湘教版九年级数学下册《切线长定理》精品教案

《切线长定理》精品教案

系呢？学完本节课都能解决这些问题了，让我们一

起来学习一下吧。

讲授新课

一、切线长的概念

【说一说】

如图，将三角尺的一条直角边过⊙O外一点

P及圆上的点A，另一条直角边过圆心O，然后作直线PA，则PA是⊙O的切线.用同样的方法可作出切线PB.你能说出PA和PB是⊙O的切线的理由吗？

（出示课件5）

解析：根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可得：OA为⊙O半径，PA⊥OA于A，PA即为⊙O的切线。OB为⊙O半径，PB⊥OA于A，PB 即为⊙O的切线。

【切线长的概念】

切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长。

（出示课件7）

师：上图所示的哪几条线段叫做切线长呢？

回答：线段PA，PB的长度是点P到⊙O的切线长。

师：切线和切线长一样吗？它们有什么联系和区别？

回答：切线：PA、PB所在的直线；

切线长：线段PA、PB的长度。

切线和切线长是两个不同的概念：思考并回答问

题

思考并回答问

题

通过具体的练

习，让学生理解

切线的判定定理

通过提问，让学

生知道切线和切

线长的区别

1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；

2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

二、切线长定理

【探究】在透明纸上画出图，设PA，PB是

⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP 将图形对折，你发现了什么？

（出示课件10）

师：PA、PB有怎样的数量关系？

PO与∠APB又有怎样的关系？

回答：PA=PB

PO平分∠APB，即∠APO=∠BPO

师：该如何证明呢？

（出示课件12）

证明：连接OA，OB.

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴∠PAO=∠PBO=90°，即△PAO和△PBO 均为直角三角形.又∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△PAO≌Rt△PBO.

∴PA=PB，∠APO=∠BPO.

【切线长定理】

师：我们可以的得到结论，过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。这个结论即为切线长定理。

师：几何语言该如何表达呢？

（出示课件13）

几何语言：

∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴PA=PB，∠动手操作，发

现问题并证明

观看课件，思

考并回答问题

通过实际操作，

让学生在探究中

习得知识

通过提问，让学

生知道切线长定

理以及其几何表

达

APO=∠BPO.

师：切线长定理为证明线段相等、角相等，弧相等，垂直关系提供了新的方法。

【切线长定理的拓展】

探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切

点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.

（出示课件14）

（1）写出图中所有的垂直关系

回答：OA⊥PA，OB⊥PB AB⊥OP

（2）写出图中与∠OAC相等的角

回答：∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC

（3）写出图中所有的全等三角形

回答：△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP

（4）写出图中所有的等腰三角形

回答：△ABP△AOB

三、切线长定理的应用

师：在解决有关圆的切线长问题时，往往我们需要构建基本图形。

（出示课件16）

我们该怎样添加辅助线呢？

回答：与圆的切线相关的添加辅助线的方法：

（1）分别连接圆心和切点

（2）连接两切点

（3）连接圆心和圆外一点

【例题讲解】

如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连思考并回答问

题

思考并回答问

题

引导学生思考问

题，让学生能够

举一反三

通过提问，让学

生知道解决圆的

切线长时，有哪

些添加辅助线的

方法

接BD。

求证：CO∥BD。

（出示课件17）

解析：连接AB，因为AD为直径，那么∠ABD＝90°，即BD⊥AB.因此要证CO∥BD，只要证CO⊥AB即可。

证明:连接AB.

∵CA，CB是⊙O的切线，点A，B为切点，

∴CA=CB，∠ACO=∠BCO.∴CO⊥AB.

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，

即BD⊥AB.

∴CO∥BD.完成例题通过具体的练

习，让学生巩固

切线长定理

巩固练习 1.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线相等。这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹

角。

即：如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，则PA=PB，PO平分∠AOB。

2.如图，直尺、三角尺均和圆O相切，AB＝8cm，求⊙O的直径。完成练习题通过做练习题，

让学生巩固本节

课所学知识

分析：连接OE，OA，OB，根据切线长定理和切线性质可得∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠EAC，求∠EAC即可求出∠OAB和∠BOA，进而求出OA，再根据勾股定理求出OB即可。

解：如图，连接OE，OA，OB.

∵AE，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OA B＝∠BAE.

∵∠EAC＝60°，∴∠BAE＝120°，

∴∠OAB＝×120°＝60°，

∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16cm，

由勾股定理得

(cm)，

即⊙O的半径是cm，∴⊙O的直径是16 cm.

3.如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 和⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CD。

证明：由切线长定理得: