三_运输问题(1)PPT课件
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第三章--运输问题
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 11 3 10
7
1928
4
7 4 10 5
9
3
6
5
6
20
A1 A2 A3 A1 0 1 3 A2 1 0 M A3 3 M 0
B1
B2
B3
B4
B1
0142
B2
1021
B3
4203
B4
2130
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 产量 A1 0 1 3 2 1 4 3 3 1 3 10 27
1
A2 1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24 A3 3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20 B1 3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20 B2 11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20 B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20 B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20 销量 20 20 20 20 20 20 20 23 2 25 26
– 产地和销地之间虽有直达路线，但直达运输的费用或 运输距离分别比经过某些中转站还要高或远。
韩伯棠管理运筹学第三版-第七章-运输问题分析ppt课件.ppt
B1 B2 B3 产量
A1 6 4 6
200
A2 6 5 5 销量 250 200 200
300 500
650 23
B1 B2 B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
销量 250 200 200
300 500
650
解：增
B1 B2 B3
加一个 A1 6 4 6
虚设的 A2 6 5 5
产地运 A3 0 0 0 输费用 销量 250 200 200
6
4 6 200
A2
6
5 5 300
销量 150 150 200
B1
B2
B3 产量
A1
x11
x12
x13 200
A2
x21
x22
x23 300
销量 150 150 200
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23
A1 A2 销量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
§2
运输问题的计算机求解
运行管理运筹学计算机软件：
点击运输问题模块
14
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
§2
运输问题的计算机求解
点击新建
选择Min
输入3
输入4
点击确定
15
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
运筹学教学课件 第三章 运输问题
7 4 9 3 6 5 6
2.1 确定初始基可行解
• 这与一般线性规划问题不同，产 销平衡的运输问题总是存在可行解。 因有
b a
i 1 j i 1
m
m
i
d
必存在 0≤ xij,i=1,…,m,j=1,…,n 是可行解。又因 0≤xij≤min(a1,bj) • 故运输问题的可行解和最优解必存在。 • 确定初始可行解的方法有很多，一般 希望的方法即简便又尽可能接近最优解。 下面介绍两种方法：最小元素法和伏格 尔（Vogel）法。（其它如西北角法等）
例1
• 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂。每 日的产量分别为： • A1——7吨，A2——4吨，A3——9吨。该公 司把这些产品分别运往四个销售点。各销售 点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨， • B3——5吨，B4——6吨。已知从各工厂到各 销售点的单位产品的运价为表3-3所示，问该 公司应如何调运产品，在满足各销点的需要 量的前提下，使总运费为最少。
运价表与行差和 列差的计算
表3-10 伏格尔法
伏格尔法基可行解， 总运费为85，恰好得 到最优解
销地 B1 B2 B3 B4 行 产 差 量 产地
销地 B1 B2 B3 B4 产地 A1 A2
A1
A2 A3
3
1 7
11 3
9 4 5 6 2 1 5
10 0
8 3 6 1 1
7
4 9
10 5
列差 2 销量 3
A3
表3-13
B1 销地 加工厂 A1 A2 A3 销量 ห้องสมุดไป่ตู้2 B3 B4 产量
5 3 6 3 6 5
2 1 3 6
7 4 9
(典型例题)《运筹学》运输问题
第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学-第四章-运输问题和指派问题 PPT课件
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
1
32
11 4 3
3 10
3 1 3 9 1 2 -1 8
4
7
6 4 12 10 3 5
3
6
5
6
产量
7 4 9 20
检验数<0表示：例如（A2,B4）如果增加A2到B4的1单位产 品，将会降低1单位的运费，所以，该解不是最优解。
13
解的改进
（1）以 xij 为换入变量，找出它在运输表中的闭回路；
B2 4 11 29
4
6
B3 3
22
3 10
5
B4 产量 10 7
8
4
65
9
5
6
20
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西
B1
B2
B3
B4 产量
北 角
A1 3
34
11
3
10 7
方
A2
12
92
2
8
4
法
A3
7
43
10 6 5
9
初 始
需求量
3
6
5
6
20
解
x11 3, x12 4, x22 2, x23 2, x33 3, x34 6
min cij xij
s.t.
