1-1 线性方程组的同解变形

1-1 线性方程组的同解变形
同解的含义 方程的加法、数乘、 线性组合
问
题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解(solution)。
其中第i个数称为解的第i个分量。
关于解的基本问题
• 方程组有解乎？如果有解， 有几个解？ • 怎样求方程组的解？ • 解的表示是神马样的？ • 解的几何结构如何？（如一 个二元一次方程表示一条平 面直线）
• 解的每个分量都由方程组的系数经过加、 减、乘、除四则运算得到。如果原方程 组的系数都是实数, 由于实数集合对加、 减、乘、除四则运算封闭 (除数非 0), 方 程组的唯一解的所有分量就都是实数。
• 定义：设 F 是复数集合的子集, 至少包 含一个非零的数, 并且在加、减、乘、除 运算下封闭 (除数不为 0), 称 F是数域。 例：复数集、实数集 、有理数集。 • 如果线性方程组的系数都在某个数域 F 的范围内, 并且方程组有唯一解, 则解的 分量都在 F 的范围内。 • 没有特别指明时，本课程都讨论实数域。
初等变换的升华---线性组合
• 方程的线性组合: 将 m 个方程分别乘 以m 个已知常数，再将所得的m 个方程相 加, 得到的新方程称为原来那 m 个方程的 一个线性组合。 • 原来方程组的解,也是这些方程的任一 个线性组合的解。 • 注意: 线性组合的系数中可以有些是 0。
• 如果方程组 (II) 中每个方程其余都是方程组 (I) 中 的方程的线性组合, 称方程组(II) 是方程组 (I) 的线 性组合. 此时方程组 (I) 的每一组解也都是方程组 (II) 的解。 • 如果方程组 (I) 与方程组 (II) 互为线性组合, 这两个方程组一定同解。
• 证：只须用同解的定义。 • 说明：该定理 所说的三类同解变形, 称为线性方 程组的初等变换。这三类初等变换都是可逆的： 如果方程组(I)通过初等变换变成了方程组(II), 则 方程组(II)也可以通过初等变换变回(I)。
二、方程的加法、数乘、线性组合
• 方程的加法：等式 两边同时相加。
• 方程的数乘：方程两边同时乘以常数。
一、同解的含义
• 如果方程组 (I) 的解都是方程组 (II)的 解,且方程组 (II) 的解都是方程组 (I)的 解, 称这两个方程组等价。此时两个方 程组的同解。 • 解方程组的基本方法, 就是将方 程组进行适当的同解变形, 直到 最后得到的方程组的可以写出 来为止。
• 定理 方程组的以下三种变形是同解变形： (1) 交换其中任意两个方程的位置, 其余不变; (2)将任一个方程乘以一个非零的常数, 其余不变; (3)将任一方程的常数倍加到另一方程上, 其余不变。