定积分定义

解:
取分点为
Dxi
1 n
(i1,
2,
,
n1),
则
xi
i n
(i1,
2,
,
n).
在第i
个小区间上取右端点 x i
xi
i n
(i1,
2,
,
n).
于是
1e xdx lim
n
i
wk.baidu.comen
1
lim
1
(e
1 n
e
2 n
e
n n
)
0
n i1 n n n
1
1
1
lim
1 e n [1(e n
)n ] lim
e n [1e]
定积分概念与性质
一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质
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一、定积分问题举例
1.曲边梯形的面积
•曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、
y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
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abg(x)dx
.
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三、定积分的性质
性 •性质质11
ab[
f
(x)
g(x)]dx
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
.
性 •性质质22
abkf
(x)dx
k
b
a
f
(x)dx
.
>>>
性 •性质质33
b
a
f
(x)dx
c
a
f
(x)dx
b
c
f
(x)dx
.
>>>
注：值得注意的是不论a, b, c的相对位置如何上式总成立.
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间[a, b]上可积. •定理1
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x)在区间[a, b]
上可积.
•定理2
如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点,
则函数f(x)在区间[a, b]上可积.
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•定积分的几何意义
当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
(a<b).
•推论2
|
b
a
f
(x)dx|
ab|
f
(x)|
dx
(a<b).
•性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最
小值, 则
m(b
a)
b
a
f
(x)dx
M
(b
a)
(a<b).
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•性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,
记Dxixixi1 (i1, 2,, n), max{Dx1, Dx2,,Dxn};
•在小区间[xi1, xi]上任取一点xi (i1, 2,, n), 作和n f (xi)Dxi ;
•如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与i1区间[a, b]
的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上
定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变
量的记法无关, 即
b
a
f
(x)dx
b
a
f
(t)dt
b
a
f
(u)du
.
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二、定积分定义
❖定积分的定义
❖函数的可积性
b
a
f
(x)dx
n
lim
0 i1
f
(xi
)Dxi
.
如果函数f(x)在区间[a, b]上的定积分存在, 则称f(x)在区
.
这是因为
abab[[ff((xx))gg((xx))]]ddxx
nn
lliimm00ii11[[ff((xxii))gg((xxii))]]DDxxii
n
lim 0 i1
n
f
(xi
)Dxi
lim
0
i1
g(xi
)Dxi
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
.
n
m 0
i
1
g(xi
)Dxi
b
a
f
(x)dx
这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以
ab|
f
(x)|dx
b
a
f
(x)dx
ab|
f
(x) | dx
,
即
|
b
a
f
(x)dx|
ab|
f
(x)|
dx
.
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
b
a
f
(x)dx
0
(a<b).
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
x ————积分变量,
a ————积分下限,
b ————积分上限,
[a, b]———积分区间，
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二、定积分定义
❖定积分的定义
b
a
f
(x)dx
n
lim
0 i1
f
(xi
)Dxi
.
根据定积分的定义,
曲边梯形的面积为A
b
a
f
(x)dx
.
变速直线运动的路程为S
T2v(t)dt
T1
.
说明：
n
(3)求和:
曲边梯形的面积近A 似li为m 0 i1
f
(xi )Dxi
;.
(4)取极限: 设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
A
lim
0 i1
f
(xi )Dxi
.
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2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值. 一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)
及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.
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•利用定义计算定积分
例1 利用定积分定义计算 01e xdx .
01(1
x)dx
1 11 2
1 2
.
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三、定积分的性质
❖两点规定
(1)当 ab 时,
b
a
f
(x)dx
0
;
(2)当 ab 时,
b
a
f
(x)dx ba
f
(x)dx
.
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三、定积分的性质
性 •性质质11
ab[
f
(x)
g(x)]dx
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
的定积分,
记为
b
a
f
(x)dx
,
即
b
a
f
(x)dx
n
lim
0 i1
f
(xi
)Dxi
.
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二、定积分定义
❖定积分的定义
b
a
f
(x)dx
n
lim
0 i1
f
(xi
)Dxi
.
•定积分各部分的名称
————积分符号,
n
f
(xi )Dxi
———积分和.
f(x) ———被积函数, i1
f(x)dx ——被积表达式,
e 1
n n
1
1e n
n
1
n(1e n )
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•利用几何意义求定积分
例例22 用定积分的几何意义求01(1 x)dx .
解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
因为以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一个 直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点x , 使下式成立:
b
a
f
(x)dx
f
(x )(b a)
. ——积分中值公式.
这是因为, 由性质6
m(ba)
b
a
f
(x)dx
M
(b
a)
,
即
m
b
1 a
b
a
f
(x)dx M
,
由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使
f
(x)
1 ba
b
a
f
(x)dx
,
两端乘以ba即得积分中值公式.
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
.
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
b
a
f
(x)dx
0
(a<b).
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
(a<b).
•推论2
|
b
a
f
(x)dx|
ab|
f
(x)|
dx
(a<b).
n
S v( i )Dti ;
i1
(4)取极限: 记max{Dt1, Dt2,, Dtn}, 物体所经过的路程为
n
S
lim
0
i1
v(
i
)Dti
.
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二、定积分定义
❖定积分的定义
设函数f(x)在区间[a, b]上有界.
•在区间[a, b]内插入分点: ax0<x1<x2< <xn1<xnb;
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
b
a
f
(x)dx
0
(a<b).
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
(a<b).
这是因为g(x)f(x)0, 从而
所以
abg(x)dxab f (x)dx ab[g(x) f (x)]dx 0 ,
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三、定积分的性质
性 •性质质11
ab[
f
(x)
g(x)]dx
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
.
性 •性质质22
abkf
(x)dx
k
b
a
f
(x)dx
.
性 •性质质33
b
a
f
(x)dx
c
a
f
(x)dx
b
c
f
(x)dx
.
性 •性质质44 ab1dx abdx ba .
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•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
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•求曲边梯形的面积
(1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
(1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, Dtititi1;
(2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
DSiv(i)Dti ( ti1< i<ti );
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
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例 3
估计积分
1 0 3 sin3
dx 的值. x
解 f (x) 1 , x [0, ],
3 sin 3 x
0 sin 3 x 1,
1 1 1, 4 3 sin 3 x 3
0
1d 4
x
0 3
1 sin
3
dx x
013dx,
4
0
3
1 sin 3
dx x
3
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.
当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值.
这是因为
b
a
f
n
(x)dx lim 0 i1
f
n
(xi
)Dxi
lim
0
[
i1
f
(xi )]Dxi
ab[
f
(x)]dx
.
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•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直
.
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总结
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
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小结 １．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．