1 根据交换率去掉重复项，加法仅有3项，乘法仅有2项。
A = B
A < B A > B A <= B A >= B
0(FALSE)
1(TRUE) 0(FALSE) 1(TRUE) 0(FALSE)
A <> B
1(TRUE)
4. 二进制数的常用单位
在计算机内部，所有数据都是用二进制数表示的，为了衡量计算机 中数据的存储量及参加运算的数的大小，我们介绍以下二进制数的常用
( 5 F 7 . D A )H 同理，十六进制数转化为二进制数则是上述 运算过程的逆运算。
=
c. 十进制数转换为二进制数、八进制、十六进制数
十进制数转换为二进制数
[例子：(171.875)D =(？)B]

整数部分除2取余。如:(171)D = (?)B 2 1 7 1 1 2 8 5 1 2 4 2 0 2 2 1 1 2 1 0 0 2 5 1 2 2 0 2 1 1 0 即：(171)D = (10101011)B


非（NOT)运算： 又称逻辑反， 即对每个二进制位的逻辑值取反，运算符 为在每个二进制数字的上方加一横线，运算规则为：
0 = 1 1 = 0
逻辑运算的运算规则表
A B NOT A A AND B A OR B
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
C. 3关系运算
关系运算也就是比较运算（逻辑判断）。运算符为： =、 <、 > 、<=、、>=、、!=(或<>不等于)6种。 如： A=5，B=8 比较运算 则： 比较运算结果（值）
基数是指在某种进位计数制中，每个数 位上所能使用的数码的个数(用N表示）。 二进制： 基数为2， 数码为0—1 八进制： 基数为8， 数码为0—7 十六进制：基数为16， 数码为0—F 十进制： 基数为10， 数码为0—9 对于上述四种进位计数制，基数N分别为： N= 2、8、16、10
单位。
a.位：位是二进制数中的一个数位，可以是“0”或“1”。它是计算 机中数据的最小单位，称为比特（bit）。
b.字节：计算机中，通常将8位二进制数，叫做一个字节（Byte），它
是数据处理和存储容量的基本单位（即：1B=8b ）。比Byte更 大的单位有：KB(千字节)、MB(兆字节)、GB(吉字节)。
1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0
注意逢二进一
即 1110B+1011B=11001B

乘法：
ⅹ
1 0 0 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0
即110Bⅹ1011B=10011010B
c.2 逻辑运算
计算机中的逻辑关系是一种二值逻辑，二值逻辑很容易用二进制的数
( 348 )10 ( 15C )16 348÷16=21„„ c 21÷16=1 „„5 1÷16=0 „„1
十进制数转换为八进制数： ( 348 )10 ( 534 )8 348 ÷8=43„„4 43 ÷8=5 „„3 5 ÷8=0 „„5
d. 四种常用计数制数值的对应关系表
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二进制 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 八进制 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10