9.4多元复合函数的求导法则

2
纯偏导
z 2 z z 2 z f yx ( x , y ) f xy ( x , y ), x y xy y x yx
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
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多元复合函数的求导法则
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多元复合函数的求导法则
三、全微分形式不变性
设函数z f ( u, v ) 具有连续偏导数, 则有 z z 全微分 dz du dv; u v 当u ( x , y ), v ( x , y )时, 则有全微分 z z dz dx dy , x y z vv v z z zu u u z z vu dx dy dx dy xy y u y v v ux u v xy x z z du dv . u v
u v w
t
z z u z v z z u z v z , . x u x v x y u y v y
u x v y
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多元复合函数的求导法则
4. z f [u, v, w)], u ( x, y), v ( x, y), w ( x, y)
xy yx
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多元复合函数的求导法则
多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微
分方程. 偏微分方程是描述自然现象、反映自然 规律的一种重要手段. 例如方程
z 2 z a 2 y x 2 (a是常数)称为波动方程, 它可用来描述各类波的 运动. 又如方程 2 2 z z 2 0 2 x y 称为拉普拉斯(laplace)方程, 它在热传导、流体 运动等问题中有着重要的作用.
通过全微分求所有一阶偏导数,比链 导法则求偏导数有时会显得灵活方便.
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多元复合函数的求导法则
四、高阶偏导数和高阶全微分
函数z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
2 z z 2 f xx ( x , y ), x x x
z z f ( x , y ) 2 yy y y y
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多元复合函数的求导法则
思考题解答
f ( tx , ty , tz ) t k f ( x , y , z )
k f ( tx , ty , tz ) t f ( x, y, z ) 令 u tx, v ty , w tz, 则
f ( u, v , w ) t k f ( x , y , z ), 两边对t求导,得 f u f v f w kt k 1 f ( x , y , z ) u t v t w t f f f t kt k 1 f ( x , y , z ) t x t y t z u v w k t k f ( x , y , z ) kf ( u, v , w ) f f f z) u kf (x u, y v, w x y v w z y z u v w x f f f (C ) x y z kf ( x , y , z ); x y z
z z u z z z u z x u x x y u y y
z
u
x y
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多元复合函数的求导法则
例2. 设 求
ue
x2 y 2 z 2
, z x sin y
2
u u , . x y
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).
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多元复合函数的求导法则
z f [ ( x, y), ( x, y)]
u
网络图
u
v
x
网络图原则
z
v
y
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
应点( u, v ) 具有连续偏导数, 则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在对应点( x , y )的两个
偏导数存在, 且可用下列公式计算
z z u z v (*) , x u x v x
z z u z v . y u y v y
3 2 求 z x y xy 的四个二阶偏导数. 例 2 z z 2 解 3 x 2 y 2 y, 6 xy , 2 x x 2z 2 6 x y 1; x y 2 z z 3 2 x 3 y x, 2 x , 2 y y 2z 6 x 2 y 1. yx
多元复合函数的求导法则 3
当( x , y ) (0,0)时, 按定义得 f (0 x ,0) f (0,0) 0 lim 0 f x (0,0) lim x 0 x 0 x x f ( 0 ,0 y ) f ( 0 ,0 ) 0 lim lim 0 f y (0,0) y0 y 0 y y f x ( 0 ,0 y ) f x ( 0 ,0 ) f x y (0,0) lim 0, y 0 y f y ( 0 x , 0 ) f y ( 0 ,0 ) f y x( 0,0) lim 1. x 0 x
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多元复合函数的 求导法则
复合函数的求导法则 全微分形式不变性 高阶偏导数与高阶微分
小结
思考题
作业
2
第八章 多元函数微分法及其应用
多元复合函数的求导法则
一、复合函数的求导法则(链导法则)
回忆: 对于一元函数 有
