数理方程与特殊函数教学大纲

《数理方程与特殊函数》教学大纲
课程名称：数理方程与特殊函数(Equations of Mathematical Physics and Special Functions)
课程编号：FX042120B
学分：2.5
总学时：40
适用专业：光电信息类专业，也可供其它专业选用
先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《积分变换》
一、课程性质、目的与任务:
通过本课程学习，使学生初步掌握数学物理方程的基本理论与方法，为学习有关专业课程与扩大知识面提供必要的数学基础。

二、教学基本要求:
了解典型方程的建立，定解问题及线性偏微分方程的迭加原理；熟练掌握分离变量法，会应用变量代换法、积分变换法与格林函数法，会用贝塞尔函数与勒让德函数有关的定解问题。

本课程的内容按教学要求的不同，概念、理论从高到低用“理解”、“了解”一词表述，方法、运算用“掌握“一词表述。

第一章一些典型方程和定解条件的推导
1、了解三类典型方程的物理背景和导出步骤；
2、了解定解条件所反映的物理意义；
3、了解三种定解问题（初值问题、边值问题、混合问题）的区别。

知道不同方程有不同的定解问题的提法；
4、知道并掌握线性偏微分方程解的叠加性质。

第二章分离变量法
1、掌握分离变量法，能应用于振动方程、传导方程的混合问题和特殊区域上拉普拉斯方程的狄里克莱问题；
2、掌握求解非齐次方程的固有函数法和齐次化原理；
3、了解对于非齐次边界条件的处理方法。

第三章行波法与积分变换法
1、会用行波法导出一维波动方程的达朗贝尔公式（限于齐次方程）；
2、了解弦振动问题的“依赖区间”、“决定区域”和“影响区域”的概念；
3、了解三维波动方程的泊松公式的导出方法；
4、会用降维法从三维波动方程的泊松公式导出二维波动方程的泊松公式以及一维波动方程的达朗贝尔公式；
5、会用付里叶变换和拉普拉斯变换求解一些定解问题。

第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
1、了解拉普拉斯方程两种定解问题（狄里克莱问题和诺依曼问题）的提法，（每种问题又分内问题和外问题）；
2、会从高斯公式导出格林第一、第二公式；
3、知道三维（二维）拉普拉斯方程的基本解
)1ln (100M M M M r r ，会借助基本解从格林
第二公式导出调和函数的积分表达式；
4、了解引进格林函数的目的，及格林函数的物理意义；
5、掌握上半空间和球域的格林函数及相应的泊松公式，会用公式求解定解问题。

第五章 贝塞尔函数
1、了解贝塞尔方程的一般形式、它的级数解（贝塞尔函数），以及它的通解形式；
2、掌握贝塞尔函数的基本递推公式；
3、了解贝塞尔函数的零点分布和带权正交性，会把函数展开成贝塞尔函数的级数形式；
4、应用贝塞尔函数求定解问题。

第六章 勒让德多项式
1、了解勒让德方程的一般形式、它的级数解（勒让德多项式），以及它的通解形式；
2、掌握勒让德多项式的基本递推公式；
3、了解勒让德多项式正交性，会把函数展开成勒让德多项式的级数形式；
4、能应用勒让德多项式求定解问题。

三、教学内容:
(一) 第一章 一些典型方程和定解条件的推导 4学时
1、§1.1 基本方程的建立 2学时
2、§1.2 初始条件与边界条件、§1.3定解问题的提法 2学时
(二) 第二章 分离变量法 12学时
1、§2.1 有界弦的振动、§2.2有限长杆上的热传导 4学时
2、§2.3圆域内的二维Laplace 方程的定解、§2.4非齐次方程的解法 4学时
3、§2.5非齐次边界条件的处理、习题课 4学时
(三) 第三章 行波法与积分变换法 6学时
1、§3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 2学时
2、§3.2 三维波动方程的泊松公式 2学时
3、§3.3积分变换法举例 2学时
(四) 第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 6学时
1、§4.1拉普拉斯方程边值问题的提法、§4.2 格林公式 3学时
2、§4.3格林函数、§4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 3学时
(五) 第五章 贝塞尔函数 6学时
1、§5.1、§5.
2、§5.3 3学时
2、§5.4、§5.5、§5.6 3学时
(六) 第六章勒让德多项式6学时
1、§6.1、§6.
2、§6.3 4学时
2、§6.4函数展成勒让德多项式的级数2学时
四、教学参考书
使用教材：
《数学物理方程与特殊函数》(第三版)，东南大学数学系，王元明编，高等教育出版社出版，2004.1.
参考书：
1.《数学物理方法解题指导》，胡嗣柱、徐建军，高等教育出版社1997.
2.《数学物理方法典型题》，李惜雯，西安交通大学出版社2001.。