自然坐标极坐标

aτ ≡ 0 变速率运动 an ≡ 0 曲线运动
r 例：设一质点在半径为 的圆周上以匀速率 v 0 运动，
写出自然坐标系中质点的速度和加速度。
解：建立如图坐标系 以 O ′为自然坐标系的原点和计时起点
r v0
s O r O′
v0
=
ds dt
r v
=
ds τr
dt
=
v 0τr
r v0
s O r O′
v
ds
dθ
r n
dt ds
=
v2
r n
曲率
ρ 曲率半径
∴
r a
=
dv dt
τr
+
v2
ρ
r n
=
r aτ
+
r an
切向加速度：
r aτ
=
d v τr
dt
r aτ
τr
θ
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r a
an r
n
描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。
法向加速度：
r an
=
v2
ρ
r n
描述速度方向改变的快慢，不影响速度的大小。
练习
教材第44页例6
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方程为
θ = t 3 + 4 t + 3 ( SI )
（1）t =2s 时，该点的角速度和角加速度为多大？
（2）若主轴直径 D = 40 cm，求 t = 1 s 时,
该点的速度和加速度
思路：（1）θ ( t ) → ω( t ) → β ( t ) → t = 2
方向: 右手定则
ωr
旋转方向
O ∆θ
R α
rP r
r v
o′
ωr
复习 矢量的乘法
r rrr A = Axi + Ay j + Azk r rrr B = Bxi + By j + Bzk
zr
rr A× B
B
r
r
kα A
rr
y
i Oj
标积（点积）：
x
rr
A ⋅ B = A ⋅ B ⋅ cosα = Ax Bx + AyBy + Az Bz
y
r
r
v0
v0
r aO
rs
θ
O′
x
r a
=
aτ τr
+
r ann
aτ
=
dv dt
=
d2s dt 2
=0
an
=
v2
ρ
=
v02 r
因此，
r a
=
r an
=
v02 r
r n
在直角坐标中重做，可发现 用自然坐标描述匀速率圆周 运动较直角坐标简便。
练习:3.一物体做抛体运动,已知 v0 ,α 讨论：
r
v0
r
第三节 运动的描述（续）
一. 描述质点运动的基本物理量及其直角坐标描述 二.质点运动的自然坐标描述
自然坐标系 :
原 点: 固接于质点,
坐标轴: 沿质点运动轨道的
切向和法向。切向以质点
前进方向为正，记做 τr ，
法向以曲线凹侧方向为
正，记做
r n
。
τr
τr B
A
r
n
r
n
1. 在自然坐标中描述质点的运动 (1)位置：在轨道上取一固定点O，用质点距离O的 路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有正 负之分。
A
r g
τ
r n
α
B τr
r
g
r n
r n
C
r
τr
g
A
r a
r g
aτ − g sinα
an g cosα
ρ
v02
gcosα
Br g
0
g
v02cos2α
g
Cr g
g sinα
g cosα
v02
gcosα
三. 圆周运动的角量描述
线量 —— 在自然坐标系下，基本参量以运动曲 线为基准，称为线量。 角量 —— 在极坐标系下，基本参量以旋转角度 为基准，称为角量。
dt
dt 2
注意：角加速度不是矢量 （参看《教与学参考》Ｐ71）
5.角量与线量的关系 s = Rθ ∆s = R∆θ
P′( t + ∆t )
∆s
R ∆θ
Oθ
P( t )
s
O' 参考
方向
v = ds = R dθ = Rω
dt
dt
aτ
=
dv dt
=
R dω
dt
=
Rβ
an
=
v2
ρ
=
( Rω
R
)2
=
Rω 2
（2）由角量与线量的关系
解：（1）由运动方程得边缘一点的角速度 和角加速度
θ = t 3 + 4 t + 3 ( SI )
ω = dθ = 3t2 + 4
矢积（叉积）：
rrr rr i jk A × B = Ax Ay Az
Bx By Bz
rr
大小： A × B = A ⋅ B ⋅ sin α
方向：右手定则，
rr
垂直于（ A, B ）平面
4. 角加速度
平均角加速度:
β = ∆ω
∆t
角加速度:
β = lim ∆ ω = dω = d 2θ
∆t→ 0 ∆t
dt dt
rr a ≠ aτ
r ∆v vB
练习： 2. 判断下列说法是否正确？
教材第41页例5
1） an恒等于零的运动是匀速率直线运动。 ×
2） 作曲线运动的质点 an不能为零。恒 ×
3） aτ恒等于零的运动是匀速率运动。 √ 4） 作变速率运动的质点 aτ不能为零。恒 ×
小结： (1) aτ ≡ 0 匀速率运动; (2) an ≡ 0 直线运动;
(2)位置变化: ∆s
(3)速度：沿切线方向。
r
r Qv =
dr
= ds
dt
dt
r ∴v
=
r v
τr
=
d s τr
dt
Ｐv∆r sτr P′
s
r n
o
(4)加速度：
v v
A
v v
v ∆v
v v
B
A
∆s
B
r
D
rr vA ∆vn
∆v C
∆v r ∆vτ
rE
∆θ vB
A
B
速度的改变为：
rr r ∆v = ∆vτ + ∆vn
r
r
r
∴
r a
=
lim
∆t→ 0
∆v ∆t
=
lim
∆t→ 0
∆ vτ ∆t
+
lim
∆t→ 0
∆vn ∆t
r
r
r
∴
r a
=
lim
∆t→ 0
∆v ∆t
=
lim
∆t→ 0
∆ vτ ∆t
+
lim
∆t→ 0
∆vn ∆t
v v
A
v v
v ∆v
v v
B
A
∆s
B
r
D
rr vA ∆vn
∆v C
∆v r ∆vτ
rE
∆θ vB
v均是速率，不是速度，求解时，应代入速率求解
r a
=
r
aτ τ
+
r ann
=
dv dt
τr
+
v2
ρ
r n
大小：
r a=
aτ 2 + an2
r aτ
τr
θ
r
r a
an r
n
方向：
r a
与
r
r aτ
的夹角
θ = arctg an
aτ
a 总是指向曲线凹侧
r
练习： 1.讨论 dv = dv ?
r vA
r ∆v
A
B
第一项
r
∆ vτ
lim
∆t→ 0
∆t
=
lim
∆t→ 0
∆v ∆t
τr
=
d v τv
dt
v
v
∆v
v
A
v ∆s
v A
B
A
v
r
v B
rD r
vA ∆vn
∆v
∆v r C
∆ vτ
∆θ
r vB
E
B
第二项
r
lim
∆t→ 0
∆vn ∆t
=
v∆θ
lim
∆t→ 0
∆t
r n
=
vdθ
dt
r n
y
∆s ∆θ
A
x
o
=
1.角位置 θ 2.角位移 ∆θ
单位 rad
逆时针为正
P′( t + ∆t )
∆s P( t )
O
∆θ R
θ
s
O'
参考
方向
3.角速度
平均角速度: ω = ∆θ
∆t
角速度: ω = lim ∆θ = dθ
∆t→0 ∆t dt
角速度矢量 ωr
方向：右手螺旋法则
垂直于运动平面，沿轴
r v
=
ωr
×
r r
大小:v = ω rsin α = ωR