垂径定理教案 (2)
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学生踊跃回答问题
，
让学生自己找出垂径定理的条件和结论，目的是培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识。
小组合作探索交流，极大的调动了学生的积极性
培养学生的观察能力和分析能力，以及解决问题的能力。
总结规律，培养学生的归纳总结能力。
∴CD⊥AB，
（四）共同议一议：
看下列命题是否是真命题，如果是，请证明，如果不是，请举出反例。
1弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
2平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上两个命题都是真命题，他们都是垂径定理的推论，
命题1实质：条件（1）+（3）==>结论（2）（4）（5）
请同学们讨论一下如何描述圆的对称轴。
圆是轴对称图形，它还有哪些性质呢？
（三）
知识延伸
思维拓展
三、亲自证一证：
已知：CD是⊙O的直径，
AB是弦，AB⊥CD,猜想一下
会有那些等量关系。
你能用几何语言叙述本题的的含义吗？
垂径定理-----垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。（教师板书课题------22.3垂径定理）
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。（学生完成）
根据题设和结论，结合图形，我们可以进行证明。
已知：在⊙O中，
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，
分析：要求证线段相等，可以通过三角形或者等腰三角形性质，我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？
∵AE=BE
∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）
∵CD是直径
∴（垂径定理）
思考题：本题中为什么强调这条弦不是直径？
垂径定理推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
垂径定理推论的实质：
条件（2）+（3）===>结论（1）（4）（5）
书写格式：（1）∵AE=BE，CD为过圆心的直线，
学生在小组讨论过后，归纳垂径定理以及推论的条件和结论，并简述证明过程
闯关活动中，学生可以根据自身水平，选择题目参加闯关活动，题目由易到难，适合与不同层次的学生，尽量做到“人人都有收获”。
学生说出两个命题的题设和结论，并进行简径定理的规律以及定理的用途，为今后解决实际问题奠定基础
1用三角形全等
2等腰三角形“三线合一”
当把圆折叠时：
1两个半圆重合
2 AE、BE重合
3两段小弧各自重合。
让学生自己归纳命题的题设和结论，可以使学生更加熟悉与圆有关的语言叙述。
通过折叠的方法让学生对于垂径定理的基本图形加深印象。
（四）
齐心合力攻克难关
垂径定理的条件，
1）垂直于弦2）一条直线过圆心
垂径定理结论：3）平分弦4）平分劣弧5）平分优弧
强化对称轴是一条直线的概念。训练学生使用准确的数学语言描述问题。
二、动手折一折
请同学们拿出事先准备好的圆形纸片，按老师的要求来做。
在圆形纸片上任意画一条直径，然后把这个圆形纸片沿着这条直径对折，观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？（填空）
结论1圆是轴对称图形，
2它有无数条对称轴，
3经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
创设情境
引入新知
（二）
动手实践，合作探索
一、动脑想一想（出示幻灯片）
1请欣赏下列图片，并思考这些美丽的图案有什么共同特征？
2我们学过图形中轴对称图形有哪些？
它们各有几条对称轴呢？
3圆是不是轴对称图形呢？我们今天就来研究它。
学生通过观察，指出他们都是轴对称图形，并指出对称轴。
学生答：线段、等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆。
垂径定理教案---张广州
学校
右安门外国语学校
教师
张广州
课题
22.3垂径定理
课型
新课
课时
第一课时
教学方法
小组合作,探索交流
教材
人教版九年级数学上册第23章
教学目标
1知识技能目标：
理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。
2过程方法目标：
经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。
连结OA，OB，可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合？
你能使用几何语言推理出本题的结论吗？（学生
口述证明方法）
由折纸活动，学生很容易找出相等关系：
AE=BE,
学生说出题设和结论，如有错误，同学之间给予纠正。
学生想到连结半径OA，OB,并且有OA=OB。
学生通过折纸活动，很容易答出：圆是轴对称图形。它有无数条对称轴，对称轴是-----？
学生答案1：它的直径。、
学生答案2：经过圆心的直线
由图片引出轴对称的知识，并将其引入圆中来，可以使学生更深刻的体会生活中处处蕴含着数学.
