(完整word)高难度压轴填空题-数列

1. 等比数列}{n a 首项为正数，8,10243262===⋅--k k k a a a a ，若对满足128>t a 的任意

t ，m t

k t k ≥-+都成立，则实数m 的取值范围是____________]8,(--∞ 解析：7122262=⇒=-+⇒=⋅-k k k a a a k k ，则22,85643=⇒===-q a a a k

12-=n n a ，82212871>⇒>⇒>-t a t t ，1714--≤⇒≥-+t

m m t k t k 递增，9≥t ，27-≤-t ，817714-=--≥-∴t

2. 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有)1(2)2(+=+x f x f )(x f -，且6)3(,2)1(==f f ，则_______)2009(=f 4018

解析：实际上是等差数列问题

3. 2

222222220091200811...413113*********++++++++++++=S ，则不大于S 的最大整数][S 等于_______2008 解析：1111)1(1)1()

1(11122+-+=+++=+++n n n n n n n n 2008][2009112008=⇒-

+=S S 4. 已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项

和的最大值为()f t ，则()f t = . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++)(4)

1()(4222为奇数为偶数t t t t

t

解析：关键是(,)t n ∈∈**N N

5. 对任意x ∈R ，函数()f x 满足2

1)]([)()1(2+-=+x f x f x f ，设2[()](),n a f n f n =-数列{}n a 的前15项和为31,(15)16

f -则= ．43 解析：关键之一：不要误入化简函数式的误区； 关键之二：能否看出]1,21

[)(∈x f ；（21)1(≥

+x f ） 关键之三：)2

1)(21(]1)()[(11--+-=-=--n n n a a n f n f a 得411-=+-n n a a ，从而16

315-=a ，反代可得43)15(=f

6. 设1250,,,a a a L 是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，

若222212501509,(1)(1)(1)107a a a a a a +++=++++++=L L 且，则1250,,,a a a L 中数字0的个数为 11

解析：由题意，5021,...,,a a a 里有9个1，其余不是0，就是成对出现（1，-1），设有n 个0，m 对（1，-1），则412=+n m ，再由

71361074107)1(...)1(25021=-=+⇒=++++n m a a ，解得11,15==n m

7. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有

135 2

n n n k a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩n n 1n a a k a +为奇数为偶数,是使为奇数的正整数，若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______1或5

解析：当n a 为奇数时，531+=+n n a a 为偶数，k n n a a 2

532+=+为奇数，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，故p p p k k 5322

53+=⇒+=，0>p ，故1=p 或5 8. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数.若a 1=d ，b 1=d 2，且3

21232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________21 解析：（2007全国联赛）因为22111212121321232221114)2()(q

q q b q b b d a d a a b b b a a a ++=++++++=++++，故由已知条件知道：1+q +q 2为m 14，其中m 为正整数。令m

q q 1412=++，则 m m m q 4356211144121-+-=-++-=。由于q 是小于1的正有理数，所以3141<

，即5≤m ≤13且m m 4356-是某个有理数的平方，由此可知2

1=q 9. 已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝n 2n －1

对任意n ∈N *恒成立， 则a 10b 5的值为 1917 解析：S n T n ＝n 2n －13

412)12()12(1212--==--=⇒--n n T S b n a n b a n n n n n n ，等差数列{a n }和{b n }，故设=n a )12(-n k ，)34(-=n k b n ，然后直接计算

10. 已知数列{},{}n n a b 满足1211,2,2,a a b ===且对任意的正整数,,,,i j k l 当i j k l

+=+

时，都有i j k l a b a b +=+，则221n

i i i i i a b a b =+=∑ . 解析：令1,2,,1-====n l k n j i ，则1121+=⇒+=+-n b b a b a n n n

再令2,1,1,=-===l n k j n i ，则n a n =

1

112)1(122)1()1(2222

2+-+=+++=+++=+k k k k k k k k k k b a b a k k k k 11. 在平面直角坐标系中，定义⎩⎨⎧+=-=++n n n n n n x y y x y x 1

1为点),(n n n y x P 到点),(111+++n n n y x P 的一个变换为""γ变换，已知)1,0(1P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，),(111+++n n n y x P

是经过""γ变换得到的一列点，设1+=n n n P P a ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，那么10S 值为__________23131+

解析：),(),,(1n n n n n n n n y x P x y x y P +-+，则 n n n n n n n n x x y x y x y x 2)()(112=--+=-=+++，隔项成等比数列

从前几项找规律：),....8,0(),4,4(),4,0(),2,2(),2,0(),1,1(),1,0(7654321P P P P P P P

24,4,22,2,2,1654321======a a a a a a ，成等比数列

12. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，令n

S S S T n n +++=Λ21，称n T 为数列n a a a ,,,21Λ的“理想数”，已知数列40021,,,a a a Λ的“理想数”为2005，则40021,,,,11a a a Λ的“理想数”为_________ 2011

解析：

2011401

400200540111401)11(...)11(11,400...200540014014001=⨯+⨯=+++++=++=S S T S S 13. 已知函数()x x x f tan sin +=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-

∈2,2ππn a ，且公差0≠d ，若()()()02721=+++a f a f a f Λ，当()0=k a f 时，则k 的值为_________14 解析：注意到)(x f 为奇函数且在⎪⎭⎫ ⎝

⎛-∈2,2ππn a 上单调递增，若()0=k a f ，则0=k a ，,........0)()(01111=+⇒=++-+-k k k k a f a f a a ，若14≠k ，则必然在其左或右多出几项，