多元函数极值和条件极值的一般判定方法

2006年4月皖西学院学报Apr.,2006
第22卷第2期Journal of West Anhui University Vol.22　NO.2
多元函数极值和条件极值的一般判定方法*
李安东
(安徽理工大学计算机系,安徽淮南232000)
摘　要:本文较为完整地探讨了多元函数极值和条件极值的一般判定方法和求法。通过研究多元微分与一元微分之间的关
系,把多元函数的极值判定问题转化为二次型的正定、负定判定问题,或转化为一阶方向导函数是否变号的问题。对于条件极
值,研究了适用于所有情况的降维求极法,比拉格朗日乘数法更加直观、计算简便,并且同时解决了条件极值的判定问题。
关键词:多元函数极值;多元极值判定;正定负定判别法;导数变号判定法;降维求极法
中图分类号:O174.1 文献标识码:A 文章编号:1009-9735(2006)02-0030-04
多元函数的极值是一个简单、经典而又非常重要的问题。多元函数极值的求解,已有比较完善的方法,比如拉格朗日乘数
法。但多元函数极值和条件极值的判定问题(二元以上),却未得到很好地重视和解决。目前只能根据具体问题的实际意义或
“最值”的方法来推测其极值的类型(极大、极小和是否存在)。本文对如何解决此类问题进行初步的分析和探讨。
1　多元微分与一元微分的关系
首先探讨一下多元函数微分与一元函数微分之间的关系,以下以二元函数为例进行分析。
众所周知,对于二元函数z = f(x,y),(x,y)∈D在点P0(x0,y0)处的微分定义为:
df(x0,y0) = f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy = (f′x(x0,y0),f′y(x0,y0))·(Δx,Δy)(1)
式中Δx,Δy都是任意的,所以向量(Δx,Δy)的方向和长度也是任意的,它的几何意义似乎并不十分明显。但是,如果令:
(Δx,Δy) = (cosα,sinα)dt.,其中,
cosα=Δx
Δx2+Δy2,sinα=ΔyΔx2+Δy2,dt =Δx2+Δy2
则上面的定义即可写为如下形式:
df(x0,y0) = (f′x(x0,y0),f′y(x0,y0))·(cosα,sinα)dt(2)
它的几何意义就十分明显了,只要固定(Δx,Δy)或(cosa,sina)的方向,容易看出它实质上就是以t为自变量的一元函数
g(t) = f(x0+tcosα,y0+tsinα)(3)
在t=0处的微分dg(0) = g(0)dt(用连锁规则求导),其中
(f′x(x0,y0),f′y(x0,y0))·(cosα,sinα)就是z = f(x,y)在点P0(x0,y0)处的方向导数。
所以若每固定(Δx,Δy)的一个方向,就由z = f(x,y)的微分得到一个一元函数g(t)的微分。无论自变量t如何变化,在
XY平面内它都只能沿着(cosα,sinα)的方向而变,因此函数g(t)的几何意义是:
表示平面β与曲面z = f(x,y)的交线(为了讨论方便,这里未采用微分几何里的向量函数表示方式)。而β则是经过点
P0(x0,y0)、平行于(cosα,sinα)且正交于XY平面的一个平面。当平面β绕点P0(x0,y0)旋转时,即得到一个曲线族{g(t)},它
们构成了曲面z = f(x,y)。
对于n元的函数(n>2)的微分,情