n
xij si
j 1
m
xij d j
i 1
xij 0
目标函数
n表示物资的n个销地 m表示物资的m个产地
供给约束
需求约束
非负约束
18
问题分析
决策变量 目标函数 约束条件：产量约束、销量约束、非负
运筹与决策PPT：运输问题和指派问题
+ 690x23 + 791x24 + 995x31 + 682x32 + 388x33 + 685x34
s.t.
工厂 1: 工厂 2: 工厂 3: 仓库 1: 仓库 2: 仓库 3: 仓库 4:
x11 + x12 + x13 + x14
x21 + x22 + x23 + x24
= 75 供
= 125 x31 + x32 + x33 + x34 = 100
运输问题的Excel求解模型－ 案例1
B
C
3 Unit Cost
4
5 Source
Bellingham
6 (Cannery)
Eugene
7
Albert Lea
8
9
10 Shipment Quantity
11 (Truckloads)
12 Source
Bellingham
13 (Cannery)
Eugene
问题：如何改进运输策略以降低成本？
案例1：P&T公司的配送问题
CANNERY1 Bellingham
最偏远的厂
CANNERY2 Eugene
WAREHOUSE 3 Rapid City
WAREHOUSE 2 Salt Lake City
WAREHOUSE 1 Sacramento
WAREHOUSE 4 Albuquerque
4、运输问题和指派问题
引例
案例1：P&T公司的配送问题
▪ 家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：
– 三个食品厂，四个分销仓库
运筹学 第三章 运输问题
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
运筹学基础-运输问题(1)
– 非负性约束
xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4)
4
运输问题
运输问题举例 （续）
【例2】某公司下属三个工厂（甲厂、乙厂、丙厂）生产同类 产品，供应不同地区的3个城市（A城、B城、C城），工厂的 供应量、城市的需求量及工厂到不同城市的单件运费如表，写 出本例数学模型 产销大于销
销地 产地 甲厂 乙厂 丙厂 需求量 A城 8元 4元 7元 5000 B城 6元 3元 4元 7500 C城 7元 5元 6元 7500
56
16 66
36
41
16
运输问题
西北角法图示
初始基可行解：x11=56,x21=16,x22=66,x32=36,x33=41
此时运费 Z=31240
销地 产地 W厂 X厂 A段
5656 40
B段
C段
供应量
0 70
66 36
0 140 0 110
41
56 82
16
16 120 0 80
72
66 240 36 130
运输问题
【另例】
销地
产地
B1 6
7
2
B2
2
B3 3
5
1
B4 2
8
2
2
产量 5
4
行差额
产量
j 1 m
ij
ai , bj ,
i 1,2,...,m j 1,2,...,n
a1 a2 … am
x
i 1
ij
xij 0
11
运输问题
产小于销
a b
i 1 i j 1
m
n
j
min Z cij xij
xij≥0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4)
4
运输问题
运输问题举例 （续）
【例2】某公司下属三个工厂（甲厂、乙厂、丙厂）生产同类 产品，供应不同地区的3个城市（A城、B城、C城），工厂的 供应量、城市的需求量及工厂到不同城市的单件运费如表，写 出本例数学模型 产销大于销
销地 产地 甲厂 乙厂 丙厂 需求量 A城 8元 4元 7元 5000 B城 6元 3元 4元 7500 C城 7元 5元 6元 7500
56
16 66
36
41
16
运输问题
西北角法图示
初始基可行解：x11=56,x21=16,x22=66,x32=36,x33=41
此时运费 Z=31240
销地 产地 W厂 X厂 A段
5656 40
B段
C段
供应量
0 70
66 36
0 140 0 110
41
56 82
16
16 120 0 80
72
66 240 36 130
运输问题
【另例】
销地
产地
B1 6
7
2
B2
2
B3 3
5
1
B4 2
8
2
2
产量 5
4
行差额
产量
j 1 m
ij
ai , bj ,
i 1,2,...,m j 1,2,...,n
a1 a2 … am
x
i 1
ij
xij 0
11
运输问题
产小于销
a b
i 1 i j 1
m
n
j
min Z cij xij
山东大学 运筹学课件及课后解答3第三章 运输问题(新)a
b1
c 12 … c 22 … .… .… .… c m2 … c m+1,2 …
b2 …
c 1n c 2n . . . c mn c m+1,n
bn
a1 a2 .