回顾学过的几何图形的对称性，为下面学习圆的对称性做铺垫，
通过折纸活动，训练和提高学生的动手实践能力以及空间想象能力，为解决折叠问题提供思路，
书写格式：（1）∵AE=BE，，CD⊥AB
∴CD过圆心，
命题2实质：条件（2）+（4）==>结论（1）（3）（5）
书写格式：（2）∵CD是直径，，
∴CD⊥AB，AE=BE，
上述命题1、2也是垂径定理的推论内容，，
实际上，这五个条件，任意选择其中两个，都可以推出另外三个结论。
垂径定理和它的推论是我们证明与圆有关的弦、弧、线段相等的重要方法之一，
学会与人合作探索获得新知识的一些方法。
3情感态度与价值观：
通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。
教学重点
1垂径定理以及推论的证明，
2垂径定理的简单应用，
教学难点
垂径定理的简单应用
教学用具
多媒体,投影仪
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
教学意图
（一）
定理的用途;在圆中，证明线段相等，证明弧相等。
书写格式：∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB
∴AE=BE，
垂径定理实质：
条件（1）+（2）===>结论（3）（4）（5）
（四）例题分析
例1已知：在⊙O中，直径CD
交弦AB于点E，AE=BE，
求证：CD⊥AB，
证明：联结半径AO,BO，
∵半径AO=BO，
∴△AOB是等腰三角形
，
让学生自己找出垂径定理的条件和结论，目的是培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识。
小组合作探索交流，极大的调动了学生的积极性
培养学生的观察能力和分析能力，以及解决问题的能力。
总结规律，培养学生的归纳总结能力。
∴CD⊥AB，
（四）共同议一议：
看下列命题是否是真命题，如果是，请证明，如果不是，请举出反例。
1弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
2平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上两个命题都是真命题，他们都是垂径定理的推论，
命题1实质：条件（1）+（3）==>结论（2）（4）（5）
请同学们讨论一下如何描述圆的对称轴。
圆是轴对称图形，它还有哪些性质呢？
（三）
知识延伸
思维拓展
三、亲自证一证：
已知：CD是⊙O的直径，
AB是弦，AB⊥CD,猜想一下
会有那些等量关系。
你能用几何语言叙述本题的的含义吗？
垂径定理-----垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。（教师板书课题------22.3垂径定理）
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。（学生完成）
根据题设和结论，结合图形，我们可以进行证明。
已知：在⊙O中，
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE=BE，
分析：要求证线段相等，可以通过三角形或者等腰三角形性质，我们知道等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？
∵AE=BE
∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）
∵CD是直径
∴（垂径定理）
思考题：本题中为什么强调这条弦不是直径？
垂径定理推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
垂径定理推论的实质：
条件（2）+（3）===>结论（1）（4）（5）
书写格式：（1）∵AE=BE，CD为过圆心的直线，
学生在小组讨论过后，归纳垂径定理以及推论的条件和结论，并简述证明过程
闯关活动中，学生可以根据自身水平，选择题目参加闯关活动，题目由易到难，适合与不同层次的学生，尽量做到“人人都有收获”。
学生说出两个命题的题设和结论，并进行简径定理的规律以及定理的用途，为今后解决实际问题奠定基础
1用三角形全等
2等腰三角形“三线合一”
当把圆折叠时：
1两个半圆重合
2 AE、BE重合
3两段小弧各自重合。
让学生自己归纳命题的题设和结论，可以使学生更加熟悉与圆有关的语言叙述。
通过折叠的方法让学生对于垂径定理的基本图形加深印象。
（四）
齐心合力攻克难关
垂径定理的条件，
1）垂直于弦2）一条直线过圆心
垂径定理结论：3）平分弦4）平分劣弧5）平分优弧
强化对称轴是一条直线的概念。训练学生使用准确的数学语言描述问题。
二、动手折一折
请同学们拿出事先准备好的圆形纸片，按老师的要求来做。
在圆形纸片上任意画一条直径，然后把这个圆形纸片沿着这条直径对折，观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？（填空）
结论1圆是轴对称图形，
2它有无数条对称轴，
3经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
创设情境
引入新知
（二）
动手实践，合作探索
一、动脑想一想（出示幻灯片）
1请欣赏下列图片，并思考这些美丽的图案有什么共同特征？
2我们学过图形中轴对称图形有哪些？
它们各有几条对称轴呢？
3圆是不是轴对称图形呢？我们今天就来研究它。
学生通过观察，指出他们都是轴对称图形，并指出对称轴。
学生答：线段、等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆。
垂径定理教案---张广州
学校
右安门外国语学校
教师
张广州
课题
22.3垂径定理
课型
新课
课时
第一课时
教学方法
小组合作,探索交流
教材
人教版九年级数学上册第23章
教学目标
1知识技能目标：
理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。
2过程方法目标：
经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。
连结OA，OB，可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是⊙O的对称轴，当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合？
你能使用几何语言推理出本题的结论吗？（学生
口述证明方法）
由折纸活动，学生很容易找出相等关系：
AE=BE,
学生说出题设和结论，如有错误，同学之间给予纠正。
学生想到连结半径OA，OB,并且有OA=OB。
学生通过折纸活动，很容易答出：圆是轴对称图形。它有无数条对称轴，对称轴是-----？
学生答案1：它的直径。、
学生答案2：经过圆心的直线
由图片引出轴对称的知识，并将其引入圆中来，可以使学生更深刻的体会生活中处处蕴含着数学.
回顾学过的几何图形的对称性，为下面学习圆的对称性做铺垫，
通过折纸活动，训练和提高学生的动手实践能力以及空间想象能力，为解决折叠问题提供思路，
书写格式：（1）∵AE=BE，，CD⊥AB
∴CD过圆心，
命题2实质：条件（2）+（4）==>结论（1）（3）（5）
书写格式：（2）∵CD是直径，，
∴CD⊥AB，AE=BE，
上述命题1、2也是垂径定理的推论内容，，
实际上，这五个条件，任意选择其中两个，都可以推出另外三个结论。
垂径定理和它的推论是我们证明与圆有关的弦、弧、线段相等的重要方法之一，
学会与人合作探索获得新知识的一些方法。
3情感态度与价值观：
通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。
教学重点
1垂径定理以及推论的证明，
2垂径定理的简单应用，
教学难点
垂径定理的简单应用
教学用具
多媒体,投影仪
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
教学意图
（一）
定理的用途;在圆中，证明线段相等，证明弧相等。
书写格式：∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB
∴AE=BE，
垂径定理实质：
条件（1）+（2）===>结论（3）（4）（5）
（四）例题分析
例1已知：在⊙O中，直径CD
交弦AB于点E，AE=BE，
求证：CD⊥AB，
证明：联结半径AO,BO，
∵半径AO=BO，
∴△AOB是等腰三角形