有限元第5章-等参数单元PPT课件
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关于（1）因为 N ii ,i 1 ,N i j,j 0 , i j，
所以相邻单元的公共节点位置重合；
关于（2）：局部坐标系下的矩形单元边界上的 或 保持常数，转换到总体坐标系下后，
.
15
边界为线性函数，该线性函数可以由边界上的两 个节点坐标完全确定。因此，保证了相邻单元 的公共边界既不开裂，也不重叠。
.
3
我们知道，矩形单元满足相容性条件。 以图示为例。它有四个节点，各条边与总体坐标
轴平行。单元内任意一点的位移插值函数可以 包含四个待定系数
u 1 2x 3y 4xy
y
x
源自文库
.
4
在矩形单元的任意一条边上，把该边的方程
YA
或
XB
带入上式，总可以得到
uCX D
或
uEY F
上式只含有两个未知参数，由边界上的两个节点 的位移值唯一确定。
1,1
1,1
4
3
1 1,1
2 1,1
.
8
为此，首先讨论局部坐标系下的位移插值函数、 形状函数和收敛性条件，然后再讨论具体的坐 标变换。
根据前述，矩形单元四个节点的位移值，就是原 四节点四边形单元的节点处的位移值。因此， 局部坐标系下的矩形单元内任意一点的位移可 以表示为
uv51
234 678
对于矩形单元中的点也可同样证明（提示：用通 过矩形单元中任意点的水平或垂直的直线在总 体坐标系和局部坐标系中的对应关系来证明）。
我们看到：矩形单元的插值函数对于场变量和坐 标变换完全一样，故称之为的等参数单元。如 果两者不一样，就称为超参元或亚参元。在此 不予介绍。
.
16
5-3 等参数单元平面问题的有限元格式 前述有限元求解的七个步骤中 第1~3步：形成插值函数； 第4~6步：求出单元刚度矩阵，并集成求解； 第7步：用已知节点位移计算应力。 对于等参元，已经得到四边形四节点的等参数单
u 1 2x 3y 4xy
.
2
对于边界来讲，将
YA XB
带入上式，经简化可得
uD2X E XF
上式中有三个待定系数，由所在单元的节点场变 量值确定，但是不能由这个单元的这条边界的 两个节点的场变量值唯一确定，因此相邻两单 元在同一边界上的位移表达式并不一致，使相 容性条件不能得到满足。
这种情况该怎样处理？
或者
, f,
.
9
将
u1
v
1
e
1 2 3
e e e
u v u
2 2 3
4 e
v
3
u 4
v 4
和节点坐标 1 , 1 ,1 , 1 ,1 ,1 , 1 ,1 带入位移插值
函数表达式，可得
e A
.
10
其中 T 12345678
解上面的方程
A1e
从而 , f , A 1 e N , e
其中
N , N 0 1 N 0 1 N 0 2 N 0 2 N 0 3 N 0 3 N 0 4 N 0 4
e u 1v 1u 2v 2u 3v 3u 4v 4 T
.
11
或 其中
u
4
i 1 4
N i , u i
x
4
i 1 4
N i , xi
y
i 1
N i , y i
.
14
现证明如下：
从四边形到矩形的坐标变换是点点对应，并能保 证相邻单元的几何相容（前面的位移插值可以 看成是位移相容）。所谓几何相容，即是指总 体坐标系下的两四边形单元在转换到局部坐标 系下的矩形单元后：（1）相邻单元的公共节点 位置重合；（2）相邻单元的公共边界不开裂， 不重叠，反之亦然。
5 等参数单元 5-1 等参数单元的引入 三角形单元内的应力为常量，不同单元的应力互
不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
.
1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
元的形状函数。下面主要讨论单元刚度矩阵的 形成，即上述中的4~6步。
.
17
一 等参数单元刚度矩阵 第4步：单元应变—单元位移—节点位移的关系 由平面问题几何方程和位移插值函数，有
u
x,yxxyyuyyvxxvyi41
xi 41Ni,ui
4 yi1
Ni,vi
Ni,ui
4 xi1
v
i 1
N i , v i
N
1
,
N 2 ,
N
3
,
1
4 1
4 1
4
1 1 1
1 1 1
N
4 ,
1 4
1
1
.