.
.
am am+1
作业 P103 3.7 3.8(a) 例2. 已知见表：试决定总运费最少的调运方案。
销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
2. 进行最优性检验的位势法 运输问题的对偶问题数学模型为
m
n
maxw aiui bjvj
i1
j1
ui vj cij(i 1,2,...,m; j 1,2,...,n)
ui
,vj无约束 (i 1， 2， ..， . m；j
1， 2， ..， . n)
对约束条件加松弛变量，得
ui vj ysij cij 或写成
m)
j1
n
x ij x i,n 1 a i (i 1,2 ,..., m )
j1
m
x ij b j ( j 1,2 ,...,
n)
i1
m
x ij
i1
b j ( j 1,2 ,..., n 1)
x
ij
0(i
1,2 ,...,
m;
j
1,2 ,...,
n)
x
ij
0(i
1,2 ,...,
(0) 35 (0) 55 25
20
10 15 20 35 5
一次调整后方案
销地
B1
产地
A1
25
A2
A3
销量
25
B2 B3
c 12 … c 22 … .… .… .… c m2 … c m+1,2 …
b2 …
c 1n c 2n . . . c mn c m+1,n
bn
a1 a2 .
.
.
am am+1
作业 P103 3.7 3.8(a) 例2. 已知见表：试决定总运费最少的调运方案。
销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
2. 进行最优性检验的位势法 运输问题的对偶问题数学模型为
m
n
maxw aiui bjvj
i1
j1
ui vj cij(i 1,2,...,m; j 1,2,...,n)
ui
,vj无约束 (i 1， 2， ..， . m；j
1， 2， ..， . n)
对约束条件加松弛变量，得
ui vj ysij cij 或写成
m)
j1
n
x ij x i,n 1 a i (i 1,2 ,..., m )
j1
m
x ij b j ( j 1,2 ,...,
n)
i1
m
x ij
i1
b j ( j 1,2 ,..., n 1)
x
ij
0(i
1,2 ,...,
m;
j
1,2 ,...,
n)
x
ij
0(i
1,2 ,...,
(0) 35 (0) 55 25
20
10 15 20 35 5
一次调整后方案
销地
B1
产地
A1
25
A2
A3
销量
25
B2 B3
运输问题模型和表上作业法步骤 PPT课件
s.t. x11 x12 x13 x14
14
供 应
x21 x 22 x 23 x24
27 地
约
x 31 x 32 x 33 x 34 19 束
x11
x21
x31
x12
x22
x32
x13
x23
x33
x14
x24
x34
22 需
13 求
12
地 约
13 束
x11 x12 x13 x14 x 21 x 22 x 23 x 24 x31 x32 x33 x34
表2—2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11、 x12、 x32、 x34、 x24、 x21 构成一个闭回路. 这里有： i1 = 1， i2 = 3， i3 = 2；j1 = 1， j2 = 2， j3 = 4. 若把闭回路 的顶点在表中画出, 并且把相邻两个变量用一条直线相连
Transportation Problem 运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 非基变量的检验数 闭回路法、对偶变量法 确定进基变量，调整运量，确定离基 变量
运输问题
人们在从事生产活动中，不可避免地要进 行物资调运工作。如某时期内将生产基 地的煤、钢铁、粮食等各类物资，分别 运到需要这些物资的地区，根据各地的 生产量和需要量及各地之间的运输费用， 如何制定一个运输方案，使总的运输费 用最小。这样的问题称为运输问题。
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
《运筹学》第三章 运输问题
二、表上作业法
计算步骤：
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法 或伏格尔法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是 否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否 则转到下一步。 空格 (3)对方案进行改善，找出新的调运方案。 （表上闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4