况也完全类似,这就是多元函数的微分与一元函数的微分之间的关系。
2　多元函数极值的判定
由上面的讨论知道,g(0)就是z = f(x,y)在点P0处沿L=(cosα,sinα)方向的方向导数。为了下面讨论的方便,我们不妨
把g(t)在t=0的n阶导数称为z = f(x,y)在点P0处沿L方向的n阶方向导数。即g(n)(0)就是z = f(x,y)在P0点沿L方
向的n阶方向导数,g(n)(t)不妨称为z = f(x,y)沿L方向且过P0点的n阶方向导函数。
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*收稿日期:2006-01-24
作者简介:李安东(1958-),男,安徽理工大学计算机系04级硕士研究生,高级程序员。研究方向:计算机软件工程。按上述讨论,就可以把一元函数中的很多方法和结论,应用到多元函数中来(当然也包括极值问题),从而使问题更加直观和
简化。首先讨论求驻点的问题。
在一元函数中,只须考虑一个方向,即沿x轴正向的导数(微分),即可求出驻点。但在多元函数中要考虑无穷多个方向
((Δx,Δy)的所有方向),即在驻点P0处沿任何方向的一阶方向导数均应为0。或者说所求极值点就是曲线族{g(t)}中所有曲
线的公共极值点。
为简单起见,先以二元函数为例进行讨论。
设k=(k1,k2)为一任意单位向量,p0(x0,y0)为z = f(x,y)的一个驻点,则应有
f(x0,y0)
k=f(x0,y0)xk1+f(x0,y0)yk2≡0 (4)
由于k1和k2是任意的,所以有f′x(x0,y0) = f′y(x0,y0) =0由此即可求出驻点p0(x0,y0)。
下面着重讨论对于极值点的判定问题,可采用以下二种方法之一。
2.1　正定、负定判定法
求出f在点P0沿k方向的二阶方向导数:
2f
k2=2fx2k21+22fxyk1k2+2fy2k22(5)
当2f(x0,y0)k2在所有方向上均大于0时,P0即为f的极小点,这时因为k1,k2是任意的,所以2f(x0,y0)k2是关于k1,k2的
一个二次型,故当其正定时,P0是f的极小点。
同理当2f(x0,y0)k2负定时,P0为f的极大点。
当该二次型不定时,显然P0不是f的极值点。
当2f(x0,y0)k2半正定或半负定时,情况比较复杂。这时要针对使2f(x0,y0)k2=0的每一组k1, k2值,分别考察
3f(x0,y0)
k3=…=l-1f(x0,y0)kl-1=0且lf(x0,y0)kl≠0的情形。若有某组这样的k1,k2值使如下三种情况之一发生时,则P0
不是f的极值点:
i)l为奇数;
ii)lfkl<0且2fk2半正定;
iii)lfkl>0且2fk2半负定;
其它情况下P0就是f的极小(2fk2半正定时)或极大(2fk2半负定时)点。
例1:设f(x1,x2,…,xn) =x1+x2+…+xnn-nx1x2…xn,其中
xi 0(i =1,2,…,n)。求f的极值点和极值。
解:由fxi=1n-1nx1…xi-1xi+1…xnn(x1x2…xn)n-1=1n(1-nx1x2…xnxi) =0(i =1,…,n),
解得:x1= x2=…= xn= a(a 0为任意常数),
令g(t) = (a+tk1+…+a+tkn)/n-n(a+tk1)…(a+tkn) =
a+k1+…+knnt-n(a+tk1)…(a+tkn),其中
k = (k1,…,kn)为一n维的任意单位向量。
∴g′(t) =k1+…+knn-1n(k1a+tk1+…+kna+tkn

)n(a+tk1)…(a+tkn),
g″(t) =-1n[n(a+tk1)…(a+tkn)n(k1a+tk1+…+kna+tkn)2-n(a+tk1)…(a+tkn)(k21a+tk1+…+k2na+tkn)],
∴g″(0) =1an2[n(k21+…+k2n)-(k1+…+kn)2],
由布辽可夫斯基不等式知,当a>0时恒有g″(0) 0,∴x1=…= xn=α>0是f的极小点。
31f极小值= (a+…+a)/n-nα…α=0。
2.2　导数变号判定法
令g(t) = f(x0+tk1,y0+tk2),则可得到f沿k方向且过点P0的一阶方向导函数:
g′(t) = f′x(x0+tk1,y0+tk2)k1+f′y(x0+tk1,y0+tk2)k2(6)
每固定一组k1,k2就得到一条曲线g(t)。当t由负变化到正时(在t=0附近),考察对所有方向(即任意的k1,k2值),也即
是所有的g(t),是否g′(t)也全都由负变化到正(P0为极小点),或全都由正变化到负(P0为极大点)。若不是这二种情形,则P0
不是f的极值点。
上述二种方法,完全适用于n元函数(n>2)。其关键之处就是所求曲面的极值点就是曲线族{g(t)}中所有曲线的公共极
值点。
3　多元函数条件极值的求法和判定
3.1　降维求极法
对于u= f(x1,x2,…,xn)满足条件Gi(x1,x2,…,xn)=0(i=1,2,…,m)的极值,可按降为n-m维函数,转化为非条件极
值的思路求解。
不妨设(xn-m+1,…,xn)(x1,…,xn-m≠0 ,则以x1,x2,…,xn-m为独立的变量(自变量),
xn-m+1,xn-m+2,…,xn为因变量,这时它们是一组彼此独立的函数。
设k = (k1,…,kn-m为该n-m维子空间中的一个任意单位向量,作辅助函数:
g(t) = f(x1+tk1,…,xn-m+tkn-m,xn-m+1,…,xn)(7)
和Gi(x1+tk1,…,xn-m+tkn-m,xn-m+1,…,xn)(i =1,2,…,m)(8)。
则g′(t)和dGidt分别是f和Gi(i =1,2,…,m)沿k方向且过P(x1,x2,…,xn)点的方向导函数,特别g′(0)就是f在点P沿
k方向的方向导数。
求导过程中把xj(j > n-m)作为t的函数,按链锁规则进行,由
dGi
dt=0(i=1,2,…,m)解出dxjdt(j= n-m+1,…,n),再代入g′(t)。显然dGidt=0(i=1,2,…,m)是一个关于dxjdt(j=
n-m+1,…,n)的m元线性方程组。
令g′(0)=0,此时g′(0)是关于k1,…,kn-m的多项式,要使对任意的k均有g′(0)≡0,则必有g′(0)的各项系数均为0。由此
即得n-m个关于x1,…,xn的方程,再与Gi(x1,x2,…,xn) =0(i =1,2,…,m)合为n个方程,解得驻点P0(x01,…,x0n)。这是
一个n元的方程组。
对P0是否f的极值点的判定问题,即可直接利用前述的非条件极值判定方法解决。但在求g(t)的各阶导数中,注意每次都
要将已求出的dxjdt(j > n-m)代入,这样即可保证不会出现关于xj的高阶导数。
利用上述方法解条件极值问题,要解一个m元方程组和一个n元的方程组。而用Lagrange乘数法,则要解一个n+m元方
程组。显然前者复杂程度低于后者。并且Lagrange乘数法没有解决条件极值的判定问题。
3.2　示例
例2:将一个正数a分解为n个非负数之和,并使它们的乘积为最大。
解:即是求f(x1,…,xn) = x1x2…xn,其中xi 0(i =1,2,…,n)
在条件x1+x2+…+xn=α下的极大值。
首先,求驻点,步骤如下:

(1)设k = (k1,…,kn-1为一个n-1维的任意单位向量,
(2)作辅助函数
g(t) = f(x1+tk1,…,xn-1+tkn-1,xn) = (x1+tk1)…(xn-1+tkn-1)xn,
则有:
g′(t) = (x2+tk2)…(xn-1+tkn-1)xnk1+…+(x1+tk1)…(xn-2+tkn-2)xnkn-1+(x1+tk1)…(xn-1+tkn-1)dxndt,
(3)由(x1+k1t)+(x2+k2t)+…+(xn-1+tkn-1t)+xn=α两边同时微分
解得dxndt=-(k1+…+kn-1)。
32(4)将求出的dxndt代入g′(0)得:
g′(0) = x2…xn-1(xn-x1)k1+x1x3…xn-1(xn-x2)k2+…+x1…xn-2(xn-xn-1)kn-1
令ki(i =1,…,n-1的系数全为0,及x1+x2+…+xn=α得n个方程,
解得:x1= x2=…= xn=αn;
然后,判定极值类型,步骤如下:
(1)把x1= x2=…= xn=αn代入g′(t)得:
g′(t) =-t·(αn+tk2)…(αn+tkn-1)k21+(αn+tk1)(αn+tk3)…(αn+tkn-1)k22+…+(αn+tk1)…(αn+tkn-2)k2n-1
(2)判断g′(t)符号变化情况:
∵αn>0且| ki| 1(i =1,2,…,n-1),所以当t在0附近变化时,恒有αn+tk1>0(i =1,…,n-1)。所以,在t=0
附近,当t由负变化到正时,g′(t)恒由正变化到负,所以,f在x1=…,xn=αn时,有极大值。
4　小结
本文探讨了多元函数极值的判定问题,讨论了一元函数与多元函数微分的内在联系。把一元函数极值的判定方法和结论,
应用到多元函数极值的判定中,化多元为一元,化曲面为平面曲线,使问题更加直观、简化。较为圆满地解决了多元函数极值与
条件极值的判定问题。对于条件极值的降维求极法也显然比拉格朗日乘数法简便。这些结论从理论上证明也是容易的,限于篇
幅,这里就不做严谨的证明了。
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General Methods of Determining the Type of Extremum and
Constrained Extremum of Multivariate Function
Li Andong
(Department of Computer Science,Anhui University of Science and Technology,Huainan,Anhui,232000)
Abstract:This article has completely discussed two general methods of determining the types of extrema and constrained extrema
of multivariate functions.It has introduced a new way to work out their values,too.Through researching the relationship between
one-variate differential and multivariate differential,the problems about extrema of multivariate function can be transformed as the
questions of deciding positive definition or negative definition of quadric forms.Moreover,they can be also turned into determining
whether the sign of a first order directional derivative function is changed from positive to negative or vice versa.With regard to the
constrained extremum,it has studied a means called degrading dimensi

ons to compute extremum values,which is suitable for all
situations and is more intuitionistic and convenient than Lagrange Multipliers.Besides,it has solved the problem of determining the
type of constrained multivariate extremum simultaneously.
Key words:extremum of multivariate function;determining multivariate function extremum;deciding positive definition or negative
definition;determining the change of derivative sign;computing extrema through degrading dimensions
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