高等数学 第七章空间解析几何与向量代数习题课

2．数量积
（1）定义：av

v b

av
v b
cos(av, bv)
（2）坐标表示：ar

r b

axbx

ayby

azbz
（3）运算律：①
交换律：
ar

r b
Байду номын сангаас
r b

ar
②
分配律：(ar

r b)

cr

ar

cr

r b
cr
③
结合律：(
ar)

r b

ar

(
r b)


(ar

☆
1

2

r n1

r n2

A1 A2

B1 B2
C1C2

0
☆
L1

L2

r s1

r s2

m1m2

n1n2

p1 p2

0
☆ L sr // nr A B C
mn p
二、空间曲面
1．一般方程： F( x, y, z) 0
2．旋转面：曲线
f ( y, z) 0
的模、方向余弦和方向角。
uuuuuur
解：M1M2 (1, 2,1)
uuuuuur | M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos

2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
rr
r
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
y, z) y, z)

0 0
在
yoz
面上的投影曲线：

R( y, z) x0

0
（3）
F ( x, G( x,
y, z) y, z)

0 0
在 xoz 面上的投影曲线：Ty(x0, z) 0
向量代数典型例题
uuuuuur 【例1】已知两点 M1(4, 2,1)和 M2 (3, 0, 2),求向量 M1M2
r b)
（4）向量的夹角： cos(av, bv)
av
v b
av
v b
（5）性质：ar ar ar 2 ;
ar

r b

ar

r b

axbx

a yby

azbz

0;
2．向量积
（1）定义：
cr

ar

r b
模 ：cr 方向：cr

ar
r b
垂直 ar
r r sin (a , b )
于是
pr ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 ar (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角，求 ar在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
（3）截距式方程：x y z 1 ，其中 a, b, c 分别为平面在
a bc
三坐标轴 x, y, z 上的截距。
2．点到平面的距离： d Ax0 By0 Cz0 D
A2 B2 C 2
3．直线方程：
（1）一般方程：

A1 A2
x x

B1 B2
y y

第七章 空间解析几何与 向量代数习题课
Ⅰ 向量代数
一、向量的基本概念
r 1．向量的坐标: a (ax , ay , az )
设起点 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 和终点 M2( x2 , y2 , z2 ) ,则
uuuuuur M1M2 ( x2 x1, y2 y1, z2 z1)
（4）性质：ar

ar

r 0
,
ar
//
r b

ar

r b

r 0
Ⅱ 平面与直线、空间曲面与曲线
一、平面与直线的方程
1．平面方程 : （1）点法式方程：A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
其中 nr ( A, B,C) 为平面的法向量，M0( x0 , y0 , z0 ) 为平面的 一定点。 （2）一般方程：Ax By Cz D 0
vv v
ar

uuuuuur uuuuuuur M1M2 M2M3
i 2
j 4
k rrr
1 6i 4 j 4k
0 2 2
uuuuuur uuuuuur
与 M1M2 ,
M2 M3
同时垂直的单位向量为：
r
a
1
av
(3, 2, 2) 17
平行四边形面积
uuuuuur uuuuuur S M1M2 M2M3

x

0
绕z
轴旋转所得旋转曲面
方程为 f ( x2 y2 , z) 0 ;绕 y轴旋转所成的旋转曲面
方程为 f ( y, x2 z2 ) 0 ;
同理可得 zox 面上的曲线绕 z 轴旋转所得旋转面的方程及 绕 x 轴旋转所得旋转面的方程。
三、空间曲线
1．一般方程 2．参数方程
设 1 与 2 平面的法向量分别为nr1 ( A1, B1,C1 )与nr2 ( A2 , B2 ,C2 )
则
cos
A1 A2 B1 B2 C1C 2
A12

B12

C
2 1
A22

B22

C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 sr (m, n, p) , 平面 的法向量为
由已知条件有 pr qr (a,b,0)(5, 3,4) 5a 3b 0 ，则 b 5 a
3
p a 2 b2 0 a 2 5 a 2 2 17 a q 5 2
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
ar

r i

3
r j

r 3k
模为 a 19,
方向余弦为 1 , 3 , 3 。 19 19 19
【例3】已知
ar,
r b,
cr
都是单位向量，且满足 ar
r b

cr

r 0
，
求
ar

r b

r b

cr

cr

ar
.
分析：向量
ar,
r b,
cr
的坐标没给出，也没给出之间的夹角，
无法利用数量积定义，只能考虑数量积运算规律。
求 p q r。
rrr 分析：由于向量 p, q, r 没给出坐标，只给出了模，注意
av 2
ar ar
，并利用条件
r p

r q

r p

r q
0，便可求出
p q r ；或可不妨置
r S

pr qr
rr
于坐标系中
计算向量的模。
解法1： pv qv rv 2 ( pr qr rr)( pr qr rr)
4．线、面之间的位置关系：
（1）两直线相交（夹角）
设
L1与
L2
的方向向量分别为
r s1