3
6 6
1
3 5 6
9
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4 9
3
6 6
1
-1
3
5
6
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3
B2 2 1 6 6
B3 4 1
B4 3 -1 3
产量 7 4 9
(ui+vj)
－ B2 9 8 4 B3 3 2 -2 B4 10 9 5
A3 －3
σij
B1 ＝ A1 A2 A3 1 0 10 B2 2 1 0 B3 B4 0 0 0 －1 12 0
表中还有负数，说明 还未得到最优解，应 继续调整。 用位势法与用闭回路法 算出的检验数？ 相同
3、解的改进
——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 上例： min( σ ij 0 ) pq
m
n
系数列向量的结构： A ij ( 0， 0， 0 ，， 0， 0 ) 1， 0 1，
第 i个
第 ( m j )个
运输问题与指派问题
4 20 5
10
1.13 1.15
生产管理人员需要制定出一个每月生产多少发 动机的计划,使制造和存储的总成本达到最小。
例 产品分配计划
求佳产品公司决定使用三个有生产余力 的工厂进行四种新产品的生产制造。就 哪个工厂生产哪种产品做决策,使总成本 达到最小。
公司的产品数据
单位成本
能力 产品
工厂 1 2 3
4. 运输问题：在满足供应节点的供应量约束和 需求节点的需求量约束的条件下，为了使运输 成本最低，如何安排运输。
二、运输问题的分类
1、供需均衡的运输问题 所有供应点的供应量之和等于所有需求点 的 需求量之和的运输问题。
2、供需非均衡的运输问题 所有供应点的供应量之和不等于所有需求点 的需求量之和的运输问题。
例 ：设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥， 假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化 肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各 地区运送单位化肥的运价如表所示，试求出总的 运费最节省的化肥调拨方案。
运价：万元/万吨
需求地区 地区1 地区2 地区3 地区4 产量
化肥厂
（万吨）
厂1
16 13 22 17
线性规划模型为：
Min 70A1+40 A2 +80 A3 60 A4 +70B1+100 B 2 +110 B 3 +50 B 4 + 80C 1+70 C 2 +130 C 3 +40 C4
s.t.
A1+ B1 + C1 =20
A2+ B2 + C2=15
A3+ B3 + C3 =23
A4+ B4 + C4 =32
第三章运输问题
5
设 xij 为 从 产 地 Ai 运 往 销 地 Bj 的 物 资 数 量 （i=1，…m；j=1，…n），由于从Ai运出的物资 总量应等于Ai的产量ai，因此xij应满足：
x
j 1
n
ij
ai
i 1,2, , m
6
运到Bj的物资总量应该等于Bj的销量bj，所以xij还 应满足：
m
第三章 运输问题
本章包含三部分的内容 运输问题及其数学模型 运输问题的表上作业法 运输问题的进一步研究
1
§1 运输问题及其数学模型
日常生活中，人们经常需要将某些物品由一个空间 位置移动到另一个空间位置，这就产生了运输，如 何判定科学的运输方案，使运输所需的总费用最少， 就是运输问题的模型需要解决的问题。
25
调 运
销地 量 B1
B2 90 150
X12
B3 70 100
X13
产量 200 250
产地
50
A1
X11
A2
销 量
50 80 X21
65
X22
200 75
X23
100
150
200
450
26
注：
能够作为表上作业法的基可行解的必要条件是
1. 基变量的个数为m+n-1个； 2. 在基可行解中不存在以非零元素为顶点的闭回 路。
5. 所有约束条件都是等式约束；
6. 各产地产量之和等于各销地销量之足所有约束条件
2. 基变量对应的约束方程组的系数列向量线性 无关。
3. 解中非零变量的个数≤m+n-1个 4. 为使迭代顺利进行，基变量的个数在进行迭 代过程中保持为m+n-1个 5. 将基可行解中基变量的值填入运输表中，非 基变量对应的格不填入数字，称为空格。