y f (u), u ( x), dy dy du dx du dx
全 微 分 形 式 不 变 性 的 实 质
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多元复合函数的求导法则
引入记号:
设 z f u, v , 记
z z f1 , f 2 u v
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多元复合函数的求导法则
例6. 设
求
u f ( x y , e , z)
2 2 xy
u u u , , . x y z
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多元复合函数的求导法则
例1. 设 求
z ln u v , 而 u e
2
x y2
, v x2 y
z z , x y
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多元复合函数的求导法则
二. 介绍”网络图”
1. z f (u, v), u (t ), v (t )
dz z du z dv . dt u dt v dt
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多元复合函数的求导法则Fra bibliotek x3 y 当( x , y ) (0,0), 2 2 例 设 f ( x, y) x y 当( x , y ) (0,0). 0
求f xy (0, 0)和f yx (0, 0)
解 当( x , y ) (0,0)时, 有 3 x 2 y( x 2 y 2 ) x 3 y 2 x f x ( x, y) ( x 2 y 2 )2 3 x2 y 2 x4 y 2 2 , 2 2 2 x y (x y )
那么在 导数 f xy ( x , y ) 与f yx ( x , y ) 在区域D内 连续， 该区域内 f xy ( x , y ) f yx ( x , y ). 一般地, 多元函数的高阶混合偏导数如果连 续就与求导次序无关. 3 3 3 f f f (0,0), 这只能说明 f ( 0 , 0 ) f 后一题中 如 xy yx . 注 2 2 x ,y xf y yx f 和 在点 (0 0 )x 处 都不连续 .
正确的是( C ). f f f ( A) x y z k f ( x , y , z ); x y z f f f ( B) x y z k f ( x , y , z ); x y z f f f (C ) x y z kf ( x , y , z ); x y z f f f ( D ) x y z f ( x , y , z ). x y z
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多元复合函数的求导法则
注意:
1. (*)式中两边z的含义不同,
左边的z表示已经复合的函数,
右边的z表示还没有复合的函数, 2. (*)式两边都在点 ( x, y ) 取值.
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多元复合函数的求导法则
分量原则
问:
项数 每一项
函数对某自变量的偏导数之结构 中间变量 的个数. 函数对中间变量的偏导数
全导数
z
u v
t
2. z f (u, v, w), u u(t ), v v(t ), w w(t )
dz z du z d v z d w 全导数 dt u dt v d t w d t
z
3.
z f (u, v), u ( x, y), v ( x, y)
z z u z v z w x u x v x w x
z z u z v z w y u y v y w y
z
u v w
x y
5. z f (u, x, y), u ( x, y)
引入记号:
设 z f u, v , 记
z z f1 , f 2 , u v
z z z z , , , 2 f 22 f11 f12 f 21 2 u uv vu v
2 2 2 2
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多元复合函数的求导法则
x3 2 x3 y2 f y ( x, y) 2 2 . 2 2 2 x y (x y )
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x y 2 当( x , y ) (0,0), 2 设 f ( x, y) x y 求f xy (0,0)和f xy (0,0). 当( x , y ) (0,0). 0
而对于二元函数
z f (u, v), u ( x, y), v ( x, y)
z z 如何求 , x y
?
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多元复合函数的求导法则
定理: 如果u ( x , y )及v ( x , y )都在点( x , y )
具有对x和y的偏导数, 且函数z f ( u, v )在对
3 x2 y 2 x4 y x3 2 x3 y2 f x ( x, y) 2 2 2 2 2 2 f y ( x, y) 2 2 x y (x y ) x y ( x y 2 )2
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多元复合函数的求导法则
在前一题中两个混合二阶偏导数相等, 但在 后一题中两者不相等, 这说明混合偏导数与求偏 导数的次序有关.但就通常所遇到的函数, 此种情 况不会发生, 这是因为有下述的定理: 定理 如果函数 z f ( x, y) 的两个二阶混合偏
y 例3. 设 z f xy , , f 有连续偏导, x
求
z z , x y
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多元复合函数的求导法则
设f ( x , y , z )是k次齐次函数,即 例4 k f ( tx , ty , tz ) t f ( x , y , z ), 为某一常数, 则结论