ch4_3脉冲响应不变法和双线性变换法

解：(3) 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
0.5081 j 0.5081 j
HL(s)
s s1
s s2
极点为s1= 0.5081 + 0.5080j, s2= 0.5081 0.5080j
利用
1 s si
1
1 e siT
z
1
可得DF的系统函数为
H
(
z)
1
0.2974 1.0514z1
1 T
n
H
j
W
2πn T
=
1 T
n
H
Baidu Nhomakorabea
j(w
2πn ) T
无混叠时： H (e jW ) 1 H ( j W), W π TT
数字滤波器在W点的频率响应和模拟滤波器 在w 点的频率响应只差一个常数因子1/T。
数字频率W与模拟频率w的关系为 W wT
9
例1: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
10
例1: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
00
DF AF
5
10
15
20
25
Hz
fsam=50 Hz
11
例1: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
4
问题的提出
频率
Wp,Ws 变换
设计模拟
AF到DF
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
的转换
如何将模拟滤波器转变为数字滤波器? 1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
5
脉冲响应不变法的基本原理
对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样 来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]
h[k ] h(t ) tkT
z 1 0.3620
z
2
17
例2：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB，T=1s。
%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from passband specfication wc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2); %determine the AF-BW filter [numa,dena]=butter(N,wc,'s');
N=1, wc = wp
故
H (s) 1 1
s wc 1 s wp 1
1 sT 1
2 tan(W p 2)
31
例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计
稳定性分析
s
2 T
1 1
z z
1 1
z2Ts 2T s
令s=+jw，则有
z
(T 2 )2 w2 (T 2 )2 w2
24
双线性变换法的基本原理
稳定性分析
z
(T 2 )2 w2 (T 2 )2 w2
1 <0, |z|<1 S域左半平面映射到z域单位圆内
2 0, |z|=1 S域虚轴映射到z域单位圆上
18
例2：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB，T=1s。
%determine the DF filter
[numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs);
%plot the frequency response
Fs：抽样频率
numd, dend：DF分子、分母多项式的系数向量
30
例3：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计
一个3dB截频为Wp的数字低通滤波器，并与脉冲响
应不变法设计的DF比较。
解：设双线性变换中的参数为T
(1) 将DF的频率指标转换为AF的频率指标
wp
2 T
tan( W p
2
)
(2) 设计3dB截频为wp的一阶BW型模拟低通滤波器，即
%computer Ap As of the designed filter
w=[Wp Ws];
h=freqz(numd,dend,w);
fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10( abs(h(1))));
fprintf('As= %.4f\n',-20*log10( abs(h(2))));
y(t)dt
x(t)dt
(k 1)T dt
(k 1)T
(k 1)T
y[k] y[k 1]
用梯形面积
近似积分
T {y[k] y[k 1]}
2
T {x[k] x[k 1]}
2
22
双线性变换法的基本原理
原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统
dy(t) ay(t) x(t) H (s) 1
19
例2：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB，T=1s。
Gain,dB
0
-2
-4
Ap = 1.72dB
-6
As = 14.2dB
-8
-10
-12
-14
-16
-18
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
(1) 将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器的设计。 (2) 设计满足技术指标的模拟滤波器。 (3) 将模拟滤波器转换为数字滤波器。
频率
Wp,Ws 变换
设计模拟
wp,ws 滤波器
脉冲响应 不变法
H(s)
H(z)
双线性变换法
3
4.3 脉冲响应不变法 (Impulse Invariance)
问题的提出 脉冲响应不变法的基本原理 脉冲响应不变法设计DF的步骤
dt
sa
(1 aT ) y[k] (1 aT ) y[k 1] T x[k] x[k 1]
2
2
2
(T 2)(1 z1)
1
H(z) (1 aT 2) (1 aT
将H(z)和H(s) 比较可得
2) z 1
2 1 z1 T 1 z1
a
H (z) H (s) s 2 1z1 T 1 z1
23
双线性变换法的基本原理
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
利用H(s) 与H(z)的映射关系，可得
H
(
z)
1
wc
ewcT
z 1
AF与DF的频率响应分别为
H ( jw) wc jw wc
H
(e
jW
)
1
wc
ewcT
e
jW