《运筹学教程》胡云权-第五版-第二章--运输问题PPT课件
B1
14
82
8
10
8 v1
u2 v3 3 u3 v2 5 u3 v4 6
B2
2 12 10
1
14 5
14 v2
B3 10 4 23
11
12
12 v3
设 u2 0 v1 2,
u1
-
1,
B4
产量
ui
6 11
16
u1
9
-1
10
u2
86
22
u3
14
48
v4
v2 9, u3 4,
v3 3
-
4
运输问题的数学模型
针对单一品种物资运输调度问题
设某物资有m个产地A1，A2，…，Am，产量分别是a1，a2，… ，am ， 有n个销地B1，B2， …，Bn ，销量分别是b1，b2，… ，bn。
从产地Ai (i=1,2, …,m)到销地Bj (j=1,2, …,n )运输单位物品的运价是cij 。 如何调运这些物资使得总费用最小？
行罚数
①②③④⑤
0 0 07 0 1 1 16 0 12
①
2
列②
2
5
1
3
初始基可行解：x13=12,
1
3
罚③ 数④
2
1
2
x14=4, x21=8, x24=2,
1
2
x32=14, x34=8,其余均为0。
⑤
-
2
z=244
16
产销平衡运输问题解法——表上作业法
1、确定初始基可行解
当最小元素或最大罚数对应的ai和bj相等时，即对应的产 量和销量相等时，为保证基变量的个数为m+n-1个，除了在产 销平衡表填xij=ai外，还应在产销平衡表中的第i行或第j列某空 格（相应运价未被划掉）处填一个“0”，然后同时划去运价 表上的第i行和第j列，该“0”看作是数字格。
产销不平衡的运输问题-运筹学 PPT课件
j 1
i 1
就可以作为一个初始基可行解。
运输问题
3、按最小元素法（或伏格尔法）给出的初 始基可行解，从每一空格出发可以找出 而且仅能找出唯一的闭回路。
4、当所有产地产量和销地销量均为整数值， 运输问题的最优解也为整数值。
5、如果运输问题单位运价表的某一行（或 某一列）元素分别加上一个常数k，最优 调运方案将不会发生变化。
0
1n 1n1 1
x x a c2n
0
2n 2n1 2
x x a cmn
0
mn mn1 m
bn bn1
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
j 1,2, n
运输问题
修改后产大于销平衡问题的数学模型
m n1
min z
cij xij
i 1 j 1
n 1
xij ai , i 1,2, , m
j 1
m
xij
b j , j 1,2, , n, n 1
i 1
xij 0, i 1,2, , m
j 1,2, n, n 1
ci n+1=0 i= 1,2,…,m。 于是，这个运输问题就转化成了一个 产销平衡的问题。
运输问题
原产大于销平衡问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai , i 1,2, , m
j 1
m
xij
b j , j 1,2, , n
管理运筹学 第3章 运输问题
运费 销地 单价 产地 A1 A2 销量
B1
B2
B3
产量 (件) 200 300
6 6 150
4 5 150
6 5 200
设xij表示从产地Ai调运到Bj的运输量(i=1,2;j=1,2,3)
Min f=6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+5x22+ 5x23
x11+ x12+ x13=200 x21+ x22+ x23=300 x11+ x21=150 x12+ x22=150 x13+ x23=200 xij ≥0
运输 销地 单价 产地 1 2 3 4 销量
1
2
3
4
D
产量
10.8 M M M 10
10.95 11.10 11.25 11.10 11.25 11.40 M M 15 11.00 11.15 M 25 11.30 20
0 0 0 0 30
25 35 30 10 100 100
练习: 1. 某公司有甲乙丙丁四个分厂生产同一种产 品,产量为300、500、400、100吨,供应6个地区的 需要,需要量分别为300、250、350、200、250,150 吨.由于原料、工艺和技术的差别,各厂每千克产 品的成本分别为1.3元、1.4元、1.35元、1.5元,各 地区销售价分别为2.0、 2.2、1.9、2.1、1.8、2.3 元.已知各厂运往各销售地区每千克运价 如下表, 从上面知销大于产,如果要求第一第二个销地 至 少供应150吨,第五个销地的需求要必须全部满足, 第三、第四,第六个销地只要求供应量不超过 需 求量.试确定 一个运输方案使公司获利最多.
