用冲激响应不变法将以下
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1． 用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为
)(z H ，抽样周期为T
。
为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(02
2n s s A
s H b a s a s s H n
a a -=+++=
分析：
①冲激响应不变法满足)()()
(nT h t h n h a nT t a ===，
T 为抽样间隔。这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。 ②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式
1!
][+=n n
S
n t L ,
n
a n t s a S S A
s H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=
⇔-=-，
可求出 )()()
(kT Th t Th k h a kT t a ===，
又 dz
z dX z
k kx )
()(-⇔，则可递推求解。
解: (1)
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++
++=+++=
jb a s jb a s b a s a s s H a 1
121 )()(2
2
[]
)( 2
1)()()(t u e e t h t jb a t
jb a a --+-+=
由冲激响应不变法可得：
[]
)( 2
)
()()()(n u e e T nT Th n h nT jb a nT
jb a a --+-+==
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-==-----∞
=-∑110
11112 )( )(z e e z e e T z n h z H j b T aT jbT aT n n
2
211c o s 21c o s 1 ------+--⋅
=z e bT z e bT z e T aT aT aT
(2) 先引用拉氏变换的结论[]
1
!+=
n n s n t L 可得： n
a s s A
s H )()(0-=
)()!
1()(1
0t u n t Ae t h n t s a -=-则
)()!1()()()(1
0k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==-
dz
z dX z
k kx az k u a Z
Z
k )()(
, 11)( 1
-−→←-−→←-且按
)11()()!1( )()!1( )()(111
1110
00--∞=---∞
=----=-==
∑∑z
e dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n k k
T s n n k k
可得
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=-=-=∙
∙∙---,3,2)
1(1,1)(11
1
000n z e z e AT n z e AT z H n T s T S n T s ，可以递推求得：
2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：
2
'
4142136.111
)(s s s H a ++=
而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用
50
2⨯πs 来代替
424
'
10
8696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π 设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器
设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
分析：
阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统 阶跃响应的等间隔抽样，)()()(nT g t g n g a nT
t a ===,
由模拟系统函数)(s H a 变换成数字系统函数的关系式为：
}]])
([{[1)(1nT t a s
s H L Z z z z H =--=， 还要用到一些变换关系式。
解:
根据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应
的拉普拉斯变换为：
)(1
)(s H s
s G a a =
)108696044.928830.444(108696044.94
24
⨯++⨯=s s s 2
2
)14415.222()14415.222(14415
.222)14415.222(1++++-=s s s 由于
[]
20
2
0)()()(sin Ω++Ω=
Ω-a s t u t e L at []
20
2
0)()()(c o s Ω+++=Ω-a s a s t u t e L at
[]s t u L 1
)(=
故
[])()(1s G L t g a a -=
u(t)
)]} 14415.222cos( ) 14415.222[sin(1{ 14415.222t t e t +
-=-
则
)()(nT g n g a =