12
写成统一的形式
Ni,141i1i,i1,2,3,4 其中 i,i为： 1,11,1,2,21,1 3,31,1,4,41,1
.
6
即：使四节点四边形单元满足解的收敛性的途径 是
（1）将四边形通过坐标变换，转化为矩形单元； （几何相容）
（2）以四边形节点位移值作为矩形单元的节点 位移值。（收敛性要求）
以上两条结合，即可保证四节点四边形单元的几 何相容性和有限元解的连续性。
.
7
在建立四边形和矩形单元的坐标变换关系时应注 意：四边形单元定义在总体坐标系中，而矩形 单元定义在局部坐标系中。坐标系的变换是一 个四边形单元到一个矩形单元的变换。矩形单 元的局部坐标系，仅仅适用于每个要变换的单 元。
形函数的性质：
（1） N ii ,i 1 ,N i j,j 0 , i j 保证位
移在节点连续。又因为是双线性单元，故也保
证在边界连续。
4
（2）Ni , 1 保证单元包含刚体位移。 i1
这两条性质，保证了解的收敛性。
.
13
下面讨论坐标变换。
可以证明：视整体坐标系下的四节点四边形单元 的节点坐标值为“位移值”，采用与矩形单元 内任意一点的插值函数完全相同的插值方式， 就可以满足坐标变换的相容性（几何相容性）， 即
.
5
可见矩形单元的特点：
（1） 矩形单元满足相容性条件。
（2）含有一次项和常数项，故也满足收敛性条 件。
（3）单元插值函数含有交叉项xy，比三节点三 角形单元的阶次要高。
如果通过坐标变换，将任意四边形单元变换成矩 形单元，只要在坐标变换中，任意四边形单元 与矩形单元之间的点是一一对应的（称为坐标 变换的几何相容性），而变换后的位移插值函 数又满足解的收敛性条件，这两条合在一起， 就能保证任意四边形在原坐标系中满足解的收 敛性条件。
所以相邻单元的公共节点位置重合；
关于（2）：局部坐标系下的矩形单元边界上的 或 保持常数，转换到总体坐标系下后，
.
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边界为线性函数，该线性函数可以由边界上的两 个节点坐标完全确定。因此，保证了相邻单元 的公共边界既不开裂，也不重叠。
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我们知道，矩形单元满足相容性条件。 以图示为例。它有四个节点，各条边与总体坐标
轴平行。单元内任意一点的位移插值函数可以 包含四个待定系数
u 1 2x 3y 4xy
y
x
源自文库
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在矩形单元的任意一条边上，把该边的方程
YA
或
XB
带入上式，总可以得到
uCX D
或
uEY F
上式只含有两个未知参数，由边界上的两个节点 的位移值唯一确定。
1,1
1,1
4
3
1 1,1
2 1,1
.
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为此，首先讨论局部坐标系下的位移插值函数、 形状函数和收敛性条件，然后再讨论具体的坐 标变换。
根据前述，矩形单元四个节点的位移值，就是原 四节点四边形单元的节点处的位移值。因此， 局部坐标系下的矩形单元内任意一点的位移可 以表示为
uv51
234 678
对于矩形单元中的点也可同样证明（提示：用通 过矩形单元中任意点的水平或垂直的直线在总 体坐标系和局部坐标系中的对应关系来证明）。
我们看到：矩形单元的插值函数对于场变量和坐 标变换完全一样，故称之为的等参数单元。如 果两者不一样，就称为超参元或亚参元。在此 不予介绍。
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16
5-3 等参数单元平面问题的有限元格式 前述有限元求解的七个步骤中 第1~3步：形成插值函数； 第4~6步：求出单元刚度矩阵，并集成求解； 第7步：用已知节点位移计算应力。 对于等参元，已经得到四边形四节点的等参数单
u 1 2x 3y 4xy
.