(m1 , n1 ,
p1 )与
r s2

(m2 , n2 ,
p2 )
则它们的夹角为：
cos
m1m2 n1n2 p1 p2
m1 2 n1 2 p1 2
m
2 2

n
2 2

p
2 2
（2）两平面相交（夹角）

(1,
0,1)
的数量积分别为3,5,4，
试求向量 xr 及与其同向的单位向量。
分析：利用 xr 与每个 r, r,r 的数量积，可得出关于
x1 , x2 , x3的联立方程组，解之便得结果。
解：依题意有
r x

r

3,
r x

r


5,
r x

r

4
即

x x
1 2

x2 x3
pr

r i,
qr

r 2j,
rr

r 3k
则
r S

pr qr rr
rrr i 2 j 3k
于是
pv
qv
rv

r S

12 22 32
14
【例5】已知向量 xr ( x1, x2 , x3 )与三向量r (1,1, 0),
r


(0,1,1),
r
r n1

(
A1 ,
B1 , C1 ),
r n2

( A2 ,
B2 , C2
),
☆
1 // 2

rr n1 // n2

A1 A2

B1 B2

C1 C2
☆
rr L1 // L2 s1 // s2

m1 m2

n1 n2

p1 p2
☆ L // sr nr Am Bn Cp 0
C1z C2z

D1 D2

0 0
（2）对称式方程： x x0 y y0 z z0
m
n
p
其中 sr (m, n, p) 为直线的方向向量，M 0 ( x0 , y0 , z0 )
为直线的一定点。
x x0 mt
（3）参数方程：

y

y0

nt
z z0 pt
62 (4)2 (4)2 2 17
【例7】 在 xOy 坐标平面上求向量 pr ，它垂直于向量 qr (5, 3, 4), 并与向量 qr 有相等的模。
分析： 先设出向量 pr ，再用两个条件确定其系数。
解：由已知条件,可设 pr (a, b, 0), q 52 (3)2 42 5 2
2．向量的模: ar
a x2

a
2 y

az2
3．方向角：向量 ar 与三个坐标轴正向的夹角 , ,
方向余弦为:
cos
ax
,cos
a
2 x

a
2 y

az2
ay
,cos
a
2 x

a
2 y

az2
cos 2 cos 2 cos 2 1
az
a
2 x
uuuuuur uuuuuur
uMuu1uMuur2, uMuu2uMuur3 同时垂直的单位向量，并且求以 M1M2, M2M3 为两邻边的平行四边形面积。 分析：应用向量积构造与两个向量都垂直的向量；
利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。
uuuuuur
uuuuuur
解：M1M2 (2,4, 1), M2M3 (0, 2, 2)

r p

r p

r p

r q

r p

r r

r q

r p

r q

r q

r q

r r

r r

r p

r r

r q

r r

r r
pv 2 qv 2 rv 2 0 12 22 32 14
所以 p q r 14
解法2：因三向量两两垂直，故可在直角坐标系中设
r 与 b 确定的平面，且符合右手规则。
r vv
i jk
（2）坐标表示：
rr a b ax
ay
az
bx by bx
（3）运算律：①
反交换律：
ar

r b

r b

ar
② 分配律：
(ar

r b)

cr

ar

cr

r b

cr
③
结合律：(
ar)

r b

ar

(
r b)


(ar

r b)
解：
0

(ar

r b

cr)

(ar

r b

cr)

r a

r a

r b

r b

r c

r c

r 2(a

r b

r b

r c

r c

r a)

3

2(ar

r b

r b

cr

cr

ar
)
于是
ar

r b

r b

cr

cr

ar


3
2
【例4】已知向量 pr, qr, rr 两两互相垂直，且 p 1, q 2, r 3,
r
rr
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3

3




1 3
易得
1



4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。 此时向量为
F(x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
x x(t)

y

y(t )
z z(t)
3．空间曲线在坐标面上的投影曲线：
（1）
F ( x, G( x,
y, y,
z) z)

0 0
在
xoy
面上的投影曲线：zH(
x, 0
y)

0
（2）
F ( x, G( x,

3 5
x1 x3 4
解得 则
x1 1, x2 2, x3 3 ，
xr (1,2,3)
x 14
与 xr 同向的单位向量为
r x0

xr xv
(
1, 14
2, 14
3) 14
【例6】已知 M1 (1,1,2), M 2 (3,3,1) 和 M 3 (3,1,3) 。求与

a
2 y

az2
r
4．单位向量：
ar0

|
a ar
|

(ax ,ay ,az )
a
2 x

a
2 y

az2
5．向量的投影：Pr
r ja b
|
r b
|
cos(av,bv)
二、向量的运算
1．线性运算
（1）
ar

r b

(ax

bx
,
ay

by
,
az

bz
)
（2）ar (ax , ay , az )
nr ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
设直线
L1与L2
的方向向量分别为
r s1

(m1 , n1 ,
p1 )，sr2

(m2 , n2 ,
p2 )
平面

1与
2
的法向量分别为