其中W wT，抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
第4章 IIR数字滤波器的设计
4.1 模拟低通滤波器设计 4.2 模拟域频率变换 4.3 脉冲响应不变法 4.4 双线性变换法 4.5 利用MATLAB设计IIR DF
2
IIR数字滤波器设计的基本思想
wc
wp
(100.1Ap 1)1/(2N )
=0.7185
HL (s) (
s
1 )2 2
s
1
s2
0.5162 1.0161s 0.5162
wc
wc
16
例2：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB，T=1s。
13
脉冲响应不变法设计DF的步骤
1. 将数字滤波器的频率指标{Wk}转换 为模拟滤波器的频率指标{wk}
wk Wk T
2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。
3. 利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)。
Wp,Ws w=W/T
设计模拟
脉冲响应
wp,ws 滤波器 H(s) 不变法 H(z)
3 >0, |z|>1 S域右半平面映射到z域单位圆外
因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统
25
双线性变换法的基本原理
W和w 的关系
2 1 z 1 s T 1 z1
z 1 Ts 2 1 Ts 2
令s=jw，z=ejW ，则有
jw
2 1 e jΩ T 1 e jΩ
2 T
e jΩ e jΩ
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
20
40
60
Hz
fsam=200 Hz
DF AF
80
100
12
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法的优缺点 优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性
W wT
缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法 设计高通、带阻等滤波器。
0.9
1
Normalized frequency
20
4.4 双线性变换法
双线性变换法的基本原理 双线性变换法设计DF的步骤
21
双线性变换法的基本原理
原理：利用数值积分将模拟系统变换为数字系统
dy(t) ay(t) x(t) H (s) 1
dt
sa
kT
dy(t) dt a kT
kT
28
双线性变换法设计DF的步骤
1. 将数字滤波器的频率指标{Wk}转换 为模拟滤波器的频率指标{wk}
w k 2 tan( W k )
T2
2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。 3. 利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。
H ( z ) H ( s ) s 2 1 z1 T 1 z 1 29
w=linspace(0,pi,1024);
h=freqz(numd,dend,w);
norm=max(abs(h));
numd=numd/norm;
plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm)));
xlabel('Normalized frequency');
ylabel('Gain,dB');
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)
M
H(s)
Al
l1 s pl
H (z)
M
Al
l1 1 e plT z1
拉氏反变换
抽样t=kT
Z变换
H(s)
h(t)
h[k]
H(z)
1
1
s
pl
1
e
plT
z
1
8
脉冲响应不变法的基本原理
H(ejW)和H(jw)的关系
H (e jW )
14
脉冲响应不变法设计DF的步骤
脉冲响应不变法的MATLAB实现 [numd, dend] = impinvar(numa, dena, Fs) numa,dena：AF分子、分母多项式的系数向量 Fs=1/T：抽样频率 numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量
15
例2：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
h(t)
L1[H (s)]
L1
M
l1
Al s pl
M l 1
Ale pltu(t)
模拟滤波器极点为-pl
M
对h(t)等间隔抽样得 h[k] h(kT ) Ale plkTu[k]
l 1
H (z)
Z{h[k ]}
M
Al
l1 1 e plT z 1
77
数字滤波器极点为e plT
2 2
e jΩ e jΩ
2 2
j2 T
tan
W 2
W和w 的关系为
w 2 tan( Ω )
T2
26
双线性变换法的基本原理
双线性变换的频率非线性对DF幅度响应的影响
w
w
2 T
tan(W/
2)
ws
H ( jw)
wp
H(e jW )
W
p
W
Wp
Ws
27
双线性变换法的基本原理
双线性变换法的优缺点 ➢ 优点：无混叠 ➢ 缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤: 1．对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。 2．对h(t)等间隔抽样得到h[k]。 3．计算h[k]的z变换得到H(z)。
6
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
拉氏反变换
抽样t=kT
z变换
H(s)
h(t)
h[k]
H(z)
Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB，T=1s。
解：
(1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标w=W / T。
wp=0.2p, ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
(2) 设计模拟低通滤波器 （BW型）
100.1Ap 1
N
lg
100.1
As
1
=2
2lg(wp ws )
双线性变换法设计DF的步骤
w 2 tan(W )
Wp,Ws T
2wp,ws
设计模拟 滤波器
双线性变换
H(s)
H(z)
利用MATLAB
H(z)
H (s)
s
2 T
1 1
z z
1 1
[numd,dend] = bilinear(numa,dena,Fs)
numa, dena：AF分子、分母多项式的系数向量