2
对于边界来讲，将
YA XB
带入上式，经简化可得
uD2X E XF
上式中有三个待定系数，由所在单元的节点场变 量值确定，但是不能由这个单元的这条边界的 两个节点的场变量值唯一确定，因此相邻两单 元在同一边界上的位移表达式并不一致，使相 容性条件不能得到满足。
这种情况该怎样处理？
或者
, f,
.
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将
u1
v
1
e
1 2 3
e e e
u v u
2 2 3
4 e
v
3
u 4
v 4
和节点坐标 1 , 1 ,1 , 1 ,1 ,1 , 1 ,1 带入位移插值
函数表达式，可得
e A
.
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其中 T 12345678
解上面的方程
A1e
从而 , f , A 1 e N , e
其中
N , N 0 1 N 0 1 N 0 2 N 0 2 N 0 3 N 0 3 N 0 4 N 0 4
e u 1v 1u 2v 2u 3v 3u 4v 4 T
.
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或 其中
u
4
i 1 4
N i , u i
x
4
i 1 4
N i , xi
y
i 1
N i , y i
.
14
现证明如下：
从四边形到矩形的坐标变换是点点对应，并能保 证相邻单元的几何相容（前面的位移插值可以 看成是位移相容）。所谓几何相容，即是指总 体坐标系下的两四边形单元在转换到局部坐标 系下的矩形单元后：（1）相邻单元的公共节点 位置重合；（2）相邻单元的公共边界不开裂， 不重叠，反之亦然。
5 等参数单元 5-1 等参数单元的引入 三角形单元内的应力为常量，不同单元的应力互
不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
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5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
元的形状函数。下面主要讨论单元刚度矩阵的 形成，即上述中的4~6步。
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一 等参数单元刚度矩阵 第4步：单元应变—单元位移—节点位移的关系 由平面问题几何方程和位移插值函数，有
u
x,yxxyyuyyvxxvyi41
xi 41Ni,ui
4 yi1
Ni,vi
Ni,ui
4 xi1
v
i 1
N i , v i
N
1
,
N 2 ,
N
3
,
1
4 1
4 1
4
1 1 1
1 1 1
N
4 ,
1 4
1
1
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写成统一的形式
Ni,141i1i,i1,2,3,4 其中 i,i为： 1,11,1,2,21,1 3,31,1,4,41,1
.
6
即：使四节点四边形单元满足解的收敛性的途径 是
（1）将四边形通过坐标变换，转化为矩形单元； （几何相容）
（2）以四边形节点位移值作为矩形单元的节点 位移值。（收敛性要求）
以上两条结合，即可保证四节点四边形单元的几 何相容性和有限元解的连续性。
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在建立四边形和矩形单元的坐标变换关系时应注 意：四边形单元定义在总体坐标系中，而矩形 单元定义在局部坐标系中。坐标系的变换是一 个四边形单元到一个矩形单元的变换。矩形单 元的局部坐标系，仅仅适用于每个要变换的单 元。
形函数的性质：
（1） N ii ,i 1 ,N i j,j 0 , i j 保证位
移在节点连续。又因为是双线性单元，故也保
证在边界连续。
4
（2）Ni , 1 保证单元包含刚体位移。 i1
这两条性质，保证了解的收敛性。
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下面讨论坐标变换。
可以证明：视整体坐标系下的四节点四边形单元 的节点坐标值为“位移值”，采用与矩形单元 内任意一点的插值函数完全相同的插值方式， 就可以满足坐标变换的相容性（几何相容性）， 即
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可见矩形单元的特点：
（1） 矩形单元满足相容性条件。
（2）含有一次项和常数项，故也满足收敛性条 件。
（3）单元插值函数含有交叉项xy，比三节点三 角形单元的阶次要高。
如果通过坐标变换，将任意四边形单元变换成矩 形单元，只要在坐标变换中，任意四边形单元 与矩形单元之间的点是一一对应的（称为坐标 变换的几何相容性），而变换后的位移插值函 数又满足解的收敛性条件，这两条合在一起， 就能保证任意四边形在原坐标系中满足解的收 敛性条件。