第六讲_运输问题(1)
2. 在伏格尔法中，若出现两个或者以上相同差额时，可任意选
取其中一个先进行调运。 3. 用最小元素法和伏格尔法给出的初始调运方案均为运输问题 的一个基可行解。 4. 一般情况下，伏格尔法给出的初始基可行解比用最小元素法 给出的初始基可行解更接近最优解。
最优解的判别
回顾利用单纯形法求解线性规划的步骤： 在求出基可行解以后，就必须检验该基可行解是否为最优解， 为此给出一个检验标准。在求极大化的线性规划时，若初始基可行 解所有非基变量检验数
例1 某公司经销甲产品。下设三个加工厂Ａ1，Ａ2，Ａ3，每天 把产品分别运往四个销地Ｂ1，Ｂ2，Ｂ3，Ｂ4。各加工厂的日产 量，各销地的日销量以及从各加工厂运送单位产品至各销售地 的运价如下表：
单位：千元/吨
销地
产地
B1
3
B2
11
B3
3
B4
10
日产量 （吨）
A1
7
A2 A3
日销量 （吨）
1 7 3
9 4 6
日销量 罚金成本
7
4 9 -6
0
1 1
7
3 2
6 6
4
5 1
10
6 3
5
①
5
伏格尔法(3)
②对未划去的单位运价再分别计算各行(列)的罚金成本。再从所有 的罚金成本中找出最高值。选择它所在行(列)的最低运价。确定第 二笔供销关系。
销售地
加工厂
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2ห้องสมุดไป่ตู้
B4
10 8
日产量
罚金成本
B1
3 1
B2
11 9 4
B3
3 2 10
取其中一个先进行调运。 3. 用最小元素法和伏格尔法给出的初始调运方案均为运输问题 的一个基可行解。 4. 一般情况下，伏格尔法给出的初始基可行解比用最小元素法 给出的初始基可行解更接近最优解。
最优解的判别
回顾利用单纯形法求解线性规划的步骤： 在求出基可行解以后，就必须检验该基可行解是否为最优解， 为此给出一个检验标准。在求极大化的线性规划时，若初始基可行 解所有非基变量检验数
例1 某公司经销甲产品。下设三个加工厂Ａ1，Ａ2，Ａ3，每天 把产品分别运往四个销地Ｂ1，Ｂ2，Ｂ3，Ｂ4。各加工厂的日产 量，各销地的日销量以及从各加工厂运送单位产品至各销售地 的运价如下表：
单位：千元/吨
销地
产地
B1
3
B2
11
B3
3
B4
10
日产量 （吨）
A1
7
A2 A3
日销量 （吨）
1 7 3
9 4 6
日销量 罚金成本
7
4 9 -6
0
1 1
7
3 2
6 6
4
5 1
10
6 3
5
①
5
伏格尔法(3)
②对未划去的单位运价再分别计算各行(列)的罚金成本。再从所有 的罚金成本中找出最高值。选择它所在行(列)的最低运价。确定第 二笔供销关系。
销售地
加工厂
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2ห้องสมุดไป่ตู้
B4
10 8
日产量
罚金成本
B1
3 1
B2
11 9 4
B3
3 2 10
《运输问题》课件
动态规划模型
动态规划是一种数学方法，用于解决具有重叠子问题和最 优子结构的问题。在运输问题中，动态规划模型通常用于 解决具有时间序列或阶段性的运输问题。
动态规划模型将运输问题分解为一系列的子问题，并逐一 解决这些子问题以找到最优解。
启发式算法
启发式算法是一种基于经验或直观的 算法，用于在可接受的时间内找到近 似最优解。在运输问题中，启发式算 法通常用于解决大规模或复杂的运输 问题。
注意事项：载重优化需要考虑货物的特 点和限制条件，如易碎、易燃、易腐蚀 等货物需要特殊处理，同时需要关注货 物的安全性和稳定性，防止发生意外事
故。
时间优化
总结词
时间优化是运输问题中的关键策略，通过合理安排运输时间，降低运输延迟和提高运输效率。
详细描述
时间优化主要考虑如何将运输时间进行合理的安排和管理，以最小化运输延迟和提高运输效率。这需 要考虑运输需求的时间分布、交通状况、天气等多种因素，以及如何合理安排运输计划和调度。
