苏教版2019年中考数学专题复习专题八图形折叠问题训练

专题八 图形折叠问题

类型一 折叠三角形

(2018·浙江台州中考)如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E.将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E 分别交AC 于点F ，G ，连结OF ，OG ，则下列判断错误的是( )

A ．△ADF≌△CGE

B ．△B′FG 的周长是一个定值

C ．四边形FOEC 的面积是一个定值

D ．四边形OGB′F 的面积是一个定值

【分析】A ．根据等边三角形ABC 的外心的性质可知AO 平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得FO 平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，再根据三角形全等的性质可得△ADF≌△CGE；

B ．根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF ＝GF ＝GE ，所以△ADF≌△B′GF≌△CGE，可得结论；

C ．根据S 四边形FOEC ＝S △OCF ＋S △OCE 判断即可；

D ．将S 四边形OGB′F ＝S △OAC －S △OFG ，根据S △OFG ＝1

2·FG·OH，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形OGB′F 的

面积也变化，可作判断． 【自主解答】

三角形的折叠问题一般考查轴对称的性质、勾股定理和线段的性质等，解题的关键是抓住折叠的本质是轴对称，轴对称是全等变换，找出相等的角和线段．

类型二折叠平行四边形

(2018·山东淄博中考)在如图所示的平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于________．

【分析】要计算周长首先需要证明E，C，D共线，DE可求，问题得解．

【自主解答】

关于平行四边形折叠问题，解答时需要关注：在折叠前后，折痕两边能够完全重合的部分是全等图形，它们的对应线段、对应角相等，与特殊的平行四边形相比，它缺少了特殊的条件．

1．(2018·甘肃兰州中考)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E为( )

A ．102°

B ．112°

C ．122°

D ．92° 类型三 折叠菱形

(2018·山东烟台中考)对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B ，B′两点重合，MN 是折痕．若B′M＝1，则CN 的长为( )

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

【分析】连结AC ，BD ，利用菱形的性质得OC ＝12AC ＝3，OD ＝1

2BD ＝4，∠COD＝90°，再利用勾股定理计算出

CD ＝5，接着证明△OBM≌△ODN 得到DN ＝BM ，然后根据折叠的性质得BM ＝B′M＝1，从而有DN ＝1，于是计算CD －DN 即可． 【自主解答】

折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．对于菱形的折叠，还要明确菱形的基本性质，在解题过程中要抓住菱形的性质进行分析．

2．(2018·贵州遵义中考)如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处(不与B ，D 重合)，折痕为EF ，若DG ＝2，BG ＝6，则BE 的长为__________．

3．如图，在菱形ABCD 中，tan A ＝ 4

3，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应

线段EF 经过顶点D ，当EF⊥AD 时， BN

CN

的值为____．

类型四 折叠矩形

(2018·浙江杭州中考)折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C 落在线段AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上．若AB ＝AD ＋2，EH ＝1，则AD ＝________．

【分析】设AD ＝x ，则AB ＝x ＋2，利用折叠的性质得DF ＝AD ，EA ＝EF ，∠DFE ＝∠A＝90°，则可判断四边形AEFD 为正方形，所以AE ＝AD ＝x ，再根据折叠的性质得DH ＝DC ＝x ＋2，则AH ＝AE －HE ＝x －1，然后根据勾股定理得到x 2

＋(x －1)2

＝(x ＋2)2

，再解方程求出x 即可． 【自主解答】

此类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等、相似、勾股定理、转换思想、与其他图形(圆)结合等，抓住翻折前后两个图形是全等的，把握翻折前后不变的要素是解决此类问题的关键．

4．(2018·湖北宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，CB ＝2，点E 为线段AB 上的动点，将△CBE 沿CE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，下列结论正确的是__________(写出所有正确结论的序号)． ①当E 为线段AB 中点时，AF∥CE； ②当E 为线段AB 中点时，AF ＝9

5

；

③当A ，F ，C 三点共线时，AE ＝13－213

3；

④当A ，F ，C 三点共线时，△CEF≌△AEF.

类型五 折叠正方形

(2018·江苏宿迁中考)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在边AB ，CD 上，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上(点M 不与点A ，D 重合)，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，设BE ＝x. (1)当AM ＝1

3

时，求x 的值；

(2)随着点M 在边AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；

(3)设四边形BEFC 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式，并求出S 的最小值．