分类
根据货物的需求量、运输能力、运输方式等因素，运输问题可以分为多种类型 ，如产销平衡运输问题、产销不平衡运输问题、多品种运输问题、多模式运输 问题等。
运输问题的特点
01
优化目标
最小化运输成本。
02
03
04
约束条件
货物的需求量、运输能力、时 间限制等。
决策变量
每个运输路线的运输量。
线性规划
运输问题的目标函数和约束条 件都是线性的，可以使用线性
04
运输问题的优化策略
路径优化
总结词
路径优化是运输问题中常用的策略，通 过合理规划运输路线，降低运输成本和 时间。
VS
详细描述
路径优化主要考虑如何选择最佳的运输路 径，以最小化运输时间和成本。这需要考 虑路况、距离、交通状况等多种因素，以 及如何合理安排车辆和人员，确保运输效 率最大化。
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3
1
A3
6
销量
3
6
5
方案的总运费为 86 元
B4
产量
10
7
8
4
5
9
6
B4
产量
3
7
4
3
9
6
14
两种特殊情况： 一 、有多个元素同时达到最小，任选一个作为基变量 二、对于最小元素，发现该元素所在行的剩余产量等 于该元素所在列的剩余销售量。这时在产销平衡表相 应的位置填上一个数，而在单位运价表中就要同时划 去一行和一列。为了使调运方案中有数字的格仍为（m + n –1）个，需要在同时划去的行或列的任一空格位置 添上一个“0”，这个“0”表示该变量是基变量，只 不过它取值为0，即此时的调运方案是一个退化的基可 行解。
12
表3.5 销地 产地
B1
B2
A1 A2 A3 销量
3
11
13 9
7
4
3
6
B3
B4 产量
3 10 7
21 8
4
10 5
9
5
6
解：第一步：最小运价为1 填上3---表示示 A2 调运3吨给B1， (即x21 =3=min(a2,b1)=min(4 , 3)) 将B1 这一列运价划去，需求已满足，不需要继续调运 。
例3.1 设 m = 3，n = 4，表3.2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
A1
x11
x12
A2
x21
x24
A3
x32
x34
x11、 x12、 x32、 x34、 x24、 x21 构成一个闭回路。
8
销地
产地
B1
B2
B3
B4
A1
x12
x14
A2
A3
x3中画出，并且把 相邻的顶点都用一条直线连接起来，就可以得到一条 封闭的折线，折线的每一条边或者是水平的，或者是 垂直的,每一行或一列由折线相连的闭回路的顶点只有2 个。
9
定理3.1： m+n-1个变量 xi1 j1 , xi2 j2 ,, xis js (s m n 1) 构成基变量的充分必要条件是它不包含有任何闭回路。 比直接判断这些变量所对应的系数列向量组是否线性无 关要简单和直观。
10
2、 表上作业法
求解运输问题的一种简化方法，实质是单纯形法。 （1）找初始基可行解----即在 (mn) 产销平衡表上给出 m+n -1个数字格--不能构成闭回路，且行和等于产量，列 和等于销售量； （2）求非基变量检验数---在表上求出空格的检验数，判 别是否达到最优解。如果达到最优解，则停止计算，否 则转入下一步； （3）确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解，在 表上用闭回路法进行调整。 （4）重复（2）、（3）步，直到求得最优解为止。
i1
n
xij ai
i 1,2,, m
j1
xij 0
i 1,2,, m ; j 1,2,, n
LP问题--------mn个变量，m + n个约束条件. 单纯形法求解，在每个约束上加入一个人工变量 若 m =4，n = 5，变量个数就有29个之多，非常复杂。
4
3.2 表上作业法
第二步: 从未划元素中找最小的运价2 ---填上 1 (即x23=1) ，划去A2 这一行运价，表示 A2的产品已分配完毕。
如此，直到单位运价表中所有元素都划去为止。 得到一个初始调运方案，表3.7
13
运价表 B1
B2
B3
A1
3
11
3
A2
1
9
2
A3
7
销量
3
4
10
6
5
表3.7 B1
B2
B3
A1
4
A2
第三章 运输问题
运输问题 约束条件的系数矩阵具有特殊的结构，有更为简单 的求解方法，从而节约大量的计算时间和费用。
1
3.1、运输问题的数学模型
产地-------- m个 , Ai表示，i=1,2,,m； 产量 ai , i=1,2,,m
销售地-----n个，Bj 表示，j=1,2,,n； 销售量 bj，j=1,2,,n，
Cij:----- 从Ai到Bj运输单位物资的运价 要求使总运费最小的调运方案。
表3.1
销地
产地
B1
B2
Bn
A1
c11
c12
c1n
A2
c21
c22
c2n
Am
cm1
cm2
cmn
销量
b1
b2
bn
产量
a1 a2 am
2
产销平衡运输问题 总产量等于其总销量，即
数学模型
m
n
ai bj
i 1
j 1
解: 假设 xij 表示从Ai到 Bj 的运量,则所求的
11
（1） 确定初始基可行解
① 方法一：最小元素法
基本思想----就近供应。即从单位运价表中最小的运 价开始确定产销关系，依次类推，直到给出初始方 案为止。
例3.2 某公司有3个生产同类产品的工厂，生产的 产品由4个销售点销售，各工厂的生产量、各销售 点的销售量以及各工厂到各销售点的单位产品运价 如表3.5所示。问该公司应如何调运产品，在满足各 销售点的需要量的前提下，使总的运费为最小。
1、 基本概念与重要结论
系数矩阵特点：
（1）元素等于0或1；
（2）每列只有两个元素为1，其余都是0；
（3）每一个变量，在前m个约束方程中只出现一
次，在后n个约束方程中也只出现一次。
m
i1 xij bj j 1, 2, ,n
n
j1
xij
ai
i 1, 2,
,m
x11,, x1n , x21,, x2n ,, xm1,, xmn
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 51
运输问题的解---代表着一个运输方案 变量xij的值--由Ai调运数量为xij的物品给Bj。 基变量--- m+n-1个， 只有m+n-1个约束条件是线性 独立的。 进一步我们想知道，怎样的 m+n-1个变量会构成一 组基变量？
数学模型为:
mn
min Z
cij xij
i1 j1
m
xij
bj
j 1,2,, n
i1
n
xij ai
i 1,2,, m
j1
xij 0
i 1,2,, m ; j 1,2,, n
3
mn
min Z
cij xij
i1 j1
m
xij b j
j 1,2,, n
1
1
1
1 0
按第1列展开
7
基本概念 闭回路
凡是能排成 xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js , xis j1 , (i1,, is , 互不相同，且
1 ik m, k 1,s, j1,, js互不相同,且1 jl n,l 1,, s)
形成的变量的集合 顶点---出现在闭回路中的变量 闭回路的边--相邻两个变量用一条直线相连
6
x11,, x1n , x21,, x2n ,, xm1,, xmn
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
A 0 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1
1
1
D 1 1
1
1
1
(1) m1
1